精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

成都石室阳安学校2025-2026学年度上期高2023级10月月考 出题人：任燕 做题人：胡新琳 审题人：李治龙 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，则. 故选：B 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误； B：的定义域为的定义域为，则B错误； C：和的定义域均为，且，则C正确； D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：C 3. 给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A. 对任意 ，都有 B. 对任意 ，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐项判断即可. 【详解】对于A，，，则，命题“对任意，都有”是假命题，A不是； 对于B，，当时，，命题“对任意，都有”是假命题，B不是； 对于C，使成立的实数只有，而，命题“存在，使得”是假命题，C不是； 对于D，，且，命题“存在，使”是真命题，D是. 故选：D 4. 某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.35 C. 0.85 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的性质可得，即可求解之间的概率. 【详解】某种包装的面包质量服从正态分布，且， 则有，由对称性可得， 则有. 所以其质量在之间的概率为. 故选：A 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 6. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 7. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数导数公式求导，进而求切线方程并得到，即可求目标式的值. 【详解】对求导得． 令，得在点处的切线的斜率， 在点处的切线方程为． 令，得， ． 故选：B 8. 医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014．若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.024 C. 0.02 D. 0.018 【答案】C 【解析】 【分析】设出相关事件，根据已知条件和全概率公式建立等式，即可求解. 【详解】设事件“居民患有这种地方性疾病”，事件“居民有良好卫生习惯”，事件“居民没有良好卫生习惯”. 由题意，， 由全概率公式，可得， 即，解得， 即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为. 故选：C. 二、多选题（每题6分） 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，1，2，3，3，4，4，5，6的第25百分位数为2 B. 若数据的标准差为，则的标准差为 C. 二顶式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法有96种 【答案】AB 【解析】 【分析】本题可根据百分位数、标准差、二项式系数、排列组合的相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A：将数据1，1，2，3，3，4，4，5，6从小到大排序为1，1，2，3，3，4，4，5，6，一共有9个数据，设为数据个数，为百分位，计算， 根据百分位数的定义，当i不是整数时，就取大于2.25的最小正整数，即第25百分位数是第3个数2，故A正确. 对于B：若数据的标准差为，则其方差为，根据方差的性质，的方差为，则的标准差为，故B正确. 对于C：二项式的第项的二项式系数是，展开式中第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，，故C错误. 对于D：甲教师必去一中，分两种情况讨论： 情况一：一中分配2名教师（其中一名是甲），从剩下4名教师中选1名去一中，有种选法，剩下3名教师分配到二中、三中、四中这3所学校，每校1名，有种分法，根据分步乘法计数原理，这种情况共有种分配方法； 情况二：一中分配1名教师（就是甲），从剩下4名教师中选2名分配到同一所学校，有种选法，再把这2名教师作为一个整体和剩下2名教师分配到二中、三中、四中这3所学校，有种分法，根据分步乘法计数原理，这种情况共有种分配方法； 根据分类加法计数原理，总的分配方法有24 + 36 = 60种，故D错误. 故选：AB 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对合理赋值求解. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，则，解得， 再令，则，解得，B正确； 对于C：，且，则，令， 则，即， 因为，所以，所以，即， 所以在上是增函数，C错误； 对于D：令，则，解得， 所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即，解得， 即不等式的解集是，D正确； 故选：ABD. 三、填空题（每题5分） 12. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，移项通分转化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式，解得， 所以所求解集为. 故答案为： 13. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知函数，，若恒成立，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，则可得与同零点，即可得，再构造函数，结合导数研究其单调性计算即可得. 【详解】由恒成立，则恒成立， 当时，恒成立，则需恒成立，不符和题意； 当时，此时与同号或其中至少一个为零， 令得，令得， 当时，，则需，即； 当时，，则需，即； 综上可得，故， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三项成等比列式计算得出，再结合计算求出通项公式； （2）结合（1）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由成等比数列，得，所以． 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是． 【小问2详解】 由（1）知， 则 则 16. 如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. （1）求证:平面; （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 在中，因为分别是与的中点，所以，且， 又因为在直三棱柱中，为的中点， 所以 ，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接与，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，且，所以平面， 又因为为等腰直角三角形，则两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，所以直线与平面所成的角的余弦值为. 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，判断导数正负，即可得出结论； （2）结合（1）中分类讨论的结果，可确定函数极值点，进而列出相应不等式，求得答案. 【小问1详解】 定义域为R，， 令，解得或， ①当时， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 由（1）知时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为， 所以，解得； 时，在R上单调递增，显然无极值点，不合题意； 时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意； 综上，，即的取值范围是. 18. 每次高中数学测试中有3道多选题这种题型，在A，B，C，D四个选项中有不止一个选项是正确的，得分规则是：选错得0分，完全正确得满分6分，部分选对得部分分.某同学为了了解自己多选题的解题水平，对自己过去10次考试的多选题作答情况进行了统计，得到下列表格：(以下表统计的频率估计概率) 类别 得分 次数 A类：正确选项为2项 0 2 3 2 6 6 B类：正确选项为3项 0 4 2 1 4 5 6 10 （1）计算一次考试中B类多选题数量的分布列、期望和方差； （2）该同学听取了老师的建议，在知识的理解、审题、练习方面努力，将自己面对A，B两类题目得满分的概率均提高到，得部分分的概率没有改变，求下一次考试中该同学在多选题中得分大于等于16分的概率(用表示)，并判断该概率有没有机会超过. 【答案】（1）的分布列为： ， （2），有 【解析】 【分析】（1）结合表格中数据可知随机变量服从二项分布，再利用二项分布的分布列、期望与方差定义及公式计算即可得； （2）结合全概率公式分别计算出下一次考试中该同学在多选题中得分为分与的概率，再构造相应函数，结合导数研究其单调性即可得. 【小问1详解】 由一次考试有道多选题，故的可能取值为、、、， 从表格中可知这次考试中有道B类多选题，道A类多选题， 故每道题是B类的概率为， 故随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 故的分布列为： ， ； 【小问2详解】 从表格中可知该同学对A类题目得分的概率为， 对B类题目得分的概率为，得分的概率为， 又该同学对A，B两类题目得满分的概率为， 则对A类题目得零分的概率为， 对B类题目得零分的概率为， 设事件表示“下一次考试中B类多选题有题”， 事件表示“下一次考试中该同学B类多选题全对的有题”， 事件表示“下一次考试中该同学B类多选题得分的有题”， 事件表示“下一次考试中该同学A类多选题全对的有题”， 其中，且， 则，有， ， 则， 令，由、、，故， 则， 则在上单调递增， 故. 故该概率有机会超过. 19. 已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． （1）写出椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足：．求证：与面积之比为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）依题求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点，即可求得以为直径的圆的方程； （3）设直线的斜率分别为，写出直线的方程并与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可推得，由，写出直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标，结合图形，利用三角形面积公式代入化简求解即得证. 【小问1详解】 因是边长为4的等边三角形，则得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因，直线的斜率为，则直线的方程为 联立，解得和，即， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为：. 【小问3详解】 设直线的斜率分别为，则直线的方程为． 由，直线的方程为． 将代入，得， 因为是椭圆上异于点的点，所以．则， 所以． 由，所以直线的方程为． 由，解得． 所以， 即与面积之比为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室阳安学校2025-2026学年度上期高2023级10月月考 出题人：任燕 做题人：胡新琳 审题人：李治龙 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A. 对任意 ，都有 B. 对任意 ，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使 4. 某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.35 C. 0.85 D. 0.5 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014．若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.024 C. 0.02 D. 0.018 二、多选题（每题6分） 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，1，2，3，3，4，4，5，6的第25百分位数为2 B. 若数据的标准差为，则的标准差为 C. 二顶式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法有96种 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 三、填空题（每题5分） 12. 不等式的解集为_____. 13. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 14. 已知函数，，若恒成立，则的最大值为_____. 四、解答题 15. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. （1）求证:平面; （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 18. 每次高中数学测试中有3道多选题这种题型，在A，B，C，D四个选项中有不止一个选项是正确的，得分规则是：选错得0分，完全正确得满分6分，部分选对得部分分.某同学为了了解自己多选题的解题水平，对自己过去10次考试的多选题作答情况进行了统计，得到下列表格：(以下表统计的频率估计概率) 类别 得分 次数 A类：正确选项为2项 0 2 3 2 6 6 B类：正确选项为3项 0 4 2 1 4 5 6 10 （1）计算一次考试中B类多选题数量的分布列、期望和方差； （2）该同学听取了老师的建议，在知识的理解、审题、练习方面努力，将自己面对A，B两类题目得满分的概率均提高到，得部分分的概率没有改变，求下一次考试中该同学在多选题中得分大于等于16分的概率(用表示)，并判断该概率有没有机会超过. 19. 已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． （1）写出椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足：．求证：与面积之比为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $