专题02 指、对、幂的大小比较的八类方法（专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02 指、对、幂的大小比较 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用函数的单调性比较大小 1 题型二、中间值法比较大小（常考点） 2 题型三、特殊值法与估值法比较大小 3 题型四、作差法、作商法比较大小 5 题型五、构造函数法比较大小（重点） 6 题型六、数形结合比较大小（难点） 8 题型七、基本不等式比较大小 11 题型八、利用糖水不等式放缩比较大小 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用函数的单调性比较大小 单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25·湖南·高一校考阶段检测），，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25·广东·高一校考期中）已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)． A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b 4.（24-25重庆·高一专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 5．（24-25·河南·高一校考期中）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ） A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 题型二、中间值法比较大小（常考点） 中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 6．（25-26高一下·天津·开学考试）设，则（　　） A． B． C． D． 7.（2025·江西·模拟预测）设，则有（    ） A． B． C． D． 8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9.（2021新高考全国2卷） 已知,,,则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10．（24-25高一上·云南·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 题型三、特殊值法与估值法比较大小 就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法.用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 11.（24-25·河南·高一校考期中）若都不为零的实数满足，则（    ） A． B． C． D． 12.（24-25·湖南·高一校考期末）已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13.（2025·广东·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 14.（2025·陕西安康·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 15.（2025·福建高三模拟预测）若，且，则（ ） A． B． C． D． 题型四、作差法、作商法比较大小 作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 16．（24-25湖南高一期中）已知，则正确的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 17．（2425·重庆·高考校考模拟预测）设x、y、z为正数，且，则（ ） A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 18．（24-25·河南·高一阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25·山东·高一校考期中）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20.（24-25高一上·江苏·期末）已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型五、构造函数法比较大小（重点） 构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 21．（24-25高一·湖南·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　）（多选题） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知实数满足，则（　　） A． B． C．2 D．2 23.（24-25高一·山东·专题练习）设，，则下列叙述正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 24．（24-25·江西·高一阶段练习）若，且，则（       ） A． B． C． D． 25.（24-25高一上·湖南湘西·期末）若实数满足，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 题型六、数形结合比较大小（难点） ‌图像法‌：绘制函数图像，通过交点或函数值直观比较。 ‌模型转换‌：将比较问题转化为函数交点问题。‌ 26．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 27.（24-25高一上·江西抚州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 28.（2025·黑龙江·三模）已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 29.（24-25高一上·湖南·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 30.（24-25高一上·湖南·课后作业）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型七、基本不等式比较大小 在比较大小问题时，基本不等式（如算术-几何平均不等式、柯西不等式等）是强大的工具，尤其适用于涉及指数、对数、幂函数等表达式的比较。 31．（25-26高三上·安徽·阶段练习）设，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 33．（24-25·河北模拟预测）已知，则x､y､z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25·广西南宁·高三阶段练习）设，，，则a，b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25·内江市高三阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 题型八、利用糖水不等式放缩比较大小 糖水不等式：（，）； 对数的换底公式：（且，，，且）； 36．（24-25上·福建龙岩·高一校考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 37.（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 38．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·河南·期末）已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一·重庆·专题练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，； 1．（24-25高一下·湖南怀化·期末）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，比较的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则 A． B． C． D． 7．（2025·天津市二模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南·高一校考期中）已知，则 A． B． C． D． 9．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知是周期为2的奇函数，当时，.设，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 12.（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 13.（24-25·江西·高一 期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（        ） A． B． C． D． 14．（24-25·河南·高一期末）已知，，，则有（       ） A． B． C． D． 15.（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 16.（24-25高一上·湖南·期中）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 18．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）已知､､，且，则的大小关系为： （用“”连接） 19．（24-25高一上·山西长治·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指、对、幂的大小比较（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用函数的单调性比较大小 1 题型二、中间值法比较大小（常考点） 2 题型三、特殊值法与估值法比较大小 3 题型四、作差法、作商法比较大小 5 题型五、构造函数法比较大小（重点） 6 题型六、数形结合比较大小（难点） 8 题型七、基本不等式比较大小 11 题型八、利用糖水不等式放缩比较大小 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用函数的单调性比较大小 单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上单调递增，又，故.故选：A 2.（24-25·湖南·高一校考阶段检测），，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，是增函数，，∴ 故选：C． 3．（24-25·广东·高一校考期中）已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)． A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b 【答案】B 【详解】解：∵a=log23.6=log43.62 ∵y=log4x在（0，+∞）单调递增， 又∵3.62＞3.6＞3.2∴log43.62＞log43.6＞log43.2即a＞c＞b故选B 4.（24-25重庆·高一专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【答案】C 【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即， 又函数 在上单调递增，且，于是得，即， 所以a、b、c的大小关系为．故选：C 5．（24-25·河南·高一校考期中）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ） A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 【答案】B 【详解】，，，而，所以， 但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定; ,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确; 利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误; 利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B. 题型二、中间值法比较大小（常考点） 中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 6．（25-26高一下·天津·开学考试）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故，，因此，故选：D 7.（2025·江西·模拟预测）设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，， ，而，所以.故选：B 8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，， ，，.故选：D. 9.（2021新高考全国2卷） 已知,,,则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】,所以; ，即; 综上，,故选：C. 10．（24-25高一上·云南·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为， 所以，即，故选：A. 题型三、特殊值法与估值法比较大小 就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法.用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 11.（24-25·河南·高一校考期中）若都不为零的实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取，满足，但，A错误； 当，满足，但，B错误； 因为，所以，所以，C正确； 当或时，无意义，故D错误．故选：C 12.（24-25·湖南·高一校考期末）已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取，则，，，所以．故选：B． 13.（2025·广东·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，可知，又由，从而，可得， 因为，所以；因为，从而，即， 由对数函数单调性可知，，综上所述，．故选：B． 14.（2025·陕西安康·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以，所以，所以错误； 令，此时与无意义，所以错误； 因为，所以由不等式的性质可得，所以正确； 令，则，所以错误. 故选：. 15.（2025·福建高三模拟预测）若，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（方法1）取，，代入验证知选项B正确. （方法2）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误； 对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法： ， 从而，选项B正确； 对于选项C：由，，知C错误； 对于选项D：可知，从而选项D错误；故选：B； 题型四、作差法、作商法比较大小 作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 16．（24-25湖南高一期中）已知，则正确的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作差比较法 因为，所以， 因为，所以，所以.故选：B. 17．（2425·重庆·高考校考模拟预测）设x、y、z为正数，且，则（ ） A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【详解】令，则，， ∴，则，，则，故选D. 18．（24-25·河南·高一阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， ，所以，所以，故选：A. 19．（24-25·山东·高一校考期中）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，由，得 ， 因此，即；由，得，于是， 所以正数的大小关系为. 故选:A. 20.（24-25高一上·江苏·期末）已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得；综上，.故选：A. 题型五、构造函数法比较大小（重点） 构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 21．（24-25高一·湖南·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　）（多选题） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为是幂函数，可设，因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为，所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误.故选：BC 22．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知实数满足，则（　　） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【详解】， 则，得，故, 由，得，令， 因为都是增函数，所以在上是增函数， 由，得，故．故选：A 23.（24-25高一·山东·专题练习）设，，则下列叙述正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】因为和在上均为增函数，所以在上为增函数， 所以时，得，反之也成立，即时，，反之也成立， 所以时，，反之也成立，故选：A 24．（24-25·江西·高一阶段练习）若，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即，故令，则上式等价于 因为，都是上的单调增函数， 故为上的单调增函数，则由，可得，即； 则，故，则A正确；B错误； 因为，故无法判断的正负，故C，D错误.故选：. 25.（24-25高一上·湖南湘西·期末）若实数满足，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：，，，，，， ，即，在上单调递增，，；设，则， 与在上单调递增，在上单调递增，，即.故选：A. 题型六、数形结合比较大小（难点） ‌图像法‌：绘制函数图像，通过交点或函数值直观比较。 ‌模型转换‌：将比较问题转化为函数交点问题。‌ 26．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标，令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 画出函数，，，的图象，如图所示， 观察图象可知，函数，，的零点依次是点，，的横坐标， 由图象可知.故选：C. 27.（24-25高一上·江西抚州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，画出的图象，故为下凸函数， 当时，所以，. 设，画出图象，故为上凸函数，当时， 所以，同一坐标系内画出和的图象， 又在R上单调递减，故，所以. 设，则，在上单调递减， 所以时，所以，， 所以，同理可得，， 相加得，，所以.故选：A 28.（2025·黑龙江·三模）已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，由，故， 由与在上单调递增，故在上单调递增， 又，，故，故B错误； 令， 由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点， 由，故，又， ，故，故C错误； 有，故A错误；，故D正确.故选：D. 29.（24-25高一上·湖南·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 表示时函数的点的纵坐标，表示时函数的点的纵坐标， 表示时函数的点的纵坐标，作出三个函数的图象如图所示，由图知，，故选：A. 30.（24-25高一上·湖南·课后作业）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意令，即，同理可得，，则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标，在平面直角坐标系上画出函数图象如下： 由图可得，，，即.故选：D 题型七、基本不等式比较大小 在比较大小问题时，基本不等式（如算术-几何平均不等式、柯西不等式等）是强大的工具，尤其适用于涉及指数、对数、幂函数等表达式的比较。 31．（25-26高三上·安徽·阶段练习）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则， 因为，所以且不能取等号， 所以， 所以，所以，所以.故选：A. 32．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，则. 因为，则故选：A. 33．（24-25·河北模拟预测）已知，则x､y､z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，即， ，而，，又，， 综上，，故选：D 34．（24-25·广西南宁·高三阶段练习）设，，，则a，b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，， 又，， 所以，即， ，即，∴.故选：A. 35．（24-25·内江市高三阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析得到，再利用作差法结合基本不等式判断大小即得解. 【详解】解：， 因为，故选：B. 题型八、利用糖水不等式放缩比较大小 糖水不等式：（，）； 对数的换底公式：（且，，，且）； 36．（24-25上·福建龙岩·高一校考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 【答案】< 【详解】依题意. 故答案为： 37.（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【详解】法1（糖水不等式法）：，即：a<b。 ，即：a<c。故答案选A. 法2：由题意可知、、， ，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A. 38．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误；故选：C 39．（24-25高一上·河南·期末）已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知， 又． 综上，．故选：A 40．（24-25高一·重庆·专题练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，； 【答案】(1)；证明见解析(2) 【详解】（1）由题意可得：，时，. 证明如下：，，， ，，，. （2）由（1）知，时，，即； 则，， 又，；综上所述，。 1．（24-25高一下·湖南怀化·期末）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：因为，， 又，所以，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递减，，所以，故B错误； 对于C：因为，，所以，故C错误； 对于D：因为，又在上单调递增， 所以，即，故D正确；故选：D 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，比较的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，又因为在单调递增，又，所以， 又，所以，所以. 故选：D 3．（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，设， 则，于是， 因函数在上为增函数，由，可得， 又因函数在上为增函数，由，可得，故.故选：B 4．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由变形，可得：，设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数，所以在上是增函数， 所以在上是增函数.由可得，即.故选：C 5．（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，， 因为，而，画出的图象，        由图可知，，那么， 则，则，即．故选：A． 6．（2025·四川·一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，， 所以，，；根据题意当，时成立， 又，所以，即：， 又所以，所以，故选：B. 7．（2025·天津市二模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， ，所以故选：A 8．（2025·湖南·高一校考期中）已知，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】则．故选B． 9．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，，则. 因为底数小于1时，指数越大，结果越小，因此，即； 根据换底公式和函数单调性：所以；综上，，故选：C. 10．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知是周期为2的奇函数，当时，.设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是周期为2的奇函数，且当时，，可得， 由对数函数的单调性可知，，所以，故选：C 11．（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，故， 由于，所以，故， 由于，所以，故，故故选：D 12.（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，.故选：B 13.（24-25·江西·高一 期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，即， 又，所以，所以， ，，即， 又，所以，即，综上可得；故选：C 14．（24-25·河南·高一期末）已知，，，则有（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， ，是单调递增，，， ，，是单调递增，，， ， ，是单调递增，，， ，，是单调递增，，， 综上所述，.故选：D. 15.（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则为上增函数， 又，则，则，故选：B 16.（24-25高一上·湖南·期中）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，如图所示： 由图可得. 故选：B 17．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 【答案】 【详解】因为， 又，而，则，则， 所以，.故答案为：. 18．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）已知､､，且，则的大小关系为： （用“”连接） 【答案】 【详解】令，则，则，得； 由，得.从而可得.故答案为： 19．（24-25高一上·山西长治·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得：，时，． 证明如下：， ，，，，，． （2）由（1）知，时，，即； 则，， 又；综上所述，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $