专题03 幂函数、指数函数、对数函数综合压轴题（专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题03 幂函数、指数函数、对数函数综合压轴题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂函数的图象与性质综合压轴（选填题） 1 题型二、指数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 4 题型三、对数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 9 题型四、嵌套函数与函数零点综合（选填题）（难点） 12 题型五、幂函数的图象与性质综合压轴（解答题） 15 题型六、指数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 20 题型七、对数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 24 题型八、新定义型压轴题（解答题）（难点） 29 B综合攻坚・能力跃升 题型一、幂函数的图象与性质综合压轴（选填题） 1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江湖州·开学考试）已知函数， 则以下结论正确的是（    ）（多选题） A．函数为增函数 B．，不等式恒成立 C．若， 在，上恒成立，则的最小值为 D．若关于的方程有三个不同的实根，则 3．（25-26高一上·湖南·期中）已知，函数则以下说法正确的是（    ）（多选题） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，甲同学给出了如下解答：由，解得．所以，实数a的取值范围是．乙同学却认为不正确．甲乙两位同学讨论后，发现上述解答确实不正确．那么实数的取值范围正确的是 ． 题型二、指数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 6．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 7．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ）（多选题） A．函数有4个零点 B．对于实数，不等式恒成立 C．关于的方程有个不同的解 D．当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ）（多选题） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 9．（2025·陕西汉中·三模）已知函数，则下列结论中正确的是（   ）（多选题） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 10．（25-26高一上·上海·阶段练习）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 题型三、对数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 11．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数，若，使成立，则实数的值可以是（   ）（多选题） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 13．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（    ）（多选题） A． B． C． D． 14．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（    ）（多选题） A．若，，则实数m的取值范围为 B．若，，则实数m的取值范围为 C．若，，则实数m的取值范围为 D．若，，则实数m的取值范围为 15．（24-25高一上·四川南充·期末）设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四、嵌套函数与函数零点综合（选填题）（难点） 16．（25-26高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，关于的方程的解的个数可能是 . 17．（25-26高三上·河南·阶段练习）设函数，则关于的方程根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 ． 18．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 19．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 20．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数，其中.若方程有 且只有一个解，则实数的取值范围是 . 题型五、幂函数的图象与性质综合压轴（解答题） 21．（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且． (1)求；(2)若，求的取值范围． 22．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点.(1)试求，的解析式；(2)试判断函数与是否是“速增函数”；(3)若函数为“速增函数”，求a的取值范围. 23．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数 (1)若该函数恰有一个零点，求实数的值； (2)若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 24．（25-26高一上·湖南·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值；(2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 25．（24-25高一上·浙江金华·期中）已知函数，（，a为常数）． (1)讨论函数的奇偶性；(2)若函数有3个零点，求实数a的取值范围； (3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：． 题型六、指数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 26．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数..(1)求函数，的解析式；(2)判断并证明的单调性； (3)若对，恒成立，求实数的取值范围； 27．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数 (1)若，求的值;(2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 28．（24-25高一上·四川南充·期末）已知函数，. (1)求函数在区间上的最小值；(2)若函数，且的图象与的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围. 29．（23-24高一上·广东深圳·期末）在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有；(1)证明：在上单调递增；(2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围；(3)若，求证：对任意，都有． 30．（24-25高一上·湖北·期末）已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求与的解析式；(2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 题型七、对数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 31．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围．(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 32．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)试判断的单调性，并说明理由；(3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 33．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明；(2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 34．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明；(2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 35．（24-25高一上·广西·阶段练习）已知函数（且）. (1)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由. 题型八、新定义型压轴题（解答题）（难点） 36．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”. (1)判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； (2)设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式； (3)设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围. 37．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 38．（24-25高一上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数，的值： (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为①求当时，求的解析式；②若在上恒成立，求实数的取值范围． 39．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的图象过点，且满足. (1)求函数的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求；(3)若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 40．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西抚州·期末）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ）（多选题） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 5．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知函数则关于x的方程（为常数，且）的实数解的个数可能为（    ）（多选题） A．4 B．1 C．8 D．7 6．（24-25高一上·湖北武汉·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（    ）（多选题） A．所有偶函数都具有性质 B．具有性质 C．若，则一定存在正实数，使得具有性质 D．已知，若函数具有性质，则 7．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A． B． C． D．的取值范围为 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ． 9．（25-26高三上·广东清远·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）若函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围恰好是，就称区间为的一个“和谐区间．（1）函数 “和谐区间”（填“有”或“没有”）；（2）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则的“和谐区间”为 ． 11．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是偶函数，其中k为实数，函数.(1)求k的值；(2)若，使得，求实数a的取值范围. 13．（24-25高一上·上海静安·期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”.(1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 14．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点.(1)试求，的解析式；(2)试判断函数与是否是“速增函数”；(3)若函数为“速增函数”，求的取值范围. 15．（24-25高一上·河北·阶段练习）若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由．(2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 16．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； (3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 17．（25-26高一上·山东·期末）已知函数，． (1)直接写出时，的最小值．(2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 18．（24-25高一下·四川泸州·期中）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”.(1)若函数是“型函数”，求的值； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围. 19．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）设，. (1)判断的奇偶性，并证明；(2)推理并写出的单调区间；(3)当时，函数的图象恒在函数的上方，求的取值范围. 20．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，；(1)当时，解方程； (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；(3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂函数、指数函数、对数函数综合压轴题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂函数的图象与性质综合压轴（选填题） 1 题型二、指数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 4 题型三、对数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 9 题型四、嵌套函数与函数零点综合（选填题）（难点） 12 题型五、幂函数的图象与性质综合压轴（解答题） 15 题型六、指数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 20 题型七、对数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 24 题型八、新定义型压轴题（解答题）（难点） 29 B综合攻坚・能力跃升 题型一、幂函数的图象与性质综合压轴（选填题） 1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减，所以，又，所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 不符合题意舍去，所以，函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，，所以不等式可化为 或或，所以或， 所以的取值范围为.故选：C. 2．（24-25高一下·浙江湖州·开学考试）已知函数， 则以下结论正确的是（    ）（多选题） A．函数为增函数 B．，不等式恒成立 C．若， 在，上恒成立，则的最小值为 D．若关于的方程有三个不同的实根，则 【答案】BCD 【详解】当时，； 当时，；依次类推，当，时，； 对于A，，，不符合增函数定义，A错误； 对于B，，，对于，不等式恒成立，B正确； 对于C，当，时，；若，则，的最小值为，C正确； 对于D，由得：， 当时，则，方程无解，不合题意； 当时，则或；与有且仅有三个不同交点； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；，解得：；D正确.故选：BCD. 3．（25-26高一上·湖南·期中）已知，函数则以下说法正确的是（    ）（多选题） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】AC 【详解】对于A，当时，在上单调递增，若有最小值，则，解得，故A正确；对于B，当时，，由幂函数的性质知，当时，单调递增．故B错误； 对于C，在上单调递增，当时，；若的值域为，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，当时，，则，，恒成立，不存在，使得，故D不正确；故选：AC 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【详解】设函数的2次方膨胀区间为，由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根，记， 所以，解得且，故答案为：，且， 5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，甲同学给出了如下解答：由，解得．所以，实数a的取值范围是．乙同学却认为不正确．甲乙两位同学讨论后，发现上述解答确实不正确．那么实数的取值范围正确的是 ． 【答案】 【详解】上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论和两种情况；而时，在区间内的零点可能不是“变号零点” 正确解答如下：（1）当时， 令得：，解得： ∴当时，在内恰有一个零点. （2）当时， ①若，即，则函数的图象与轴交于点 是内的唯一零点 ②若，即 则i.，解得：且 ii.当，即时，，解得：，是内的唯一零点 iii.当时，即时，，解得：，是内的唯一零点 综上可得，的取值范围是 题型二、指数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 6．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，因为，所以，则有方程在内有2个根， 即在内有2个解，即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，，所以.故答案为：. 7．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ）（多选题） A．函数有4个零点 B．对于实数，不等式恒成立 C．关于的方程有个不同的解 D．当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【详解】当时，，当时，， 结合可得的图像如图所示：       对于A，考虑函数的图像与直线的交点个数， 如下图所示，直线过，结合图像可得两图像交点个数为9个，故A错误； 对于B，结合函数的图象可得在上， 的图象在图象上或在下方，故即恒成立，故B正确；         对于C，当时，，故时，， 而为奇函数，故时，，故在上无解， 当，则， 且此时在上为减函数，在上为增函数，而，结合图像可得： 当时，在均有两个不同解， 在上，仅有一个解，而当时，，故此时无解 综上，共有个不同的解，故C正确； 对于D，即为或， 结合图像可得仅有一个解，故有6个不同的解，且与2相异， 结合图像可得，故D正确.故选：BCD. 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ）（多选题） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ，令，当时，， 设，所以，， 于是当时，，对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确.故选：BCD. 9．（2025·陕西汉中·三模）已知函数，则下列结论中正确的是（   ）（多选题） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，当时，为增函数， 当时，，则函数、均为增函数， 故函数也为增函数，综上所述，当时，函数单调递增，A对； 对于B选项，取，则，此时， 所以，此时， 函数的定义域为，，即函数为偶函数， 因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对； 对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且， 此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错； 对于D选项，因为，则， 由题意可知时，函数为增函数， 当时，由题意可知，对任意的，恒成立， 只需，即，因为，则， 因为，则，所以，即， 所以，可得，解得或，因为，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对.故选：ABD. 10．（25-26高一上·上海·阶段练习）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】对于，当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则，且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则，由，得，即， 则.故答案为：. 题型三、对数函数的图象与性质综合压轴（选填题）（常考点） 11．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数，若，使成立，则实数的值可以是（   ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意，在上， 当，则在上单调递减，故， 所以，可得，故； 当，则在上单调递增，故， 所以，可得，故；综上，或.故选：ABC 12．（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 【答案】0 【详解】令的值域为，则的值域包含． ①当时，，其值域为，满足题意； ②当时，令，函数转化为函数，其图象开口向下， 则的值域为，不满足题意．所以，故答案为：0． 13．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，，， 画出函数图像，如图所示： 根据图像知：，即，，A正确； ，B正确； ，，，即， 即，展开得到， 解得，由于，等号不成立，故C错误； ，故，，D正确. 故选：ABD 14．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（    ）（多选题） A．若，，则实数m的取值范围为 B．若，，则实数m的取值范围为 C．若，，则实数m的取值范围为 D．若，，则实数m的取值范围为 【答案】BD 【详解】对于函数，因，则函数是奇函数.不妨设，则， 对于A项，当时，在定义域内为增函数， 因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数. 由，则，即（*）， ①当时，此时恒成立；② 当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误； 对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数， 由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确； 对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数， 由，则，即（*）， ①当时，无解；② 当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误； 对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数， 由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确.故选：BD. 15．（24-25高一上·四川南充·期末）设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB选项，画出和的函数图象，如下： 显然，，， 由于，故，结合图象可知，，故，A错误； 由于，故，结合图象可知，B正确； C选项，，，两式相减得，故，C错误； D选项，由C知，，故，又，在上单调递减， 故，D错误.故选：B 题型四、嵌套函数与函数零点综合（选填题）（难点） 16．（25-26高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，关于的方程的解的个数可能是 . 【答案】 【详解】函数的图像如下：    令，则，则， 当时，即，或，方程无解，即无解； 当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，当时，即，，，则， 故，， 当时，则有两解， 当时，若，则有三解，若，则有两解， 故方程解的个数为4或5个， 综上方程解的个数可能为个.故答案为：. 17．（25-26高三上·河南·阶段练习）设函数，则关于的方程根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 ． 【答案】 2 【详解】令，则，所以，由， 因为，所以，作出的图像： 由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2； 由有， 所以， 所以， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，所以当时，，所以， 又因为时，，所以，且当时，， 又当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以，所以.故答案为：. 18．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 19．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 【答案】 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解；当时，有3个解； 当时，有1个解；因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，.综上所述，的取值范围为.故答案为： 20．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图，作出函数的图象，令，则， 当时，由，得或，即或， 若方程只有一个解，则，解得， 若方程只有一个解，则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即，令，解得， 要使方程只有一个解，则，解得， 综上所述，a的取值范围是.故答案为：. 题型五、幂函数的图象与性质综合压轴（解答题） 21．（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且． (1)求；(2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得，又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 22．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点.(1)试求，的解析式；(2)试判断函数与是否是“速增函数”；(3)若函数为“速增函数”，求a的取值范围. 【答案】(1)，.(2)是“速增函数”，不是“速增函数”，理由见解析(3). 【详解】（1）因为为幂函数且是偶函数， 则且为偶数，解得或（舍），所以， 又，即，解得，则. （2）对于函数，当，时，，， 又， 所以，故是“速增函数”. 对于函数，当时，， 故不是“速增函数”. （3）当，时，由是“速增函数”， 可知，即对一切正数恒成立， 又，可得对一切正数恒成立，所以. 由，可得对一切正数，恒成立， 即 对一切正数，恒成立， 故对一切正数，恒成立， 又，故对一切正数，恒成立， 由对一切正数，恒成立，可得，即.综上可知，的取值范围是. 23．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数 (1)若该函数恰有一个零点，求实数的值； (2)若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或(2)(3)或 【详解】（1）当时：函数为，恰有一个零点，符号题意； 当时：函数是二次函数，， 化简得，解得或.综上，或或. （2）函数，函数有两个零点，故，即， ，即，解得且； 对称轴为，需满足，解得或， ，，解得或， 综上的取值范围为：. （3）不等式对恒成立， 对恒成立，分情况讨论： 当时：即或， 当时，不等式变为，对恒成立。 当时，不等式变为，即，不满足对恒成立； 当时：此时函数是二次函数，要使其对恒大于，需满足，由得或， 计算，即，解得或， 结合或，得到或，综上，实数的取值范围是或. 24．（25-26高一上·湖南·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值；(2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意；所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 25．（24-25高一上·浙江金华·期中）已知函数，（，a为常数）． (1)讨论函数的奇偶性；(2)若函数有3个零点，求实数a的取值范围； (3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：． 【答案】(1)见解析(2)或(3)见解析 【详解】（1）（1），定义域为，关于原点对称， 又， 故当时，，函数为偶函数， 当时，，故函数为非奇非偶函数. （2）因为， 当，即时，，此时开口向下，对称轴为，且， 当，即或时，， 所以当时，在，上单调递增，且，， 则的图象如下：显然，当，即时，有个零点； 当时，在，上单调递减，且，， 则的图象如下：显然，当，即时，有个零点； 当时，为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意； 综上：或. （3）因为，所以当时，， 则，易知在上单调递减， 当时，，则，易知在上单调递增， 因为与在有两个互异的交点， 所以与在与各有且只有一个交点， 又，所以，且，， 则，，故，即，则， 要证，即证，即证， 只需证，即证， 即证，即证， 因为，所以，则，所以显然成立，证毕. 题型六、指数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 26．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数..(1)求函数，的解析式；(2)判断并证明的单调性； (3)若对，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)，(2)在R上单调递增，证明见解析(3) 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数，所以，， 则由，可得：①； ，② 联立①②解得：，； （2）在单调递增，理由如下：，且， ， ∵，∴，，， ∴，∴在上单调递增； （3）依题意，对，恒成立， 即对，恒成立， 由于，，即对，恒成立， 令，由（2）可知在上单调递增，因此可得：， 由，，所以. 根据对勾函数的性质可知，函数在区间上单调递增， 所以在时取得最小值，最小值为. 所以可得：，故实数的取值范围为. 27．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数 (1)若，求的值;(2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1），， （2）证明：任取，，且，则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. （3）， 由（2）可知，在上单调递增，； 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令，只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ， 28．（24-25高一上·四川南充·期末）已知函数，. (1)求函数在区间上的最小值；(2)若函数，且的图象与的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析(2) 【详解】（1），所以， 令，因为，则， 所以变为，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，时，函数有最小值； 当时，函数在上单调递增减，函数在上单调递增， 时，函数有最小值； 当时，函数在上单调递减，时，函数有最小值. （2）即，所以， 令，所以化为：， 化为； 令，整理有：； 因为，作出简图如下 注意到，可得：当时，有两个根；当时，有一个根； 因为的图象与的图象有3个不同的交点， 所以有两个根，且一个根在内，一个根在内， 设， 则有：为关于的二次函数，图象开口向上，对称轴为， 根据题意有：，即解得， 或，即 解得 综上所述：. 29．（23-24高一上·广东深圳·期末）在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有；(1)证明：在上单调递增；(2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围；(3)若，求证：对任意，都有． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）任取，且， 则， 由，可知，则， 可得，即，所以在上单调递增. （2）当时，， 注意到，则，，可得，即，可得； 又因为，均有， 即， 整理得，即， 注意到，则，即， 可得，可得，即；综上所述：实数的取值范围为. （3）由题意知，对任意，且，均有， 令，可得，即， 故对任意正整数与正数，都有， 所以对任意正整数与正数，都有， 即对任意正整数与正数，都有， 令，则，令，则， 对任意，可得，由（1）可知：在上单调递增， 则，，所以. 30．（24-25高一上·湖北·期末）已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求与的解析式；(2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， ①②,得，. （2）因为单调递增，单调递增，所以单调递增，因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则，当且仅当，即时取等号，所以. （3）由（1）知，， 则 令，则原式，则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，，综上，. 题型七、对数型函数的图象与性质综合压轴（解答题）（重点） 31．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围．(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为，外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为，故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立，因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即，所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则，因此，实数的取值范围是. 32．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)试判断的单调性，并说明理由；(3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 【答案】(1)(2)单调递增，理由见解析(3) 【详解】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得，所以函数的定义域是． （2）在上单调递增． 理由如下：法一：因为， 又在上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 法二：因为， 对任意，，且，可知，则 ， 又， 可知，所以， 即．故在上单调递增， （3）由（2）可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则，所以，当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以．故实数b的取值范围为． 33．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明；(2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)在上单调递减，证明见解析(3)或 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有，又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，，依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减，所以， 因为，所以， 所以，即得，解得，因为，所以或． 34．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明；(2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，函数为偶函数，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，故函数为偶函数. （2）当时，， 由得，解得， 由可得，解得，所以，实数的取值范围是. （3）因为，则，因为存在使得不等式成立， 则，解得，因此，实数的最大值为. 35．（24-25高一上·广西·阶段练习）已知函数（且）. (1)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在； 【详解】（1）由，得或．∴的定义域为； 令，任取， 则， 因为，，，所以， 即函数在上单调递增； 又，∴在上为单调递减，且当； 函数在有且只有一个零点， 即在有且只有一个解，∵函数在的值域为，∴的取值范围是． （2）假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为， 由且，可得． 又由（1）在上为增函数，在上为减函数. 则在上为减函数，得. 即在上有两个互异实根，由得， 即，有两个大于1的相异零点.由，函数开口向上，且对称轴为， 则，解得．故存在这样的实数符合题意． 题型八、新定义型压轴题（解答题）（难点） 36．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”. (1)判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； (2)设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式； (3)设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围. 【答案】(1)与不是关于“维交换”，理由见解析；(2)；(3) 【详解】（1）函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，， 令，即，即，， 即方程无解.所以，与不是关于“维交换”. （2）依题意，对任意，恒有成立， 即对任意，存在二次函数，， 显然等式左边是关于的次多项式，则设， 于是， 由奇次项系数得，又，则，，解得， 因此存在，使得与关于“任意交换”，所以. （3）令，依题意，函数在上有个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，，函数在时只有个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点、， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点、， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点、， 当时，在时无零点，当时，在时有个零点， 综上所述，当时，有个零点， 所以当与关于“维交换”时，. 故实数的取值范围是. 37．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)3(2) 【详解】（1）具有“性质”，对恒成立，是偶函数. 当时，，所以当时，， 则， 由得，当时. 因为是增函数，在单调递增， 所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增， 因此，在上的最大值为. （2）函数具有“性质”，则， 当时，，所以当时，， 于是，如下图所示： 若有8个不同的实数解，令， 则有两个不等的实数根，，且，， 所以，所以.所以t的取值范围为. 38．（24-25高一上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数，的值： (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为①求当时，求的解析式；②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) (3)①；② 【详解】（1）对于指数函数，有， 故每一个指数函数（且）都是型函数. （2）因为函数是型函数，所以，所以，其中 即，整理得到：在上恒成立， 故，故. （3）①因为为型函数，故，故，而，故. 故，则，故， 故， 故当时，. ②因为在上恒成立，而， 故时，，且当时，，故，故时，恒成立， 故在上恒成立，设， 故在上恒成立，故在上恒成立， 设，则在上为增函数，故， 设，由双勾函数的性质可得在上为增函数，故，故. 综上. 39．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的图象过点，且满足. (1)求函数的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求；(3)若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 【答案】(1)(2)(3)①，②最小值为6 【详解】（1）根据的图象过点，且 可得，故，故. （2）的对称轴为， 当时，在单调递增，故， 当时，即，在单调递减，故， 当时，即，故， 综上可得. （3）根据题意可得， 故有两个不相等的正实数根，故，解得， 由于，故， 由于，则，故，当且仅当时取等号， 故，故最小值为6 40．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在；； 【详解】（1）由题意得，为“倍缩函数”，则， 因为在其定义域上为单调递增函数，在其定义域上单调递增， 由复合函数可得在区间上单调递增， 所以，解得，所以为的两个解，令，， 得有两大于零的不同的根，所以，解得.故的取值范围为. （2）存在，，，理由如下：由题意得为区间上的“倍缩函数”， 所以，所以当时，因为，故此种情况不符合题意； 所以当时，，此时在区间上单调递减， 所以，解得：，故此种情况不符合题意； 当时，，此时在区间上单调递增， 所以，解得， 所以是方程的两正根，所以，得， 此时：，，故此种情况符合题意； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有最小值，故此种情况不符合题意. 综上所述：存在，使为区间上的“1倍缩函数”. 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数的定义域为，函数的零点个数，可转化为方程：的根的个数，在同一坐标系中，画出函数和的图象，如图： 两个函数图象有两个交点.所以原函数有两个零点.故选：B 2．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，，则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是.故选：A. 3．（24-25高一上·江西抚州·期末）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【详解】对任意，都有，且函数在上是单调函数， 为常数，设，则， ， 与在上单调递增，有唯一解，解得， ，.故选：D. 4．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ）（多选题） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵ ∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确.故选：ACD. 5．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知函数则关于x的方程（为常数，且）的实数解的个数可能为（    ）（多选题） A．4 B．1 C．8 D．7 【答案】ABD 【详解】画出函数的大致图象，如图所示， 设，则可化为，如图，，， 当时，有1个根，即，此时方程有1个根； 当时，有2个根，，时有3个根，时有1个根， 此时方程有4个根； 当时，有3个根，，， 当时有3个根，当时有3个根，当时有1个根，此时方程有7个根； 当时，有3个根，，，， 当时有3个根，当时有2个根，当时有1个根，此时方程有6个根. 当时，有3个根，，， 当时有3个根，当时有1个根，当时有1个根，此时方程有5个根； 当时，有3个根，，， 当时有0个根，当时有1个根，当时有1个根，此时方程有2个根； 当时，有1个根，， 当时有1个根，此时方程有1个根； 当时，有0个根，此时方程有0个根； 故方程的实数解的个数可能为0或1或2或4或5或6或7，故选：ABD. 6．（24-25高一上·湖北武汉·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（    ）（多选题） A．所有偶函数都具有性质 B．具有性质 C．若，则一定存在正实数，使得具有性质 D．已知，若函数具有性质，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则， 可得，所以所有偶函数都具有性质，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以具有性质，故B正确； 对于选项C：因为，且函数的值域为， 所以不存在实数，使得，故C错误； 对于选项D：因为， 因为，，，则，则， 可得，即，则， 要使得恒成立，则， 又因为，则，所以，若函数具有性质，则，故D正确.故选：ABD. 7．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】根据题干可画出函数图象，如下图： 根据图象可知，，根据得不出，所以选项A正确，B错误； 由于，所以，即， 所以，又在单调递增， 因此，所以选项C正确； 由于，所以，所以， 又在上单调递增，所以，所以选项D正确。故答案为：ACD 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解， 设，则方程有2个不等实根， 且或，．    当，时，，满足题意； 当时，，解得．综上，．故答案为： 9．（25-26高三上·广东清远·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由得，函数图象如下图所示， 恰有3个零点，即有3个解， 由图象可知，不妨设，则，且，化简得， 所以，故答案为：. 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）若函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围恰好是，就称区间为的一个“和谐区间．（1）函数 “和谐区间”（填“有”或“没有”）；（2）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则的“和谐区间”为 ． 【答案】 没有 和 【详解】①函数的定义域为，且函数为奇函数，当时，函数为减函数，对于定义域内任意的，则， 所以当时，函数没有“和谐区间”，同理当时，函数没有“和谐区间”， 所以函数没有“和谐区间”. ②因为当时，，所以当时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以.所以当时，， 设，因为在上单调递减，所以，， 所以，，所以是方程的两个不相等的正数根， 即是方程的两个不相等的正数根，所以， 所以在区间上的“和谐区间”是，同理可得，在区间上的“和谐区间”是， 所以的“和谐区间”是和.故答案为：没有；和. 11．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为，则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增，故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为，则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增，则需满足即，解得：， 所以的取值范围是.故答案为：， 12．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是偶函数，其中k为实数，函数.(1)求k的值；(2)若，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以， 即， 所以，所以. （2）由（1）知， 设函数，设任意， 则， 因为，所以， 那么恒成立，所以在上单调递增， 那么在上是单调递增函数， 又因为是偶函数，在上是单调递减函数，所以时，， 所以，若，使得等价于在上有解， 即在上有解，即有解， 而在上的值域为，则，即a的取值范围是. 13．（24-25高一上·上海静安·期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”.(1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【答案】(1)不是局部奇函数(2)(3) 【详解】（1）因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而，故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得，所以不是“局部奇函数”； （2）因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”，所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解，则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，当且时，，即， 故； （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令，因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以，则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，，又为整数，则，所以的取值集合为. 14．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点.(1)试求，的解析式；(2)试判断函数与是否是“速增函数”；(3)若函数为“速增函数”，求的取值范围. 【答案】(1)，(2)是“速增函数”，不是“速增函数” (3) 【详解】（1）因为为幂函数且是偶函数， 则且为偶数，解得或（舍），所以， 又，即，解得，则. （2）对于函数，当，时，，， 又， 所以，故是“速增函数”. 对于函数，当时，， 故不是“速增函数”. （3）当，时，由是“速增函数”， 可知，即对一切正数恒成立， 又，可得对一切正数恒成立，所以. 由，可得对一切正数，恒成立， 即 对一切正数，恒成立， 故对一切正数，恒成立， 又，故对一切正数，恒成立， 由对一切正数，恒成立，可得，即. 综上可知，的取值范围是. 15．（24-25高一上·河北·阶段练习）若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由．(2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【答案】(1)是，理由见解析(2)①证明见解析；② 【详解】（1）对任意的，，所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2）①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故，则与， 则，令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，，故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点，则在上有两个不同根，故. 16．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； (3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；在上单调递增；(2)，；(3)存在， 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为关于原点对称， 且，满足是奇函数， 又由， 任取且，则， 因为，可得且， 所以，即，所以函数是上的单调递增函数. （2）解：由（1）得，可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. （3）解：由在区间[1，2]上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形，等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减，所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增，所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以.综上所述，实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·山东·期末）已知函数，． (1)直接写出时，的最小值．(2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)2(2)证明见解析(3) 【详解】（1）根据题意，因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以时，的最小值为2 （2）当时，，令， 所以函数在上单调递增，又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又，而，， 且；所以 又，，则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （3）由，解得，则，令，则 ∴有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和2 令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和2. （ⅰ）若零点为和2，则无解； （ⅱ）若，则，令可得，故满足题意； （ⅲ）若，图象的对称轴为， 由在上有且仅有一个零点，则有 ①或 整理得或解得， ②，解得. 综上，的取值范围为 81．（24-25高一下·四川泸州·期中）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”.(1)若函数是“型函数”，求的值； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）已知函数是“型函数”，根据“型函数”的定义，， 因为，所以，故，可得. （2）因为函数是“型函数”，所以，即. 由题意可知，所以恒成立，所以，解得，. （3）因为函数是“型函数”，对应的实数对为，所以. 当时，； 当时，则. 当时，，在上单调递减. 故当时，，则在的值域为. 因为对任意时，都存在，使得， 所以在的值域是的子集， 根据题意，在等式中，令可得，解得，合乎题意； 若函数在区间、上的值域为、，则，， 对任意的，则，则，且，即， 所以，问题等价于函数在区间上的值域为的子集， 当时，，其对称轴为. ①若，即，在上单调递增，， 此时为的真子集，不合乎题意； ②若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，且，， 由题意可知，函数在上的值域为的子集，则有，解得， ③若，即，在上单调递减，， 此时不是的子集，不合乎题意. 综上：的取值范围是. 19．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）设，. (1)判断的奇偶性，并证明；(2)推理并写出的单调区间；(3)当时，函数的图象恒在函数的上方，求的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)增区间是，减区间是；(3). 【详解】（1）时，显然恒成立； 时，，所以的定义域是， 又，即，所以是奇函数. （2）增区间是，减区间是，证明如下：任取，且，则， 易知在上单调递增，且，则， 所以，即，所以在上单调递减， ， 当，即时，单调递增，由复合函数的单调性知递增； 当，即时，单调递减，由复合函数的单调性知递减， 所以的增区间是，减区间是. （3）令，则，即在上恒成立， 令，设，对称轴为， 所以在上单调递减，从而，所以的取值范围是. 20．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，；(1)当时，解方程； (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；(3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围； 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）当a＝1时，不等式化为， ∴，且，∴，解得或（舍去）； （2）由，得，即，所以， 当时，则，解得，经过验证此时满足题意； 当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意； ②若时，方程有两不等实根，设为，显然， 由，得，因为，所以，即 所以都满足，所以此时不满足题意.综上可得或； （3）因为对任意，函数在区间上总有意义，所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 所以，所以， 即任意恒成立，令 当时，， 当时，，矛盾； 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，且最大值为， 所以当时不满足. 当时，对任意恒成立， 有以下三种情况：①，解得，结合得. ②，由得 ，而，故此情况无解. ③，解得，此时无解. 所以实数的取值范围是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $