精品解析：江苏省徐州市铜山区大许镇中心中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026九（上）数学月考试卷（A） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分） 1. ⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 2. 若关于的方程的一个根为1，则的值为（ ）． A. 3 B. －1 C. －3 D. 1 3. 如图，的直径垂直于弦，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、C在⊙上，AO∥BC，∠OBC=40°，则∠ACB的度数是（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 5. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 10. 如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是______． 11. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__． 12. 如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，，OC交AB于点P．若，则的度数等于___________°． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 14. 如图，是等边三角形的内切圆，分别切、、于点、、，是上一点，则的度数为______． 15. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于______． 16. 如图，点、分别是x轴和y轴上两点，点B是以M为圆心、1为半径的圆上的一个动点，连接AB，点C是AB的中点，连接OC，则OC的最大值为________． 三、解答题（本大题共6题，共74分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 19. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 20. 某一店铺售卖公仔，其进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 21. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积． 22. 如图，⊙O的半径为1，、、、是上的四个点，． （1）判断的形状：　　； （2）试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026九（上）数学月考试卷（A） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分） 1. ⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系可知：在同一个平面内，当一点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当一点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此问题可求解． 【详解】解：由⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，可知：点到圆心的距离大于圆的半径，所以点P与⊙O的位置关系是点在圆外； 故选A． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 2. 若关于的方程的一个根为1，则的值为（ ）． A. 3 B. －1 C. －3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝1代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是1， ∴当x＝1时，由原方程，得 1－2＋m＝0， 解得m＝1； 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，属于基础题型． 3. 如图，的直径垂直于弦，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理．根据垂径定理推出，推出，再由即可解决问题． 【详解】是直径，， ， ， ， ， 故选：C． 4. 如图，点A、B、C在⊙上，AO∥BC，∠OBC=40°，则∠ACB的度数是（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由平行线所夹同位角相等得，∠O=∠OBC，再由圆的性质得∠ACB=∠O，即可求解． 解答：解：∵AO∥BC ∴∠O=∠OBC=40° ∴∠ACB=∠O=20°． 故选B． 点评：此题运用了平行线的性质、圆心角、圆周角定理求解 5. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角和圆周角关系等．根据题意可求出所对的优弧的角度为，再利用同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴所对的优弧的角度：， ∴， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的交点即为所求的的外心， 的外心坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外心的知识，解题的关键是注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 8. 如图，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分别求出小正方形与大正方形的面积，再求出小正方形面积与大正方形面积的比即为小球落在小正方形内部区域阴影部分的概率． 【详解】解：设小正方形的边长为，则其面积为． 圆的直径正好是大正方形边长， 根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为， 大正方形的边长为， 则大正方形的面积为，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为； 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率的求法，正方形多边形与圆，解答此题除了熟悉几何概率的定义外，还要熟悉圆内接正方形和圆外切正方形的关系． 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 10. 如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．根据圆周角定理可求出的大小，再根据切线的性质，可得出，最后利用三角形内角和定理即可求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∴． 故答案为：． 11. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，然后再根据圆的面积公式求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了圆锥的展开图、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解答本题的关键． 12. 如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，，OC交AB于点P．若，则的度数等于___________°． 【答案】70° 【解析】 【分析】根据，得到，，然后再因为BC为的切线，进而得出最后的结论． 【详解】， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵BC为的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，正确理解题意是解题的关键． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【详解】解：由题意可得， 20×0.25＝5（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是5个， 故答案是：5． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数． 14. 如图，是等边三角形的内切圆，分别切、、于点、、，是上一点，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线的性质，圆周角定理,等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理． 如图，连接，．求出∠EOF的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，． ∵是的内切圆，E，F是切点， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于______． 【答案】16° 【解析】 【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数． 【详解】解：连接BD，如图， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°， ∴∠CAB＝∠BDC＝16°． 故答案为16° 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 16. 如图，点、分别是x轴和y轴上两点，点B是以M为圆心、1为半径的圆上的一个动点，连接AB，点C是AB的中点，连接OC，则OC的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作点A关于y轴的对称点，连接，当经过圆心M时，则长度最大，再根据中位线定理求解即可． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点，连接，如图， ∴点O是的中点， ∴ ∵点C是AB的中点， ∴OC为的中位线 ∴ 当经过圆心M时，则长度最大，则有 ∴，即OC的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了线段的最大值求法，判断出过圆心的线段最长是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共6题，共74分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先对等式左边因式分解，再求解即可； （2）先移项，再对等式左边因式分解，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】（1）8，8，8，10 （2）2， （3） 解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 【解析】 【分析】（1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义即可解答． 【小问1详解】 解：甲的平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环； 【小问2详解】 解：； ； 【小问3详解】 略 19. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 20. 某一店铺售卖公仔，其进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设售价应降低元，根据单件利润乘以售出件数等于总利润列方程求解即可． 【详解】解：设售价应降低元，则单件利润为元，售出件数为件， ∴， 即， 解得：， ∵尽量减少库存， ∴， ∴售价应降低元． 21. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，根据，得，得，根据，得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图 ，连接交于， ， ， ∵是劣弧的中点， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ，， 解得，； ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形的性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论，等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式是解题的关键． 22. 如图，⊙O的半径为1，、、、是上的四个点，． （1）判断的形状：　　； （2）试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）等边三角形 （2） 解：，理由如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $