专题03 对数函数9类题型归纳（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题03对数函数9类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、对数函数（复合）的定义域 类型二、对数函数（复合）的值域 类型三、对数函数过定点问题 类型四、对数函数的图像判断问题 类型五、对数函数（复合）单调性的综合应用 类型六、对数函数与奇偶性结合的综合应用 类型七、对数函数比较大小问题 类型八、对数函数的恒成立与能成立问题 类型九、对数函数的大题及新定义问题 压轴专练 类型一、对数函数（复合）的定义域 对数型复合函数的定义域求解方法主要包括以下步骤: 1.确定内层函数的定义域:首先确定内层函数(即复合函数中的被复合函数)的定义域。对于对数函数，其定义域为正数，即x>0。 2.确定外层函数的定义域:外层函数通常为对数函数，其定义域需要满足内层函数的值大于0。例如，对于函数y=，其中u=φ(x)，需要确保 φ(x)>0。 3.综合内外层函数的定义域:综合内外层函数的定义域，找出满足所有条件的x的取值范围 例1．函数的定义域为（ ）． A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为 变式1-2．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 变式1-3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 类型二、对数函数（复合）的值域 对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． (2)求f(x)的定义域． (3)求u的取值范围． (4)利用y＝logau的单调性求解 例2.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 变式2-1．当时，函数的值域为，则的最大值为__________. 变式2-2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 变式2-3．函数的最小值为______． 类型三、对数函数过定点问题 对数函数的图像恒过定点.利用整体代换法，在对数型函数中令，即可求得对数型函数的图像所过的定点。（注：令对数型函数真数为1，切记） 例3．函数y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________． 变式3-2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 变式3-3．若函数的图象恒经过的定点在直线（，）上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 类型四、对数函数的图像判断问题 对数函数图像题的核心就是找对解题抓手！解题关键是围绕“定义域、底数、特殊点、单调性”展开，结合图像特征快速排除错误选项、锁定答案 ①先定定义域，初步排除：对数函数真数必须大于0，先确定x的取值范围，直接排除不符合的选项 ②用底数判趋势，缩小范围：底数a>1时函数单调递增，图像在x>1部分向上延伸；0<a<1时单调递减，x>1部分向下延伸，同时可通过图像“靠近坐标轴的程度”辅助判断a的大小 ③抓特殊点，精准验证 ④结合变换规律，应对复杂图像 例4．.已知，函数与的图象只可能是( ) A. B. C. D. 变式4-1．函数满足（2），那么函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 变式4-2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   变式4-3．（24-25高一上·湖南益阳·期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A．B．C．D． 类型五、对数函数单调性的综合应用 ①研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． ②研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则 例5．（24-25高一上·北京·期末）函数的单调递减区间是 . 变式5-1（24-25高一上·河北保定·阶段练习）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 变式5-2．已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________ 变式5-3．已知函数(且). (1)若，求的单调区间； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 类型六、对数函数与奇偶性有关的综合应用 形如)是奇函数 例6．若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______． 变式6-1.已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 变式6-2．（多选）设函数，则（ ） A． B． C． D． 变式6-3．设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______. 类型七、对数函数的比较大小问题 1.单调性法 运用单调性法比较对数式的大小，主要是利用对数函数的单调性:当 a>1时，y=为增函数;当0<a<1时，y=为减函数.若不易判断出函数的单调性,可根据函数单调性的定义,或导函数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性,再根据函数的单调性来比较函数式的大小 2.作差(商)比较法 对于含多个变量的对数式,可采用作差(商)比较法来比较两个函数式的大小,即先将两个对数式相减(除);然后根据对数运算法则进行运算,将差式或商式化简为最简形式;再将其与0、1比较,从而确定两个对数式的大小关系 3.中间值法 如果两个对数式的底数和真数均不相同,而且经过初步判断知道这些数值均在某一特定数值附近,则可以引入中间值,将两个对数式分别与中间值比较比较出三者的大小,从而间接比较出两个对数式的大小.常用的中间值有0、1. 4.构造函数法 对数比大小用构造函数法的核心是 “提炼共性→构建函数→判断单调→转化对比”，能高效解决复杂对数式的大小比较问题 例7．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1（24-25高一上·江苏·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3．设，则（    ） A． B． C． D． 类型八、对数函数的恒成立与能成立问题 （1）相等关系 记的值域为A, 的值域为B, ①若，，有成立，则有； ②若，，有成立，则有； ③若，，有成立，故； （2）不等关系 ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有成立，故 （3）①利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； ②分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. ③涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 例8．已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________. 变式8-1。（24-25高一上·全国·专题练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 变式8-2．.（24-25高一上·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 变式8-3．（24-25高一上·江苏南通·阶段测试）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 变式8-4.已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的，都有，求实数m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在，使在区间[，β]上的值域是？若存在，求实数m的取值范围:若不存在，说明理由. 类型九、对数函数的大题及新定义问题综合 对数函数新定义题的核心是“吃透新规则→转化为常规对数→结合性质求解”，本质是用新包装考查对数的核心知识 ①拆解新定义，明确关键要素 ②转化已知条件，对接常规对数 ③紧扣对数核心性质，突破难点 ④验证结果，符合定义约束 例9．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)设，若，求的取值范围. 变式9-1.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围. 变式9-2．.某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等． (1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明． (2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值． 变式9-3．若函数与对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间D上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间（）上的“阶自伴函数”，求的最小值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数a的取值范围. 变式9-4.函数． (1)若的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)当时，若的值域为R，求实数a的值； (3)在（2）条件下，为定义域为R的奇函数，且时，，对任意的，解关于x的不等式． 压轴专练 一、单选题 1．函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 2．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 4．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 7．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ） A．的单调递增区间为 B．a的取值范围是 C．的取值范围是 D．函数有4个零点 8．已知函数，函数满足，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．若实数、满足，则 D．若函数与图象的交点为，，…，，则. 三、填空题 9．已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是 . 10．已知函数，若，则的取值范围是 ． 11．函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为 . 四、解答题 13．已知函数，且. (1)若的图象过点，解不等式； (2)若，求的取值范围. 14．已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 15．已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. (1)若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; (2)若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03对数函数9类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、对数函数（复合）的定义域 类型二、对数函数（复合）的值域 类型三、对数函数过定点问题 类型四、对数函数的图像判断问题 类型五、对数函数（复合）单调性的综合应用 类型六、对数函数与奇偶性结合的综合应用 类型七、对数函数比较大小问题 类型八、对数函数的恒成立与能成立问题 类型九、对数函数的大题及新定义问题 压轴专练 类型一、对数函数（复合）的定义域 对数型复合函数的定义域求解方法主要包括以下步骤: 1.确定内层函数的定义域:首先确定内层函数(即复合函数中的被复合函数)的定义域。对于对数函数，其定义域为正数，即x>0。 2.确定外层函数的定义域:外层函数通常为对数函数，其定义域需要满足内层函数的值大于0。例如，对于函数y=，其中u=φ(x)，需要确保 φ(x)>0。 3.综合内外层函数的定义域:综合内外层函数的定义域，找出满足所有条件的x的取值范围 例1．函数的定义域为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，解得且.故选：A 变式1-1．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可. 【详解】当时，所以， 所以，即，则， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 变式1-2．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果. 【详解】已知函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 又，且，解得，且， 所以定义域为. 故答案为：. 变式1-3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零． 【详解】解：由，得， 又因为，即，得 故，的取值范围是，且． 定义域就是 故选：B． 类型二、对数函数（复合）的值域 对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． (2)求f(x)的定义域． (3)求u的取值范围． (4)利用y＝logau的单调性求解 例2.（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域. 【详解】∵，∴，即， 即，则函数的值域为. 故答案为： 变式2-1．当时，函数的值域为，则的最大值为__________. 【答案】6 【分析】分析函数f(x)的奇偶性和单调性，再结合其值域即可求a与b的范围，据此可求b－a的最大值. 【详解】∵，定义域为R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，故f(x)是R上的偶函数， 又根据复合函数的单调性可知，f(x)在单调递减，在单调递增， 由得x＝0，由得x＝±3， 当时，函数的值域为， 则0∈[a，b]，且a＝－3或b＝3， 故b＝3，a＝－3时，b－a取最大值6. 故答案为：6. 变式2-2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】令，分析可知是函数在时的值域的子集，分、两种情况讨论，利用二次函数和一次函数的基本性质可得出结论. 【详解】令，因为函数的值域为， 则可知是函数在上的值域的子集. ①当时，. 当时，函数在时的值域为，合乎题意； 当时，函数在时的值域为，合乎题意； ②若，则有，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式2-3．函数的最小值为______． 【答案】##-0.125 【分析】化简函数为，，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数， 令，可得，当时，，即函数的最小值为.故答案为：. 类型三、对数函数过定点问题 对数函数的图像恒过定点.利用整体代换法，在对数型函数中令，即可求得对数型函数的图像所过的定点。（注：令对数型函数真数为1，切记） 例3．函数y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________． 【解析】令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3) 变式3-1．已知函数的图象过定点，则________. 【解析】由题可知，函数的图象过定点， 令，得，此时， 函数的图象过定点， ，则. 故答案为：4. 变式3-2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式3-3．若函数的图象恒经过的定点在直线（，）上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，所以定点坐标为， 所以，即，因为， ，当且仅当，即时等号成立，故选：C 类型四、对数函数的图像判断问题 对数函数图像题的核心就是找对解题抓手！解题关键是围绕“定义域、底数、特殊点、单调性”展开，结合图像特征快速排除错误选项、锁定答案 ①先定定义域，初步排除：对数函数真数必须大于0，先确定x的取值范围，直接排除不符合的选项 ②用底数判趋势，缩小范围：底数a>1时函数单调递增，图像在x>1部分向上延伸；0<a<1时单调递减，x>1部分向下延伸，同时可通过图像“靠近坐标轴的程度”辅助判断a的大小 ③抓特殊点，精准验证 ④结合变换规律，应对复杂图像 例4．.已知，函数与的图象只可能是( ) A. B. C. D. 【详解】，，为减函数，答案在C,D中选择；根据与图像关于轴对称，可得与关于轴对称，所以四个选项中C项符合， 故选C. 变式4-1．函数满足（2），那么函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 【解答】解：函数满足（2），可得． 函数关于对称，所以函数的图象为： 故选：． 变式4-2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断． 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 变式4-3．（24-25高一上·湖南益阳·期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项. 【详解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合. 故选：C. 类型五、对数函数单调性的综合应用 ①研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． ②研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则 例5．（24-25高一上·北京·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【解析】 的定义域为，解得，或， 求原函数的单调递增区间，即求函数的减区间， ，可知单调递减区间为， 综上可得，函数单调递增区间为 . 令 ， 由 ，得或， 函数 的定义域为 ， 当 时，内层函数为增函数，而外层函数为减函数， 函数 的单调递减区间是 . 变式5-1（24-25高一上·河北保定·阶段练习）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设． ∵在上单调递减， ∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减， 且在上恒成立．（注意对数的真数在上大于0） 又在上单调递减， （若函数在上单调递减，则） ∴解得． 则可得函数在区间上单调递减的充要条件是． 而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件， 故只需看是哪一个的真子集，故选：C 变式5-2．已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________ 【答案】 【分析】对m进行分类讨论，、时分别分析函数的单调性，对m的取值范围进行进一步分类讨论，求出该函数在区间上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范围. 【详解】①当时，函数外层单调递减，内层二次函数： 当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减， ，解得：； 当，即时，无意义； 当，，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减， 则需，无解； 当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，，无解. ②当时，函数外层单调递增， ，二次函数单调递增，函数单调递增， 所以，解得：.综上所述：或. 变式5-3．已知函数(且). (1)若，求的单调区间； (2)若在上单调递增，求的取值范围. .【解析】(1)由，解得或，故的定义域为. 令，该函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上为减函数，所以的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)令函数，该函数在上单调递减，在上单调递增. ①当时，要使在上单调递增，则在上单调递增， 得解得. ②当时，要使在上单调递增，则在上单调递减，不成立. 综上，的取值范围为. 类型六、对数函数与奇偶性有关的综合应用 形如)是奇函数 例6．若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______． 【答案】4 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】因为为定义域上的奇函数， ， 所以恒成立解得. 故答案为：4. 变式6-1.已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果. 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故 变式6-2．（多选）设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】函数，定义域为， ， 所以为奇函数，所以， 当时，由复合函数的单调性可知单调递增， 因为， 所以， 结合选项可知A，B正确. 故选：AB. 变式6-3．设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数， 于是等价转化为，得，即对任意的，， 从而有，即可求解. 【详解】因为，所以为奇函数，且定义域为R. 又因为函数在上为增函数。所以在上为减函数， 从而在R上为减函数.于是等价于。， 所以，即.因为，所以，所以， 解得.故答案为: 类型七、对数函数的比较大小问题 1.单调性法 运用单调性法比较对数式的大小，主要是利用对数函数的单调性:当 a>1时，y=为增函数;当0<a<1时，y=为减函数.若不易判断出函数的单调性,可根据函数单调性的定义,或导函数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性,再根据函数的单调性来比较函数式的大小 2.作差(商)比较法 对于含多个变量的对数式,可采用作差(商)比较法来比较两个函数式的大小,即先将两个对数式相减(除);然后根据对数运算法则进行运算,将差式或商式化简为最简形式;再将其与0、1比较,从而确定两个对数式的大小关系 3.中间值法 如果两个对数式的底数和真数均不相同,而且经过初步判断知道这些数值均在某一特定数值附近,则可以引入中间值,将两个对数式分别与中间值比较比较出三者的大小,从而间接比较出两个对数式的大小.常用的中间值有0、1. 4.构造函数法 对数比大小用构造函数法的核心是 “提炼共性→构建函数→判断单调→转化对比”，能高效解决复杂对数式的大小比较问题 例7．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， ， 所以. 变式7-1（24-25高一上·江苏·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，得到函数的单调性和的解为a＝5，并求出，所以，根据对数函数单调性比较出大小. 【详解】设函数，则为增函数， 因为，所以的解为a＝5， ，所以，． 因为，所以． 故选：B 变式7-2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解得，又利用对数运算可判断，结合基本不等式可判断与的大小，即可得的大小关系. 【详解】解：， 由于， ，取等条件应为，即，而，故， ，取等条件为，即，而，故，所以. 故选：A. 变式7-3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 因为函数是单调递增函数， 所以函数是单调递增函数， 所以当时，有， 因为， 所以有， 由， 因为函数是单调递减函数， 所以函数是单调递减函数， 因为，所以， 因此， 故选：A 类型八、对数函数的恒成立与能成立问题 （1）相等关系 记的值域为A, 的值域为B, ①若，，有成立，则有； ②若，，有成立，则有； ③若，，有成立，故； （2）不等关系 ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有成立，故 （3）①利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； ②分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. ③涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 例8．已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】函数在，上单调递增，在，上单调递增， ∴，， 对任意的，，有恒成立， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是． 故答案为：. 变式8-1。（24-25高一上·全国·专题练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】若在上的最大值，在上的最大值， 由题设，只需即可. 在上，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的性质：在上递增，故. 在上，单调递增，则， 所以，可得. 故答案为：. 变式8-2．.（24-25高一上·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】因为，不等式恒成立， 所以对恒成立. 记，，只需. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以. 故答案为： 变式8-3．（24-25高一上·江苏南通·阶段测试）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 变式8-4.已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的，都有，求实数m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在，使在区间[，β]上的值域是？若存在，求实数m的取值范围:若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域； （2）根据对数函数性质求得在上的最大值，由可得； （3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得． 【详解】（1）∵ ∴的定义域为（1，+∞）. 由， 化简得，解得，又， ∴所求不等式的解集为. （2）对于任意的，都有，等价于， ∵ 设 则t在上是增函数，下面按照的单调性分类讨论: 当时，在上递减，则，解得， 当时，在上递增，则，解得与矛盾，故舍去. 综上，. （3）∵， ∴在(,+∞)上递减， ∴，即，即关于x方程在(,+∞)上有两个不等的实根， 设， 则，即． 综上，不存在这样的α，β满足条件. 类型九、对数函数的大题及新定义问题综合 对数函数新定义题的核心是“吃透新规则→转化为常规对数→结合性质求解”，本质是用新包装考查对数的核心知识 ①拆解新定义，明确关键要素 ②转化已知条件，对接常规对数 ③紧扣对数核心性质，突破难点 ④验证结果，符合定义约束 例9．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)设，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，然后求函数值即可； （2）将，，转化为，根据的单调性求最值得到，，然后利用换元法得到，最后求最值即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以，即， 即，所以，解得，， 当，时，，令，解得或，定义域不符合要求，故不成立； 当，时，，无意义，不成立； 当，时，，定义域为，不符合要求； 所以，，，满足要求； 则. （2）因为，，，即，即， 因为，在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以，，即， 令，则，所以， ，，即，， 所以， 由题意得，当，即时，取得最大值，最大值为2，所以 变式9-1.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围. 【详解】（1），解得， 的定义域为，其定义域关于原点对称. 又， 故为定义域内的奇函数. （2）函数都是上的减函数， 是定义域内的减函数. ，且为定义在的奇函数， 且， 原问题等价于不等式在有解， 而， 令，则， 令，可知，则， 构造函数 根据对勾函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增， 由，可得，所以， 所以在上有解， 注意到当时，，因此在有解. 取，则，从而. 因此在上有解. 根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增， 所以， 所以，即. 变式9-2．.某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等． (1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明． (2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值． 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据新定义以及对数运算证得成立. （2）先求得的解析式，结合差比较法列不等式，由此求得的取值范围，进而求得正数的最小值. 【详解】（1）由定义得：， ∴． ∵． ∴． （2） ， ∴（）． ∴开口向上，对称轴为：． ∵，根据二次函数的对称性不妨设， 当时，在内单调递增， 则，即，可得． 当，即时，在内单调递减，内单调递增． ， 由，则，即，故． ∴，， ∴正数的最小值为4． 变式9-3．若函数与对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间D上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间（）上的“阶自伴函数”，求的最小值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数a的取值范围. 【解析】（1），， 当时，，再由， 得， ， 故根据“阶自伴函数”定义得， 不是区间上的“阶自伴函数”. （2）由函数为区间（）上的“阶自伴函数”， 所以，且对任意， 总存在唯一的使得成立； 所以对任意，总存在唯一的使得， 因为函数为单调递增函数， 所以对任意，总存在唯一的使得， 所以对任意，总存在唯一的使得， 所以，所以，即：， 又因为，所以 则， ， 所以的最小值为； （3）由函数在区间的值域为， 因为是在区间上的“阶伴随函数”， 则对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 所以， 即在区间上的值域必定包含区间， 且值域在对应的自变量是唯一的， 又因为函数开口向上，对称轴为， 1)当时，在区间上单调递增，则必有： ，解得：； 2)当时，在区间上单调递减，则必有： ，解得； 3）当时，在上单调递减，在上单调递增，则必有： ，解得：， 4）当时，在上单调递减，在上单调递增，则必有： ，解得：. 综上所述，可得的范围：. 变式9-4.函数． (1)若的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)当时，若的值域为R，求实数a的值； (3)在（2）条件下，为定义域为R的奇函数，且时，，对任意的，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)； (3)答案详见解析. 【分析】（1）由恒成立分离常数，结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案； （2）令，结合的值域包含列不等式，由此求得正确答案； （3）先求得的解析式，由此化简不等式.对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】（1）由题恒成立，则恒成立， 由于，所以， 所以； （2）令，则的值域包含， 因为， 所以，即, 又因为， 所以； （3）当时，；若，，， 又因为为定义域为的奇函数， 所以当时，， 所以，， 不等式等价于， 由于在上是单调递增函数， 所以原不等式等价于，即：， 当时，解集为且或； 当时，解集为； 当时，解集为且或； 当时，解集为或. 压轴专练 一、单选题 1．函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，结合偶函数的定义运算求解即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为， 若函数是偶函数，则， 即，可得， 结合的任意性可得. 故选：B. 2．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：D 3．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊值的符号排除A、B、D，即得正确选项. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B. 当时，在上单调递增，故排除A. 又，故排除D. 故选：C. 4．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据对数的运算性质，将与、与化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】由题意，，，故. 又，所以. 故选：A 5．已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为. 所以或. 当时，，此时方程无解； 当时，. 因为为偶函数，所以有两解，分别为和. 又方程恰有4 个不同的实根， 所以也有两个不同于和的两根. 作出函数的草图如下：    要使有两个不同于和的两根，则或且. 故选：D 二、多选题 6．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用函数的对称性判断；对D，求出在上的值域，再利用对数函数的单调性求解. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 7．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ） A．的单调递增区间为 B．a的取值范围是 C．的取值范围是 D．函数有4个零点 【答案】ACD 【详解】作出的图象，结合图象逐一判断即可． 【分析】作出函数的图象，如图所示： 对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确； 对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确； 对于C，则题意可知：，，所以， 所以，故C正确； 对于D，令，则有，令，则有或， 当时，即，即，解得； 当时，即，所以或，解得，或或， 所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确． 故选：ACD． 8．已知函数，函数满足，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．若实数、满足，则 D．若函数与图象的交点为，，…，，则. 【答案】BD 【分析】考虑的值，判断A的真假；设，研究的值，判断B的真假；举反例说明C是错误的；根据函数图象的对称性，判断D的真假. 【详解】对A：因为， 且， 所以，故A错误； 对B：设，由A可知：， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：因为，，但，故C错误； 对D：由以上可知，函数与的图象都关于点对称. 若函数在处无定义，则函数与的图象的交点个数为偶数， 若，则与，与，都关于点对称， 所以，， 所以. 若数在处有意义，则，则函数与的图象的交点个数为奇数， 若，则与，与，都关于点对称，且，， 所以，，， 所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则或； ②函数的图象关于直线对称，则或. 三、填空题 9．已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】由函数的值域为R，得的值域包含， 当时，不满足题意； 则函数是二次函数，其图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数k的取值范围是. 故答案为： 10．已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 11．函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】利用指数、对数的运算性质对化简变形可得，再构造函数判断奇偶性，进而得. 【详解】 令，定义域关于原点对称， 于是，故为奇函数， 所以在区间上的最大值与最小值之和为， 故函数在区间上的最大值与最小值之和为. 所以. 故答案为： 12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为 . 【答案】 【分析】根据条件先得出函数的周期性与对称性，函数的对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数是以为周期的函数， 当时，，所以函数的图象是以为圆心，为半径的圆的一部分， 由函数的图象可知函数关于直线对称， 因为， 所以函数关于直线对称， 因为，，， 所以函数与函数在有一个交点， 因为，，，，，    所以函数与函数在上有两个交点， 当时，，，此时函数与函数无交点， 因为，所以时，函数与函数无交点， 综上，当时，函数与函数有三个交点， 根据对称性可知，函数与函数的交点关于直线对称， 作出函数与函数的图象如下图所示： 所以函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为. 故答案为： 四、解答题 13．已知函数，且. (1)若的图象过点，解不等式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先通过函数过点求解函数解析式，进而通过函数定义域及其单调性求解不等式即可； （2）首先根据已知条件代入解方程可得：，进而将问题转化为关于的方程在上有解，最后通过求解函数的值域求得参数的取值范围. 【详解】（1）由题意知，即，所以， 又，所以，所以， 所以的定义域为，且在上单调递增， 因为，所以， 解得，或， 所以原不等式的解集为. （2）由题意知，因为，所以， 由，得， 所以， 因为为单调函数，所以， 所以， 所以问题可转化为关于的方程在上有解. 令，则，又在上单调递增， 所以的值域为， 所以，所以，即的取值范围为. 14．已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. （2）因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. （3）对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 15．已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. (1)若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; (2)若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题意可得对任意，存在，使得成立，解得，进而可得，即可求得答案. （2）根据x的范围，先求得的值域，进而可得是在区间上值域的子集，根据二次函数图像与性质，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）因为函数为区间上的“243阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 所以对任意，存在，使得，即， 所以， 所以，解得b=2，即实数b的值为2. （2）当时，， 所以， 因为是的“2阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 因为，所以， 所以是在区间上值域的子集. 当时，， 令， 当时，在上单调递增， ， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，在上单调递减， ， 所以，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $