精品解析：河北省唐山市玉田县极光中学2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试卷

初三年级10月阶段性检测 数学 说明：1、答题前，请将姓名、学校、试室号和准考证号用规定的笔写在答题卡指定的位置上． 2、全卷分共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3、考生必须在答题卡上规定的区域作答：否则其答案一律无效． 一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由题意推出，或，解方程即可求出的值，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 2. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为不能判定矩形，可判断B，对角线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形，可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意； B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意； C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意； D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键． 4. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 5. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：A． 6. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 7. 在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润=销售量x单位利润， 根据利润=单台利润×销售数量，设定价为元，单台利润为元．原售价2900元时每天售出8台，每降价50元多售4台．当售价为元时，降价元，相当于降价个50元，因此销量增加台，总销量为．由此列方程即可． 【详解】解：设定价为元，则单台利润为元． 售价降低元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为． 总利润方程为： 故选：B． 8. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知是方程的一个实数根，则的值为__________． 【答案】2030 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，正确运算是解题的关键． 将代入得，进而即可求解； 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为__________． 【答案】22.4 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 11. 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知，，当千斤顶升高___________时，四边形为正方形．（参考数据：，，结果保留整数） 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，可以通过连接两条对角线，转化为直角三角形求解． 连接，分别求出当从变为两种情况下的长，相减即可．当时，是等边三角形，；当时，在直角中，利用等腰三角形的性质即可求得． 【详解】解：连接，与相交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，． 当时，是等边三角形． ∴； 当时，， 则， ∴， ∴， 因此增加的高度为． 答：千斤顶升高了； 故答案为：17． 12. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 13. 如图，正方形与正方形，M，N分别是，的中点，当点F落在线段上时，点G恰好在上，记正方形的边长为m，正方形的边长为n，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作的延长线交于，设，则，则，证明和全等得，则，进而得，证明是线段的垂直平分线，则，在中，由勾股定理得，整理得，解这个关于的方程得，则，由此得正方形的面积，正方形的面积，据此即可得出的值． 【详解】解：连接，过点作的延长线交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， 点分别是的中点， ， ∴四边形，四边形都是矩形， ， ， ∴四边形，四边形都是矩形， 设，则， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是线段的垂直平分线， ， 在 中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解这个关于的方程得：（不合题意，舍去）， ， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形的面积， ， ∴正方形的面积， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，解一元二次方程，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，灵活运用勾股定理构造一元二次方程是解决问题的难点． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 14. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ， ∵， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法___________，乙同学的解法_________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确 （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：甲同学的解法不正确，第一步需因式分解为，再进行解答； 乙同学的解法不正确，值应为，判别式不是， 故答案为：不正确；不正确； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 15. 如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲停在A区的概率是_______； （2）求甲、乙停在相同区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列举法、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用列举法法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲车停放的所有可能结果有5种，停在A区的只有2种， ∴甲能够停放在A区的概率是； 【小问2详解】 解：分别将、两个停车区域的空车位即为“”“”“”“”“”， 则根据题意列出所有可能出现的结果有：，共有10种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件）的结果有4种， 即， 所以． 16. 尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）： （1）如图1，南南用尺规分别以的点A，B为圆心，为半径画圆弧，交于点E，F，连接．请你证明四边形为菱形． （2）在图2中，请用尺规在的边上分别作出点E，F，使四边形为菱形．（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，即， 由作图知， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2） 如图，四边形即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义及其尺规作图，解题的关键是利用相应的性质进行画 （1）根据四边形为平行四边形，得出，由作图过程可知，结合即可证明； （2）根据尺规作图，分别作和的平分线，分别交、于F、E，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图理由：∵平分，平分， ∴，， ∵∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴，， 同理（1）四边形是菱形． 17. 已知关于的方程，为常数． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：假设，则 ， ， 方程没有实数根， 小明的观点正确 ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）假设，代入得 ，再利用判别式进行判定方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 略 18. 荔枝是广东省的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． （1）任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； （3）任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为____________．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】（1）荔枝平均每株产量的年平均增长率为；（2）此时纸盒的高为；（3）． 【解析】 【分析】（1）设荔枝平均每株产量的年平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设裁掉正方形的边长为，根据题意，列出方程，即可求解； （3）设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为，纸盒的高为，根据正六边形的性质以及直角三角形的性质可得，，，从而得到，，再由四边形为矩形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）任务1：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为， 由题意得：， ； ，（不符合题意舍去） 答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为； （2）任务2：设裁掉正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：此时纸盒的高为； （3）任务3： 如图，设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为，纸盒的高为， 正六边形的每条边相等，每个内角都为， 为等腰三角形，， ， 由正六边形的性质可得平分， ， ， 直角三角形中，，， 同理直角三角形中，， ，， ①， 左侧小三角形顶点的角度， 左侧小三角形为边长的等边三角形， 根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直， 为等边三角形的高， ， 同理可得，， 四边形为矩形， ， ， ②， 联立①②式可得， 答：纸盒的高为cm． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键． 19. 阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数、，且，满足、，则的值为___________； （2）若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； （3）已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据实数、是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）先将，代入求出，再由一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）将、看作是方程的两实数根，再由一元二次方程根的判别式得不等式，结合即可求解． 【小问1详解】 解：实数、，且，满足、， 实数、（）是一元二次方程的两根， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：方程两个实数根，，若满足， ，无解或， ， ， ，， ． 【小问3详解】 解：，， 将、看作是方程的两实数根； ， 而， ， ， 即， 的最大值为1． 20. 如图1，在矩形中，，，、分别是、上的点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线对折，得到四边形，点、的对应点分别为点、． 备用图1 备用图2 （1）若，当时，__________；当时，__________． （2）如图2，当点恰好落在的中点，交于点，，求的值． （3）若，，当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想是解题的关键． （1）当时，先说明四边形是矩形，再根据矩形的性质即可解答；当时，然后根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可解答； （2）由矩形的性质以及中点的定义可得，再根据翻折的性质可证明，则、，进而得到、、；再在中运用勾股定理列方程求解即可； （3）分当所在直线经过矩形的顶点、顶点在的延长线上时、顶点在的延长线时三种情况，然后根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图：∵矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∵将四边形沿所在直线对折，得到四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：2，4． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，，， 在和中 ， ，， 在中，根据勾股定理得：， 设，则， ∴，解得： 【小问3详解】 解：①如图：当所在直线经过矩形的顶点时， 根据折叠可知：，，，， ，，， ， ，， ， ， ， ，， 根据勾股定理得：，即，解得： ②如图：当顶点在的延长线上时，连接， 在中，，，，， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ， ，解得：． ③如图：当顶点在的延长线时， 在中，，，，， 在中，，，，， ，， 在中，，，， 根据勾股定理得：， 即，解得：． 综上，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级10月阶段性检测 数学 说明：1、答题前，请将姓名、学校、试室号和准考证号用规定的笔写在答题卡指定的位置上． 2、全卷分共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3、考生必须在答题卡上规定的区域作答：否则其答案一律无效． 一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 4. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 5. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知是方程的一个实数根，则的值为__________． 10. 如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为__________． 11. 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知，，当千斤顶升高___________时，四边形为正方形．（参考数据：，，结果保留整数） 12. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 13. 如图，正方形与正方形，M，N分别是，的中点，当点F落在线段上时，点G恰好在上，记正方形的边长为m，正方形的边长为n，则_______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 14. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ， ∵， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法___________，乙同学的解法_________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 15. 如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲停在A区的概率是_______； （2）求甲、乙停在相同区域的概率． 16. 尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）： （1）如图1，南南用尺规分别以的点A，B为圆心，为半径画圆弧，交于点E，F，连接．请你证明四边形为菱形． （2）在图2中，请用尺规在的边上分别作出点E，F，使四边形为菱形．（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明） 17. 已知关于的方程，为常数． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由． 18. 荔枝是广东省的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． （1）任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； （3）任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为____________．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 19. 阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数、，且，满足、，则的值为___________； （2）若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； （3）已知实数、、满足、，且，求的最大值． 20. 如图1，在矩形中，，，、分别是、上的点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线对折，得到四边形，点、的对应点分别为点、． 备用图1 备用图2 （1）若，当时，__________；当时，__________． （2）如图2，当点恰好落在的中点，交于点，，求的值． （3）若，，当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $