精品解析：河南省郑州市郑州经济技术开发区外国语学校2025--2026学年上学期10月月考九年级数学试题

2025-2026学年第一学期外国语学校学情调研 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，最高次数为3次，故此选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故此选项符合题意； C、（，、、为常数），故此选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不符合题意； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，不符合题意； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不一定是正方形，不符合题意； D、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，符合题意； 故选：D． 3. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是， ∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是， ∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4. 如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（ ） A. 当∠ABC＝90°时，四边形MNPQ为正方形 B. 当AC＝BD时，四边形MNPQ为菱形 C. 当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形 D. 四边形MNPQ一定为平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ＝AC，MN∥AC，MN＝AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】连接AC、BD交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ∴PQ∥AC，PQ＝AC，MN∥AC，MN＝AC， ∴PQ∥MN，PQ＝MN， ∴四边MNPQ一定为平行四边形，D说法正确，不符合题意； ∠ABC＝90°时，四边形MNPQ不一定为正方形，A说法错误，符合题意； AC＝BD时，MN＝MQ， ∴四边形MNPQ为菱形，B说法正确，不符合题意； AC⊥BD时，∠MNP＝90°， ∴四边形MNPQ为矩形，C说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质和判定，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键． 5. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点C，D分别作、的平行线交于点E．若，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由，可证是等边三角形，再根据，，可证四边形是菱形，即可计算出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 8. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】解：根据题意得：；   故答案为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键． 9. 欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（    ） A. AC B. AD C. AB D. BC 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次方程，由求根公式求得， 已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论. 【详解】x2+ax＝b2 , 即x2+ax-b2=0 , ∴ ∵∠ACB=90°， ∴AB=， 则 故答案为B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，与勾股定理，解题关键在于能够求出AB的长度. 10. 如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝；④△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出四边形CNPM是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8−x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可． 【详解】解：如图1， ∵PM∥CN， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵∠MNC＝∠PNM， ∴∠PMN＝∠PNM， ∴PM＝PN， ∵NC＝NP， ∴PM＝CN， ∴四边形CNPM是平行四边形， ∵CN＝NP， ∴四边形CNPM是菱形，故②正确； ∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP， ∴∠MQC＝∠D＝90°， ∵CM＝CM， 若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL）， ∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误； 点P与点A重合时，如图2所示： 设BN＝x，则AN＝NC＝8−x， 在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2， 即42＋x2＝（8−x）2， 解得x＝3， ∴CN＝8−3＝5，AC＝＝＝， ∴CQ＝AC＝， ∴QN＝＝， ∴MN＝2QN＝．故③正确； 当MN过点D时，如图3所示： 此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4， 当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5， ∴4≤S≤5，故④正确． 故选：B． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个关于x的一元二次方程___________，使得它的两个根分别是和2，且二次项系数为1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根，一元二次方程的一般式，根据关于x的一元二次方程的两个根分别是和2，且二次项系数为1，进行作答即可． 【详解】解：依题意，，满足关于x的一元二次方程的两个根分别是和2，且二次项系数为1， ∴， 即满足关于x的一元二次方程的两个根分别是和2，且二次项系数为1， 故答案为： 12. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则恰好有一人直行，另一人左拐的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图即可得解. 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中恰好有一人直行，另一人左拐的结果数为2， 所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率=． 故答案为. 【点睛】本题考点：画树状图求概率. 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．先利用一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，分别是上的点，相交于点．是的中点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先由正方形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，接着根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，最后在中，用勾股定理求出的值，即可求出的值． 【详解】解：四边形是正方形，且， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ． 是的中点， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动，连接，在移动的过程中，的最小值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．连接，作于，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明得到，，接着判定为等边三角形，所以，然后根据垂线段最短判断的最小值即可． 【详解】解：连接，作于，如图所示： 四边形为菱形， ， 和都是等边三角形 ， 在中，， ，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动 在和中 ， 为等边三角形 当点运动到点时，的值最小，其最小值为 的最小值为 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 因式分解得：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． 17. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从B口走出去的概率是_____； （2）请用树状图或列表法表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图、根据树状图求概率等知识点， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图确定松鼠走出笼子的所有可能路线结果数和松鼠经过E门出去的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【小问1详解】 松鼠经过第一道门时，从B口走出去的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意画出树状图如下： 由树状图可知：松鼠走出笼子的所有可能路线结果数为6，松鼠经过E门出去的结果数为3，则松鼠经过E门出去的概率为． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值m的值即可． 【小问1详解】 解：∵． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得，， ∴可化为， 即， 解得，． 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 19. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形， 理由如下： ∵垂直平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，再证明四边形为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，得出，再由勾股定理求出，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积 20. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【答案】（1）当或时，代数式A比B的值大2； （2） ∵， ∴， ∴对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【解析】 【分析】（1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ； 设日销售利润为，则该益智玩具的日销售利润与销售单价x之间的函数关系式为 ； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；；（2）该益智玩具的销售单价应定为50元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用． （1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，利用待定系数法求解即可，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；根据“每日利润（销售单价进价）日销售量”即可求解； （2）根据“每日利润”，解得，，进而可得销售单价，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ， 故答案为：；； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发向终点运动；同时点从点出发向终点运动当、两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点、的速度分别为，，连接、、设点、运动的时间为． （1）如图（1），当为何值时，四边形是矩形？ （2）如图（2），若点为边上一点，当时，四边形可能为菱形吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形ABCD能成为菱形， 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，一元一次方程的应用 （1）根据矩形的性质可得，进而列方程，解方程可求解； （2）根据菱形的性质可得，进而列方程，解方程可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，，则， 若四边形是矩形，则， ， 解得， 故当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 如图 由题意得，，则， ∴，，， 显然若要使四边形为菱形，只需保证， ， 解得， 故当时，四边形为菱形． 即四边形ABCD能成为菱形，此时． 23. 如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE=DF，连接EF交对角线BD与点G，连接AE，AF，AG． （1）求证：AE=AF． （2）求证：BG-DG=DF． （3）若DG=4，DF=，直接写出正方形ABCD的边长=　 　． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠ADC=90°=∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF； （2）证明：过E作EH⊥BC交BD于H，如图： ∵∠DBC=45°， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BE=DF，BH=BE， ∵EH⊥BC， ∴EH∥CD， ∴∠GHE=∠GDF，∠GEH=∠GFD， ∴△GHE≌△GDF（ASA）， ∴DG=HG， ∴BG-DG=BG-HG=BH， ∴BG-DG=BE=DF； （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，∠ABE=∠ADC=90°=∠ADF，从而△ABE≌△ADF（SAS），即得AE=AF； （2）过E作EH⊥BC交BD于H，由∠DBC=45°，知△BEH是等腰直角三角形，HE=BE=DF，BH=BE，根据△GHE≌△GDF（ASA），可得DG=HG，即可证明BG-DG=BE=DF； （3）由DG=4，DF=，可得BG=DG+DF=6，从而BD=BG+DG=10，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知：BG-DG=DF， 而DG=4，DF=， ∴BG=DG+DF=6， ∴BD=BG+DG=10， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC=CD=， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形性质及应用，涉及三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形判定及性质等知识，解题的关键是证明△GHE≌△GDF，从而HE=DF． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期外国语学校学情调研 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 3. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（ ） A. 当∠ABC＝90°时，四边形MNPQ为正方形 B. 当AC＝BD时，四边形MNPQ为菱形 C. 当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形 D. 四边形MNPQ一定为平行四边形 5. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点C，D分别作、的平行线交于点E．若，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（    ） A. AC B. AD C. AB D. BC 10. 如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝；④△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个关于x的一元二次方程___________，使得它的两个根分别是和2，且二次项系数为1 12. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则恰好有一人直行，另一人左拐的概率为_____． 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 14. 如图，在正方形中，分别是上的点，相交于点．是的中点，若，则的长为___________． 15. 如图，在菱形中，，，，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动，连接，在移动的过程中，的最小值为__________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从B口走出去的概率是_____； （2）请用树状图或列表法表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 19. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 20. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ； 设日销售利润为，则该益智玩具的日销售利润与销售单价x之间的函数关系式为 ； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发向终点运动；同时点从点出发向终点运动当、两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点、的速度分别为，，连接、、设点、运动的时间为． （1）如图（1），当为何值时，四边形是矩形？ （2）如图（2），若点为边上一点，当时，四边形可能为菱形吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 23. 如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE=DF，连接EF交对角线BD与点G，连接AE，AF，AG． （1）求证：AE=AF． （2）求证：BG-DG=DF． （3）若DG=4，DF=，直接写出正方形ABCD的边长=　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $