江西省吉安市（十一所学校联考）2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

吉安市2025—2026学年（上）九年级数学第一次阶段性练习检测卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．下列关于x的方程中属于一元二次方程的是（ ） A．x－5＝0 B． C． D． 2．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ） A．四个角相等 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 3．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ） A． B． C． D． 4．如图，CD为Rt△ABC斜边AB的中线，E是AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE的长为（ ） A．3 B．5 C．4 D．8 5．关于x的一元二次方程（有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A．m≤4 B．m≥4 C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点M在边AB上，点P在边AC上，且满足AP＝BM，过M作MN⊥BC于点N，过P作PQ⊥BC于点Q，则MN＋PQ的值是（ ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是______． 9．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为______cm²． 10．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是______． 11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E，F，连接PB，PD，若AE＝2，P＝6，则图中阴影部分的面积为______． 12．在边长为6的正方形ABCD中，动点M从点A出发，沿着A→B→C的路线向终点C运动，连接DM交AC于点N，连接BN．记点M运动所经过的路程为x，若要使得△AND为等腰三角形，则x的值为______． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．（1）解方程：x（x＋1）＝4（x＋1） （2）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BA、DA延长线上的点，连接DE、BF，且AE＝AF，∠E＝∠F．求证：四边形ABCD是菱形． 14．二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：A．小满，B．芒种，C．夏至，D．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． （1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是______； （2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 15．如图1、2，菱形ABCD的AB边上有一点E，请你仅用无刻度的直尺，在图1、2中分别作出满足下列要求的图形（保留痕迹，不写作法）． （1）在图1中，在BC边上作出点F，使 （2）在图2中，在CD边上作出点G，使四边形AECG为平行四边形． 16．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， ∴x－2＝3或x－2＝－3④ ⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是______； （2）请你写出正确的解答过程． 17．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为xm （1）用含有x的式子表示AD，并写出x的取值范围； （2）若苗圃园的面积为平方米，求AB的长度． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．在等腰中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是正方形； （2）若求正方形ADCF的面积． 19．在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③1；④乘法；⑤加法。将这5张小纸条做成5支签，①，②，③放在不透明的盒子A中搅匀，④，⑤放在不透明的盒子B中搅匀。 （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是______。 （2）先从盒子A中任意抽取2支签，再从盒子B中任意抽出1支签，求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率。 20．已知：方程是关于x的一元二次方程． （1）判断此方程根的情况，并说明理由； （2）若a，b，c是的三边长，c＝5，且a，b是一元二次方程的两根．k何值时，是等腰三角形，并求出等腰三角形的底边． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t>0）． （1）用含t的式子表示线段的长度： （2）当0<t<2.5时，运动时间t为多少秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形? （3）当5<t<10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形?若有，请求出t；若没有，请说明理由． 22．解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程 如果设用y表示x后代入得：解得y＝4或y＝1，即或1． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知则的值； （2）已知求的值 （3）解方程： 六、解答题（共12分） 23．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5．将边AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，过点E作交直线BC与点F． 【猜想证明】 （1）当时，四边形ABFE的形状为______；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接DE，求此时△ADE的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线?若存在，请求出此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 吉安市2025－2026学年（上）九年级数学第一次阶段性练习 检测卷答题卡 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．A 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．－2 8．（答案不唯一） 9．2.8 10．1 11．12 12．6或12或 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．（1）解：， ， ，2分 或， 解得．3分 （2）证明：在与中， ．5分 ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形．6分 14．（1）．2分 （2）解：画树状图如下： ．4分 共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种， 两人都没有抽到“C．夏至”的概率为．6分 15．（1）如图，点即为所求；3分 （2）如图，点即为所求．6分 16．（1）③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；2分 （2）解：，移项得，， 两边同除以2得，，配方得，，即，， 或， ．6分 17．（1）， ，的取值范围为：；2分 （2）根据题意得：， 整理，得，解得：，4分 ，当时，， 不合题意，舍去；，即的长度为12， 答：若苗圃园的面积为192平方米，则AB的长度为12米．6分 18．（1）证明：，， 是的中点，， 又， 在和中， ，，2分 是的中点，，， 又，四边形是平行四边形， 是的中点， 在中， 平行四边形是正方形；5分 （2）解： 由（1）知， 在中， ．8分 19．（1）．2分 解：（2）画树状图如图．4分 共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行相应的 运算后结果是无理数的有①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④， ③②⑤，共10种，抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．8分 20．解：（1）在一元二次方程中， 该方程有两个不相等的实数根；3分 （2）解方程得：或，4分 ， ，当时，， 则，此时底边为3；6分 当时，， 则，此时底边为7．8分 21．（1），2分 （2）以为顶点的四边形是矩形， ，，解得．5分 （3）解；假设存在以为顶点的四边形是平行四边形， ，或，7分 解得或， 存在或使得以为顶点的四边形是平行四边形．9分 22．解：（1）令，则，原方程可化为 即，解得或 又所以，的值为1．3分 （2） 两边同时除可得：令， 可化为 解得或．6分 （3）令，则 原方程可化为 即，解得或 当时，即， ，即 解得 当时， 判别式，方程无解 综上所述，的解为．9分 23．（1）正方形；2分 （2）如图2，作于， ，， ，，， ，， ；6分 （3）如图，当点在上时，连接， ， ，， 设，则， 根据旋转的性质得：， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：；9分 如图，当点在的延长线上时， 同理， 设，则， ， 解得：，综上所述，或8．12分 学科网（北京）股份有限公司 $