精品解析：广西钦州市浦北县第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季学期阶段性自主评估作业（一） 九年级数学（R） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列变量具有二次函数关系的是（ ） A. 圆的周长与半径 B. 用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C. 正三角形的面积与边长 D. 匀速行驶的汽车，路程与时间 4. 若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A. y＝2(x﹣2)2﹣1 B. y＝2(x+2)2﹣1 C. y＝2x2﹣3 D. y＝2x2+1 5. 宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C D. 6. 顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 8. 设关于的一元二次方程的两个实数根为，则当时，实数的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 9. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 不能确定 10. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A. B. C. 或 D. 或 12. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述错误的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当或时，函数取得最小值0 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时，的值随值的增大而增大 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 14. 二次函数与轴的交点坐标为___________． 15. 一件原价为元的衣服经过两次降价后的价格为元，若设每次降价的百分率都是，则为___________． 16. 如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程 （1） （2） 18. 在同一坐标系内，抛物线与直线相交于两点，若的坐标是． （1）求点的坐标； （2）连接，，，求的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 20. 小明和朋友暑假期间计划进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为10元．经过市场调查发现：若挂件以单价18元售出，一天能售出30个；若每个降价1元，则一天可多售出5个（降价符合，涨价不符合）． （1）当每个挂件定价为15元时，一天能卖出多少个？ （2）要使当天利润达到200元，则每个挂件应降价多少元？ 21. 【背景材料】一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 【方法解读】下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔・花拉子米利用几何法求解的过程． ①如图1，在边长为的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ②一方面大正方形的面积为，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程（___________）___________，则方程的正数解是___________； 【解决问题】根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤②； （2）根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解，要求如下： ①在图2所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度； ②根据①所画图形直接写出方程的正数解． 22. 【综合与实践】 为促进学生乒乓球队训练的效果，学校利用乒乓球发球器对队员进行训练，数学兴趣小组对乒乓球发球器的发球过程进行了记录和分析． 【实践主题】乒乓球发球器的发球有效性的研究 【问题背景】球台长约为米，发球器位于球台一侧的边缘，从点处发球，球网位于球台中点距发球器约米处，的高度约为米．当球越过球网且落在对方台面内，则发球有效． 【建立模型】设球距离球台一侧的边缘的水平距离为（单位：米），球距离台面的竖直高度为（单位：米），发球轨迹可视为一条抛物线． 解决问题】 （1）当发球点距台面高度为米，兴趣小组利用频闪仪测量得到，当球距离球台一侧的边缘的水平距离为1米时，乒乓球飞行到最大高度为米．①写出此时抛物线的顶点、点的坐标，并求出抛物线的解析式； ②判断此次发球是否有效； （2）设，不改变发球器的发球速度和方向，发球器的高度调整到一定范围时（发球轨迹所在抛物线为），发球有效．求的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． （1）如图，图形为线段，点，． ①判断点是否是线段的“垂近点”？说明理由； ②请在图中画出点所有可能的位置；（用阴影部分表示） （2）若图形为直线，在二次函数图象上仅有一个图形的“垂近点”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期阶段性自主评估作业（一） 九年级数学（R） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，形如的方程，叫做一元二次方程的一般形式．据此即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式的定义可知：只有满足题意， 故选：A 2. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0即可求解． 本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，牢记定义是解题的关键． 【详解】解：原方程化为， 根据一元二次方程的定义可得二次项系数， 故选：C． 3. 下列变量具有二次函数关系的是（ ） A. 圆的周长与半径 B. 用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C. 正三角形的面积与边长 D. 匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正确列出各选项之间变量之间的关系即可； 【详解】解：A：，故圆的周长与半径具有一次函数关系，不符合题意； B：由题意得：，即；故一边长与它邻边具有一次函数关系，不符合题意； C：由图可知： ，， ∴； 故正三角形的面积与边长具有二次函数关系，符合题意； D：匀速行驶的汽车，路程与时间成正比例函数关系，不符合题意； 故选：C 4. 若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A. y＝2(x﹣2)2﹣1 B. y＝2(x+2)2﹣1 C. y＝2x2﹣3 D. y＝2x2+1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可． 【详解】解：由题意知平移后的函数关系式为：， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减． 5. 宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据2023年注册用户及2025年注册用户，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为，则2024年用户数为，2025年用户数为， 根据2025年用户数为80万，得方程， 故选：B． 6. 顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 根据形状相同，开口方向以及顶点坐标即可得出解析式． 【详解】解：根据形状相同，所以两个函数的相等， 根据开口向上，得出， 又∵顶点为， ∴解析式为， 故选：A． 7. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线定义结合一元二次方程判别式求解． 先根据抛物线定义确定，再由抛物线与轴有交点，即对应的一元二次方程有实数根，利用判别式求解的取值范围，最后取两者交集． 【详解】解：因为是抛物线，根据抛物线定义，二次项系数不能为0， 所以． 抛物线与轴有交点 所以，也就是． 解得． 结合前面和，所以的取值范围是且． 故选：B． 8. 设关于的一元二次方程的两个实数根为，则当时，实数的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可．由题意得：；当时，则；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：； 当时，则； ∴，解得：； 故选：B 9. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长． 【详解】解：方程分解得：， 解得：，， 若2为底，3为腰，三角形三边为3，3，2，周长为； 若2为腰，3为底，三角形三边为2，2，3，周长为． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 10. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 11. 如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 12. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述错误的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当或时，函数取得最小值0 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，图象的翻折变换，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解题的关键，先求出二次函数翻折前与轴的交点坐标，即可得到翻折后与轴的交点坐标，判断A选项即可，根据函数图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求出对称轴直线，可判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A、二次函数， 令，则， ∴原函数与轴的交点坐标为：， ∴翻折后与轴的交点坐标为：，此项正确； B、二次函数， 令，则， 解得：， 由图象可得：函数处取最小值0，此项正确； C、二次函数， 对称轴：，此项正确； D、由图象可知：当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，此项错误． 故选：D． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为， 故答案为：． 14. 二次函数与轴的交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点坐标，直接将代入函数解析式即可得到坐标． 【详解】二次函数与轴的交点横坐标为0， 代入函数得：， 二次函数与轴的交点坐标为． 故答案为：． 15. 一件原价为元的衣服经过两次降价后的价格为元，若设每次降价的百分率都是，则为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率都是，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据原价为元的衣服经过两次降价后的价格为元，可列方程：，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：， 两边同时开平方得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 为． 16. 如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 18. 在同一坐标系内，抛物线与直线相交于两点，若的坐标是． （1）求点的坐标； （2）连接，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，用待定系数法求函数解析式，联立方程求解交点，计算三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）首先，利用已知点A的坐标代入抛物线和直线方程，求出参数a和b的值，接着联立抛物线和直线方程，解出另一个交点B的坐标； （2）设直线与轴交于点C，求出点C的坐标，通过坐标法计算的面积即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线方程，得：， 解得，， 抛物线方程为 ， 将点代入直线方程，得：， 解得，， 直线方程为， 联立抛物线和直线方程： ， 解得，， ， 的坐标为， ， 当时，， 故B点坐标为； 【小问2详解】 如图，设直线与轴交于点C， 当时，， 点C的坐标为， ， 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）的值为，方程的另一个根是 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将代入原方程求出的值是解题的关键． （1）将方程变形为一般式，再根据根的判别式，即可证出结论； （2）将代入原方程求出的值，将其代入原方程解方程即可得出方程的另一个根，此题得解． 【小问1详解】 证明：原方程可变形， ， ∵ ∴ 方程总有两个不等的实数根； 【小问2详解】 解：方程的一个根是， ，解得：， 原方程为：， 解得：，． 即的值为，方程的另一个根是． 20. 小明和朋友暑假期间计划进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为10元．经过市场调查发现：若挂件以单价18元售出，一天能售出30个；若每个降价1元，则一天可多售出5个（降价符合，涨价不符合）． （1）当每个挂件定价为15元时，一天能卖出多少个？ （2）要使当天利润达到200元，则每个挂件应降价多少元？ 【答案】（1）当每个挂件定价为15元时，一天能卖出45个 （2）每个挂件应降价4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出在18元的基础上降价的钱数，进而求出因降价而增加的销售量，再加上30即可得到答案； （2）设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为元，根据总利润等于每个挂件的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每个挂件定价为15元时，一天能卖出：（个）， 答：当每个挂件定价为15元时，一天能卖出45个； 【小问2详解】 解：设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为元， 由题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， 答：每个挂件应降价4元． 21. 【背景材料】一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 【方法解读】下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔・花拉子米利用几何法求解的过程． ①如图1，在边长为的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ②一方面大正方形的面积为，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程（___________）___________，则方程的正数解是___________； 【解决问题】根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤②； （2）根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解，要求如下： ①在图2所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度； ②根据①所画图形直接写出方程的正数解． 【答案】（1）5；5；25；3； （2）①详见解析；② x=7 【解析】 【分析】本题考查了利用割补法表示正方形的面积，几何法求解一元二次方程，解题关键是理解割补法的意义，通过图形面积的不同表达方式建立方程，进而求得正数解． （1）②分别用和表示大正方形的面积，即，将代入即可求解； （2）①用表示大正方形的边长，将该正方形的面积分成四部分，如图所示；②结合（1）的解法求解即可． 【小问1详解】 解：②大正方形的面积为：， ，即， ， ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图所示： ②， ， ， ， ， （舍去）， ． 22. 【综合与实践】 为促进学生乒乓球队训练的效果，学校利用乒乓球发球器对队员进行训练，数学兴趣小组对乒乓球发球器的发球过程进行了记录和分析． 【实践主题】乒乓球发球器的发球有效性的研究 【问题背景】球台长约为米，发球器位于球台一侧的边缘，从点处发球，球网位于球台中点距发球器约米处，的高度约为米．当球越过球网且落在对方台面内，则发球有效． 【建立模型】设球距离球台一侧的边缘的水平距离为（单位：米），球距离台面的竖直高度为（单位：米），发球轨迹可视为一条抛物线． 【解决问题】 （1）当发球点距台面高度为米，兴趣小组利用频闪仪测量得到，当球距离球台一侧的边缘的水平距离为1米时，乒乓球飞行到最大高度为米．①写出此时抛物线的顶点、点的坐标，并求出抛物线的解析式； ②判断此次发球是否有效； （2）设，不改变发球器的发球速度和方向，发球器的高度调整到一定范围时（发球轨迹所在抛物线为），发球有效．求的取值范围． 【答案】（1）①顶点坐标为，，抛物线解析式； ②此次发球无效； （2） 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意建立，构建二次函数模型是解题关键． （1）①由题意设抛物线解析式为，将代入即可； ②计算当时的函数值，得出此次发球能越过球网；求解方程，即可综合判定； （2）由题意得当时，，当时，，即可求解； 【详解】解：（1）①抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得， ∴此时抛物线的解析式为； ②当时，， ∴此次发球能越过球网， 令， 解得（舍去）， ∵， ∴此次发球不会落在对方台面内， 综上，此次发球无效； （2）∵发球能越过球网， ∴当时，， 解得， ∵发球落在对方台面内， ∴当时，， 解得， ∴发球有效时m的取值范围为； 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． （1）如图，图形为线段，点，． ①判断点是否是线段的“垂近点”？说明理由； ②请在图中画出点所有可能的位置；（用阴影部分表示） （2）若图形为直线，在二次函数图象上仅有一个图形的“垂近点”，求的值． 【答案】（1）①是，理由见解析；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查两点间的距离，反比例函数与几何的综合应用，掌握“垂近点”的定义是解题的关键． （1）①根据垂近点的定义，进行判断即可； ②根据垂近点的定义，画出点M所有可能的位置即可； （2）将化成顶点式，分，，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：①是，理由如下： 图形为线段，点，， ∵， ∴图形上存在点， ∵， ∴点是线段的“垂近点”； ②M所有可能的位置，如图所示， 【小问2详解】 解：将化成顶点式为， ∵二次函数图象上仅有一个图形F的“垂近点”， ∴当时，， 当时，， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $