专题01 指数运算及指数函数12大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题01 指数运算及指数函数12大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根式的化简与求值 1 题型二、根式与分数指数幂的混合运算 2 题型三、由条件求值 4 题型四、指数函数的解析式 5 题型五、指数函数的定点及图象问题 6 题型六、指数函数的值域问题 10 题型七、指数函数的单调性问题 11 题型八、指数式比较大小 13 题型九、指数函数解不等式问题 15 题型十、指数函数模型的应用 16 题型十一、恒成立问题 18 题型十二、指数函数中分类讨论 22 B 综合攻坚·能力跃升 24 题型一、根式的化简与求值 1．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 2．设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意当时，不为定值， 当时，为定值， 综上所述：实数的取值范围为，故B正确. 故选：B. 3．若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，则， 所以，解得. 故答案为： 4．当时，化简 . 【答案】4 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 题型二、根式与分数指数幂的混合运算 5．求值： . 【答案】3 【详解】， 故答案为：3 6．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：BD 7．化简：． 【答案】 【详解】 ． 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) ； (2)1 ． 【分析】 【详解】（1） ． （2）原式． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 题型三、由条件求值 10．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 11．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 12．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以，得. 故选：A 13．（1）已知，，求的值； （2）已知，为正实数，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以. （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 题型四、指数函数的解析式 14．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 15．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【详解】由已知得，即得. 故选：C 16．已知函数是指数函数，且，则 . 【答案】 【详解】设（且），则，得，故， 因此，. 故答案为：. 17．指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 【答案】64 【详解】因为指数函数（且）的图像过点， 所以或（舍）. 若时，；时，， 因此. 故答案为：64. 题型五、指数函数的定点及图象问题 18．函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 19．函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】函数定义域为，且 当时，函数是一个指数函数，因为， 所以函数在上是减函数；故排除A，C； 当时，函数图象与指数函数的图象关于轴对称， 在上是增函数．故排除B． 故选：D. 20．当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 21．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 22．若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 【答案】 4 【详解】由函数的图象恒过点， 则当时，由得，即， 由得； 令，得另一根为，， 故另一个定点是. 故答案为：；4；. 23．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 【答案】② 【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条， 当时，，所以曲线③是函数的图象， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以的图象是曲线②. 故答案为：②. 题型六、指数函数的值域问题 24．已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 25．若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 26．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 27．求函数的值域. 【答案】 【详解】由，可得，设，则且，则. 再设，则且，，则， 因函数在上单调递增，故，则； 又因在上单调递增，故，故， 综上所述，函数的值域为. 28．已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 题型七、指数函数的单调性问题 29．已知成立， 函数是减函数， 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由成立，得，解得或， 则命题；由函数是减函数， 得，解得，则命题， 显然真包含于，所以是的必要不充分条件. 故选：B 30．函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【详解】的定义域为，而，则， 故是奇函数， 由于，函数单调递增，故在上单调递增， 故选：B 31．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 32．函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 33．设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 34．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵函数在R上单调递减，且在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴，即，∴a的取值范围是． 故答案为：． 题型八、指数式比较大小 35．若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则. 故选：D. 36．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，得，则，即， 由，得，则， ， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 37．已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 所以函数在为增函数， 又为增函数，所以函数在为增函数， 由于，所以， 故. 故选：B. 38．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 39．已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是 ． 【答案】 【详解】因为，则函数在上为减函数，所以， 故，则， 因为，故，故， 综上所述，. 故答案为：. 题型九、指数函数解不等式问题 40．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 41．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为减函数，由，可得， 即，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：D. 42．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得， 故答案为：. 43．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数有意义，则满足，即，可得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 44．已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 题型十、指数函数模型的应用 45．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 46．著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 47．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 48．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 49．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【详解】设所对应的极径为，则， 则所对应的极径为，所以， 故每增加个单位，则变为原来的倍. 故选：B 题型十一、恒成立问题 50．已知函数，．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】问题可转化为． 由，所以函数在上单调递增， 所以． 当时，函数在上为增函数，则，符合题意； 当时，函数在上为减函数， 则，解得； 当时，，符合题意． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 51．已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 52．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）令，由，则， 所以 当时，取最小值为当时，取最大值为3， 即 故值域为. （2）由， 令，则，且， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故， 所以实数的取值范围. 53．已知函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求和的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为函数是偶函数，是奇函数，且， 故，即， 故可得，解得， 即. （2）由，可得， 结合题意可知在区间上恒成立； 由于均为R上单调递减函数，故在区间上单调递减， 故， 故在区间上恒成立； 设，则， 由于在上单调递增，故在上单调递减， 则在上单调递增， 故， 故实数的取值范围为. 题型十二、指数函数中分类讨论 54．已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 55．已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由复合函数的单调性可知当时，在区间上单调递增， 所以只需，则，与矛盾； 当时，在区间上单调递减， 所以，即． 故的取值范围是． 故选：B 56．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】∵函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或． 故选：A． 57．已知奇函数在上的最大值为，则 ． 【答案】2或 【详解】因为是奇函数，所以， 解得，即． 当时，函数在上单调递增，则，解得． 当时，函数在上单调递减，则，解得． 故答案为：2或 58．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：为偶函数，， 又为奇函数，， ，① ，即，② 由得：，可得. （2）解：， 所以，， 令，因为函数、在上均为增函数， 故在上单调递增，则， 设，，对称轴， ①当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 则，解得：或（舍）； ②当时，在上单调递增， ，解得：，不符合题意. 综上：. 一、单选题 1．（2025·26高三上·山西·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，函数且的定义域为． 因为是奇函数，所以，即． 得，即，所以． 解得或（舍去），所以． 所以． 故选：C． 2．（2024·25高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】； 充分性：若，则，故充分性成立； 若，则，一正一负，即，故必要性成立， 则“”是“”的充要条件， 故选：C. 4．（2024·25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 二、多选题 5．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 6．（2025·四川绵阳·三模）已知定义在上的函数，且，则（    ） A．的值可以为 B．的值可以为2 C．若，则 D．若，且，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，， ，符合题意，故A正确； 对于B，当时，， ，不符合题意，故B错误； 对于C，，则，即，故C正确； 对于D，当时，，则函数的周期为3，, 由，，要使最大，则，， 因为， 当时，令，取满足的最小正整数， 当时，取得最大值，又， 则的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（2024·25高一上·广东汕头·阶段练习）若，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以 所以，， 所以. 故答案为：. 8．（2025·26高三上·山东潍坊·阶段练习）不等式在R上恒成立，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，可得不等式在上恒成立，， 因为函数的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，则， 可得，即，所以实数t的取值范围为. 故答案为：. 9．（2024·25高二下·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由对任意的且，不妨假设， 因为恒成立，所以， 则在上单调递减， 根据复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递减， 需满足在上单调递增，故需， 还需满足且，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 10．（2024·25高一上·上海嘉定·期末）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. 11．（2025·26高三上·上海嘉定·阶段练习）已知函数是上的奇函数. (1)求的值； (2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）已知函数是上的奇函数， 根据奇函数的性质：对于定义域内任意，都有. 则，解得. 此时， ，所以符合题意. 故. （2）由已知在内有解，因为， 所以在内有解， 因为恒成立， 整理得在内有解， 令，因为，所以，则在内有解， 设，， 所以在上单调递增， 则. 因为存在，使得成立，所以， 即实数的取值范围是. 12．（2025·26高二上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 令，， 由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值， 当时，，则， 所以，即在上的值域为. （2）令，其图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，为减函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递减，即， 解得，则； 当时，为增函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递增，即， 解得，则. 综上，实数的取值范围是. 13．（2025·26高一上·全国·单元测试）函数（且）是定义在上的奇函数． (1)求的值，判断的单调性，并证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为上的增函数，证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，得，解得， 当时，， 则， 所以函数为奇函数，符合题意，故， 函数为上的增函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，即，又， 所以，即， 所以函数为上的增函数； （2）由（1）得在上单调递增， 所以当时，， 所以对任意恒成立，等价于 在上恒成立， 当时，令，则， 易知在上单调递增， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 指数运算及指数函数12大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根式的化简与求值 1 题型二、根式与分数指数幂的混合运算 1 题型三、由条件求值 2 题型四、指数函数的解析式 3 题型五、指数函数的定点及图象问题 3 题型六、指数函数的值域问题 4 题型七、指数函数的单调性问题 5 题型八、指数式比较大小 6 题型九、指数函数解不等式问题 6 题型十、指数函数模型的应用 7 题型十一、恒成立问题 7 题型十二、指数函数中分类讨论 8 B 综合攻坚·能力跃升 9 题型一、根式的化简与求值 1．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若恒成立，则实数的取值范围为 ． 4．当时，化简 . 题型二、根式与分数指数幂的混合运算 5．求值： . 6．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 7．化简：． 8．计算： (1) (2) 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、由条件求值 10．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 11．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 12．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（1）已知，，求的值； （2）已知，为正实数，求的值； （3）已知，求的值. 题型四、指数函数的解析式 14．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 15．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 16．已知函数是指数函数，且，则 . 17．指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 题型五、指数函数的定点及图象问题 18．函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 19．函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   20．当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 22．若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 23．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 题型六、指数函数的值域问题 24．已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 26．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 27．求函数的值域. 28．已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 题型七、指数函数的单调性问题 29．已知成立， 函数是减函数， 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 31．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 33．设函数 ，则满足的的取值范围是 . 34．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 题型八、指数式比较大小 35．若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 36．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37．已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 38．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是 ． 题型九、指数函数解不等式问题 40．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 42．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 43．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 44．已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 题型十、指数函数模型的应用 45．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 46．著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 47．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 48．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 49．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 题型十一、恒成立问题 50．已知函数，．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ． 51．已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 52．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 53．已知函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求和的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； 题型十二、指数函数中分类讨论 54．已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 55．已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 57．已知奇函数在上的最大值为，则 ． 58．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 一、单选题 1．（2025·26高三上·山西·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（2024·25高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·三模）已知定义在上的函数，且，则（    ） A．的值可以为 B．的值可以为2 C．若，则 D．若，且，则的最大值为 三、填空题 7．（2024·25高一上·广东汕头·阶段练习）若，则 . 8．（2025·26高三上·山东潍坊·阶段练习）不等式在R上恒成立，则实数t的取值范围为 ． 9．（2024·25高二下·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 四、解答题 10．（2024·25高一上·上海嘉定·期末）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 11．（2025·26高三上·上海嘉定·阶段练习）已知函数是上的奇函数. (1)求的值； (2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围. 12．（2025·26高二上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 13．（2025·26高一上·全国·单元测试）函数（且）是定义在上的奇函数． (1)求的值，判断的单调性，并证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $