重难点专训03 立体几何中的折叠与探索性问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训03 立体几何中的折叠与探索性问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：立体几何的折叠问题 2 题型二：线、面平行的探索性问题 10 题型三：线、面垂直的探索性问题 17 题型四：与空间角有关的探索性问题 26 题型五：与空间距离有关的探索性问题 35 重难专题分层过关练 43 巩固过关 43 创新提升 62 一、折叠问题 核心思路：对比折叠前后图形，聚焦不变量（如线段长度、角度）与变化量（如线面位置关系），利用不变量推导结论。 解题步骤：（1）明确折叠前后各量的关系，区分变化与不变的量； （2）在折叠后图形中确定关键线、面的位置； （3）运用立体几何判定定理或性质定理证明、求解。 二、探索性问题 问题特点：条件不完备，需判断结论是否成立，常涉及动态过程，考查空间想象与探究能力。 常见类型：一是探究线面位置关系，二是探究线面角、二面角等满足特定要求的存在性 通用解题步骤：（1）建立空间直角坐标系，引入参数，设关键点坐标； （2）假设结论成立，将其作为条件列方程（组）； （3）转化问题：判断 “是否存在” 即判断方程（组）是否有解、解是否符合范围。 题型一：立体几何的折叠问题 【例1】如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）图1中，连接，交于点，连接， 为AB中点，， 又，，四边形是菱形， ， 所以在图2中，，又平面，， 平面， 又平面，； （2）以中点为坐标原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则， 所以，，， 设平面的法向量， 由，有，， 令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； 【例2】如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. (1)求证：，，，四点共面： (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取，的中点分别为，，连接，， 取，的中点分别为，，连接，，， 由题意知，都是等边三角形， 所以，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为，的中点分别为，，所以 所以，所以， 所以，又因为， 所以， 因为，的中点分别为，， 所以， 所以，所以，，，四点共面； （2）连接，，且延长交于点，由题意知，， 所以，同理， 所以就是二面角的平面角， 设，则，，， 所以，同理， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【变式1-1】如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二 (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）延长交于点过作于，过作于， 又四边形为等腰梯形，则，则， 又，所以，为的中点， 延长交于点，则，为的中点，则， 与重合于点，为三棱锥， 设为中点，等腰直角中， 又为的中点，为的中点，，∴， ，又平面平面， 又平面，. （2）方法一： 为中点，， 又， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 方法二： 为中点，，， 又， 又，平面，∴平面， ，为等边三角形，设到平面的距离为， ∴， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式1-2】已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）连接，由，， 得， 在中，由余弦定理得， 则，于是，而平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）在中，由，，得，而平面， 平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 又，设点到平面的距离为，则， ，， ，， 由，得，即，解得， 所以点N到平面的距离. 【变式1-3】如图，平面五边形ABCDE中，，设AB的中点为F，将四边形AEDF沿DF折起至四边形PQDF，使得二面角为．      (1)求五面体BCDFPQ的体积； (2)判断在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后是否一定依然平行，并结合平面五边形ABCDE经折叠得到五面体BCDFPQ的变化，证明你的判断； (3)求PC与平面CDQ所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）在平面五边形ABCDE中，因为，所以， 又，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 所以在五面体BCDFPQ中， 所以为二面角的平面角，所以， 如图，分别取BC，DF的中点M，N，连接MN，QM，QN， 则五面体BCDFPQ分割为直三棱柱与四棱锥， 直三棱柱的体积为，    点Q到平面DCMN的距离， 四棱锥的体积为， 所以五面体BCDFPQ的体积为； （2）否， 理由如下：    连接交于点，因为，为的中点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，即， 折叠成为五面体BCDFPQ后，AC对应PC，DE对应DQ， 因为P，Q，D三点共面，而点C不在平面PQD内，故直线PC与DQ不可能平行， 故在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后不一定平行； （3）以F为坐标原点，FP，FD所在直线分别为x，z轴，平面PFB中过点F作垂直于PF的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设为平面CDQ的法向量， 则， 可以取， 设PC与平面CDQ所成的角为， 则， 故PC与平面CDQ所成角的正弦值为. 题型二：线、面平行的探索性问题 【例3】在多面体中（如图所示），底面正三角形ABC边长为2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1. (1)求AD与平面DEF所成角的正弦值； (2)求点A到平面CEF的距离； (3)AB的中点为G，线段CD上是否存在点P使得PG与平面DEF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）EA⊥底面，底面正三角形ABC边长为2， 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，. 所以，， 设平面DEF的法向量为， ，故， 令，则，，故， 又，设AD与平面DEF所成角为， ； （2）平面CEF的法向量为， 其中，， ，故，令，则， 故，， 所以点A到平面CEF的距离； （3）由（1）知，平面DEF的法向量为， 其中，设，， PG与平面DEF平行，故， 即， 解得，此时. 【例4】在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明：平面． (2)若是的中点.证明：平面. (3)若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，为PC的中点 【分析】 【详解】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，交于点，连接， 依题意得，，，，，. 设平面的法向量为， 又， 则有，即， 令，则，，可得， 且，可知， 平面. （2）设平面的法向量为, 因为， ，， 令，则，，， 又， ，， 又平面EDB，平面. （3）如图，， 设平面PDM的法向量为， 则，即 令，则，， 设，则，， 得， ，， 又， 又平面PDM， ，即， 即在棱PC上存在一点，且当为PC的中点时，使得平面PDM. 【变式2-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 且，平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面. （2）解：取中点为，连接、， 又因为，则，则， 因为，则，则， 在平面内，因为，，则， 因为平面，则平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，设与平面的夹角为， 则，则， 所以，直线与平面所成角的余弦值为. （3）解：设，其中， 则， 因为平面，则，解得， 因此，在棱上不存在点，使得平面. 【变式2-2】如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【答案】存在，1，理由见解析. 【详解】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 【变式2-3】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，证明见解析. 【分析】 【详解】（1）若直线与直线交于点G，则， 又平面，平面，所以平面，平面， 又平面平面，所以， 即B，C，G三点共线. （2）存在，证明如下： 延长相交于点，连接， 因为为的中点，，所以， 所以，所以为的中点，为的中点， 在平面中，由平面向量知识可知，， 又，所以，所以， 因为，所以三点共线，即直线与直线交于点， 由为的中点可知，当取为的中点时，，即. 题型三：线、面垂直的探索性问题 【例5】在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为四边形为正方形， 所以为的中点，又为线段的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，且平面， 所以. （2）在正方形中，， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又，，所以， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又，为线段的中点， 所以， 则， 设，，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 由平面平面，则，解得，即， 所以在线段上存在一点，使得平面平面，且. 【例6】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）由侧面底面，侧面底面，面， 又底面是直角梯形，，故， 所以面，面，则， 由侧面是正三角形，E为中点，则， 而且都在面内，则面，面， 所以面面，而，面面，面， 所以平面. （2）依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，， 所以，， 令是面的一个法向量，则， 令，则， 令是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （3）由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上， 又，其中点坐标为，则， 由（1）（2）知，是面的一个法向量， 所以到面的距离， 所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使. 【变式3-1】如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.    (1)求证：平面平面. (2)求二面角的余弦值. (3)为平面内一点，若平面，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）    连接，在中，， ， 则，，， 平面平面，，平面平面， 平面，平面，所以， 在中，, 又， ∴， 在中：，∴， 又，平面， 平面，且平面， 平面平面. （2）法一、由上可知：，则二面角的一个平面角为， 在中，由余弦定理知； 法二、如图建系：设轴与交于，过P作与E， 设，则，    ∴， ， 解之得， 易知，所以， 则， 设为平面的一个法向量，则：， 令，则，所以， 易知是平面的一个法向量， 设二面角的一个平面角为，则， 由图形可知该二面角为钝角，所以； （3）法一：过作，垂足为，过作， 在中，过作，过作， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 而平面，所以平面，即G为所求. 分别延长交于，连接， 过作，由（1）易知，平面， 平面，    ∴，设，， ∴，则，设，    在平面内，由几何关系知， 所以； 法二：取（2）的坐标系，则，，，设，所以， 又：，即， 【变式3-2】在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.    (1)求证：平面； (2)求点M到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】 【详解】（1）因为在中，，，所以， 根据折叠关系，而且平面， 所以平面，平面，则，又， 由，平面，所以平面； （2）因为DE经过的重心，故，由（1）知平面， 以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，.    由几何关系知， 故， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 设M到平面的距离为； （3）设，，，即， 即，，. 设平面CMN的法向量为，则，， 所以，则，令，则， 设平面DEN的法向量为，， 则，即，令，则， 若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，， 故存在这样的点，，所以. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. (1)证明：平面SAD； (2)求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； (3)线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在； 【分析】 【详解】（1）ABCD为正方形，， M，N分别为棱SB，SC的中点，，， 平面SAD，平面SAD，平面SAD； （2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，. 设平面ADNM的法向量为， 则，即. 令，则，. 设直线SD与平面ADNM所成角为， 则 直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为； （3）假设在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM. 设，则. ， . 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，即. 若平面平面ADNM，则， 即，解得. 假设成立，即在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM， 且. 题型四：与空间角有关的探索性问题 【例7】如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)选条件②，证明见解析； (2)存在，或. 【分析】 【详解】（1）取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则. 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，. 【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标. 【例8】如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以. 以为坐标原点，、、为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （2）假设线段上存在点满足题意， 设（）， 则，所以. 设平面的法向量， 则，即 令，则，，所以. 设二面角的平面角为， 则，解得或. 经检验，符合条件的， 即当时，二面角的余弦值为.    【变式4-1】如图，在三棱柱中，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，． (1)证明：//平面． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】 【详解】（1）由题意，， 所以， 由得，故 则以为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向， 垂直平面向上的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 所以． 设平面的法向量为， 则令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． （2）连接，则，由（1）． 则点到平面的距离． （3）设， 又，则． 因为直线与平面所成角的正弦值为，所以， 所以，即， 所以，即，解得或， 则或． 【变式4-2】如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．    (1)求证：． (2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）点在底面上的投影为的中点， 平面， 平面， ， 又底面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点， ， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，为菱形， ， 在中，有， ， ， ； （2）由（1）得，. 假设存在满足条件的点，则存在，使得， 则． 设平面的一个法向量为,则, ，令，则. 直线与侧面所成角的正弦值为， ， 即，解得， 又，故， 因此存在满足条件的点，且， 即． 【变式4-3】如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：在中，因为 所以 所以所以 又平面平面平面平面平面 所以平面 又平面所以. （2）由（1）知平面平面，所以又所以两两垂直. 以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 因为四边形是平行四边形，所以，所以，. 设平面的一个法向量 因为 所以即 令则所以 所以点到平面的距离. （3）假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为. 设由（2）知,则 所以 设平面的一个法向量因为 所以即 令则所以 由（2）知平面的一个法向量为： 设平面与平面的夹角为则 解得或（舍）. 所以存在点使得满足要求，此时即. 题型五：与空间距离有关的探索性问题 【例9】如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长为 【分析】 【详解】（1）取的中点，的中点，连结、、， 则有，， 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在.设，在中，. 因为平面，所以. 因为平面，平面，平面 所以,， 则均为直角三角形. 在中，， 同理，. 取的中点，因为，所以， 而. 故. 因为点到面的距离等于， 所以. 而，所以，解得. 所以在线段上只存在唯一一点，当且仅当时，点到面的距离等于. 【例10】如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】 【详解】（1）取的中点E，连接，因为M是的中点，所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）由题意平面且，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 又因为，是的中点， 所以，显然平面的一个法向量为， 设平面PCD的一个法向量为，， 所以，令，则， 所以， 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为； （3）设且，， 则，，， 设平面PAQ的法向量为，则， 令，所以，又点D到平面的距离为， 又，所以， 所以，则，解得， 所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时. 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）取中点，如图，连接， ∵是中点,∴且， 又，，∴且， ∴是平行四边形,∴， ∵平面，平面，∴平面；    （2）∵，，， ∴，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是，则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以．    【变式5-2】如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）取的中点N， 连接， 如图所示：   为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. （2）    由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点，    所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. （3）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 【变式5-3】如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为靠近的三等分点，或与重合. 【分析】 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）假设存在点到平面的距离为，且，， 所以，则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以，可得或， 所以，当为靠近的三等分点或与重合时，满足要求. 巩固过关 1．如图，四棱锥中，平面，，，，，为线段上一点，点在边上且. (1)若为的中点，求四面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得两两互相垂直， 所以可以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ∴，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量， ，不妨令y＝1，∴. 设点到平面的距离为，则， 又因为，，∴的面积为. ∴四面体的体积为. （2）设点坐标为，∴，. ∵，即，∴， ∴，∴. 设，， ∴. 设平面的一个法向量， ∴，即，令得 ∴， ∴， ∵与面所成角的余弦值是，正弦值为. ∴，整理得， ∴，（舍去）. ∴存在满足条件的点，且. 2．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在；或 【分析】 【详解】（1）证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2）解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； （3）解：假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 3．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. (1)证明：平面； (2)设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，，， 所以，即， 因为，所以，即， 又平面，所以平面； （2）因为,平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面，所以 以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 因为，所以,所以， 设平面的法向量为， 则 即 令得,所以， 记直线与平面所成角为,则， 化简得，解得，所以. 由，得,即(三等分点)， 又平面，所以，所以(三等分点)， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以即(四等分点)， 所以 又 所以. 4．如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）    取的中点，连接. 三点分别为的中点 在平面中，， 又平面平面平面 同理，，平面平面，所以平面， 又平面平面， 平面平面， 平面平面. （2）    因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面. 过作的平行线，过作交于点. 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 梯形中，，， 所以，则. 所以. 假设在上存在点使得，设， 设，则，解得. 因为， 所以，解得. ， 因为平面平面，故取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，线段上存在点使得，直线与平面所成角的正弦值为. 5．如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，将沿着折叠，得到四棱锥，使平面平面为线段上的点． (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 【详解】（1），故为等腰直角三角形， ，故． 在中，，， 故，， 平面平面，平面平面平面， 故平面，平面，故， 又平面，故平面， 又平面，故. （2）存在，，理由如下： 如图，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴， 以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 则． 设，，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，， 设直线与平面所成的角为， 则，解得，（舍）， 故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，则． 6．已知边长为6的等边三角形△ABC中，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使． (1)求证：平面MBCN； (2)在线段BC上是否存在点D，使直线与平面所成角为60°？若存在，求BD；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)存在点D，使直线与平面所成角为60°，此时BD=5. 【详解】（1）证明：因为，所以，在△中，，，由余弦定理得：，所以，则，由勾股定理逆定理得：， 因为，所以平面MBCN； （2）由第一问可知：三线两两垂直，故以M为坐标原点，，MN，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，假设存在点D，BD=m，使得直线与平面所成角为60°，则， 所以，平面的法向量为，则，解得：，符合要求， 故在线段BC上存在点D，使直线与平面所成角为60°，此时BD=5. 7．如图，在正四棱锥中，，，P在侧棱上，平面. (1)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)侧棱上存在一点E，使得平面，且. 【分析】 【详解】（1）如图，由题意知平面，，故两两垂直． 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，不妨设，则， ∴. 由题意得，，，，. ∴，， 设平面的一个法向量为，则有，可取， ∵平面， ∴平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角的余弦值为， 所以 （2）假设在棱上存在一点使得平面．在上取点，连接， 由（1）设，且，即，可得，即， 所以， 由平面的一个法向量， 若平面，则， 即，解得. 故. 所以侧棱上存在一点E，使得平面，且. 8．如图，在四棱锥中，已知底面，，异面直线与所成角等于. (1)求证：平面平面 (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为棱上靠近的三等分点. 【分析】 【详解】（1）证明：底面， 又平面， 平面平面， 平面平面. （2）解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 假设棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 设，且，则， ，设平面DEB的一个法向量为， ， 则，取，得， 平面的法向量， 平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为， 平面PAB与平面BDE所成锐二面角的余弦值为， ， 解得或（舍）， 在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为为棱上靠近的三等分点. 9．如图甲，在梯形中，，E是的中点，将沿折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且． (1)求证：平面平面； (2)求点E到平面的距离； (3)设的中点为O，在平面内取点Q，使得直线平面，问点Q是否在内？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）取的中点为O，连接，由题意知，所以. 在中，，所以， 在中，，则， , 则， 在中， ，所以， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连接， ，， 即，而O为的中点，则，且， 由（1）知，平面，平面，故, 故以O为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，则，则， 故点E到平面的距离为; （3）设，由Q在平面内可知， 即，即， 所以，即，所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故， 而，，所以Q点不在内. 10．如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接， 依题意，，则，由，得， 而，是梯形的中位线，于是， 而平面，则平面， 而平面，于是，又平面，且和相交， 因此平面，而平面，所以平面平面； （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由，平面，可得平面， 过作平面，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，    则，， 令，，则， 由平面，则平面的一个法向量为， 由题设， 所以，可得（负值舍），所以时满足题设. 11．如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1） 连结，连结，如图，因为四棱锥是正四棱锥， 所以面，又面，所以， 在正方形中，，又面， 所以面，因为面, 所以. （2）（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则由平面几何知识易知，，， 所以， 则，， 因为，所以， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令则， 故， 设平面的一个法向量为，， 则，即，令，则， 即为面的一个法向量， 设面与平面所成角为，则， 所以面与平面所成角的正弦值为. （3）假设上存在点满足题意，不妨设，， 则，因为平面，所以，即，故， 所以，所以 12．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不在内， 【分析】 【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以. 在中，，所以，在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连结，，，， 所以，且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. （3）设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故，. 所以点不在内，. 创新提升 1．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.    (1)证明：平面； (2)设平面平面，点. （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】 【详解】（1）由题意得，，， 所以，即， ∵，所以，即， 又平面，所以平面； （2）（i）∵,平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面，所以    以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ∵，∴,∴， 设平面的法向量为， 则  即 令得,∴， 记直线与平面所成角为,则， 化简得，解得，所以. （ii）由（i）知，， ,即(三等分点)， 又∵平面， ∴，∴(三等分点)， ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴即(四等分点)， ∴ 又∵ ∴. 2．如图，平面四边形中，点是线段上一点，，，沿着将折叠得到四棱锥． (1)求证：平面平面． (2)若，且，，折叠后． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值． ②若三棱锥的四个顶点均在以为球心的球上，试问三棱锥的外接球的体积是否存在最小值？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，． 【分析】 【详解】（1）在平面四边形中，因为点是线段上一点，， 所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）设，则． ①如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，， 所以，，，， 所以，，，． 设平面的法向量为，由，得 令，则． 设平面的法向量为，由，得 令，则． 设平面与平面的夹角为， 则． 令，则 ， 所以当，即时，取得最大值． ②如图，由（1）知平面平面，又因为三棱锥的四个顶点均在以为球心的球上， 设和的外接圆圆心分别和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形，所以． 在中，因为，所以由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，，所以由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以，即 ， 所以， 故当时，取得最小值，即，此时三棱锥外接球的体积最小值为， 故三棱锥外接球的体积存在最小值，此时． 3．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答 如图，在五面体中，已知___________，，，且，. (1)求证：平面与平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；. 【分析】 【详解】（1）若选①，取中点，中点，中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， ，又，，，， 又，，又，，平面， 平面，平面，平面平面， ，，又平面，平面平面， 平面，又，，； 若选②，，，，平面， 平面，平面，平面平面， 取中点，中点，连接， ，，又平面，平面平面， 平面，又，，； 若选③，取中点，中点，连接， ，，又，； 分别为中点，，又，， 四边形为平行四边形，； ，，，，， ，，， ，又，， 又，，平面， 平面，平面，平面平面， 又，平面，平面平面， 平面，又，，； 综上所述：两两互相垂直， 则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ，即，平面与平面. （2）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于， 由（1）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，， ； ， 化简可得：，解得：或（舍）， ，，； 综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于. 4．定义：若一个四面体的两组对棱分别相等（即），则称该四面体为空间菱形．已知空间菱形中，． (1)若平面平面，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求该空间菱形的体积； (3)若，那么在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）设中点为点，连接， 因为四面体为空间菱形． 所以， 根据等腰三角形的性质可知：， 所以是二面角的平面角， 当平面平面时，有 由，， 可得， 因为， 所以有； （2）由（1）可知， 因为平面， 所以平面， 由（1）可知，所以， 所以空间菱形的体积为； （3）把空间菱形放在长方体中，如下图所示： 建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 由长方体的性质可得：， 于是， 设棱上存在一点，使得平面与平面的夹角为，设， 设，则有， 所以，， 设平面的法向量为， 于是有， 设平面的法向量为， 于是有因为平面与平面的夹角为， 所以， 解得，因为，所以， 因此棱上存在一点，使得平面与平面的夹角为，此时. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 立体几何中的折叠与探索性问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：立体几何的折叠问题 2 题型二：线、面平行的探索性问题 4 题型三：线、面垂直的探索性问题 7 题型四：与空间角有关的探索性问题 9 题型五：与空间距离有关的探索性问题 12 重难专题分层过关练 15 巩固过关 15 创新提升 21 一、折叠问题 核心思路：对比折叠前后图形，聚焦不变量（如线段长度、角度）与变化量（如线面位置关系），利用不变量推导结论。 解题步骤：（1）明确折叠前后各量的关系，区分变化与不变的量； （2）在折叠后图形中确定关键线、面的位置； （3）运用立体几何判定定理或性质定理证明、求解。 二、探索性问题 问题特点：条件不完备，需判断结论是否成立，常涉及动态过程，考查空间想象与探究能力。 常见类型：一是探究线面位置关系，二是探究线面角、二面角等满足特定要求的存在性 通用解题步骤：（1）建立空间直角坐标系，引入参数，设关键点坐标； （2）假设结论成立，将其作为条件列方程（组）； （3）转化问题：判断 “是否存在” 即判断方程（组）是否有解、解是否符合范围。 题型一：立体几何的折叠问题 【例1】如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 【例2】如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. (1)求证：，，，四点共面： (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【变式1-1】如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二 (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1-2】已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【变式1-3】如图，平面五边形ABCDE中，，设AB的中点为F，将四边形AEDF沿DF折起至四边形PQDF，使得二面角为．      (1)求五面体BCDFPQ的体积； (2)判断在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后是否一定依然平行，并结合平面五边形ABCDE经折叠得到五面体BCDFPQ的变化，证明你的判断； (3)求PC与平面CDQ所成角的正弦值． 题型二：线、面平行的探索性问题 【例3】在多面体中（如图所示），底面正三角形ABC边长为2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1. (1)求AD与平面DEF所成角的正弦值； (2)求点A到平面CEF的距离； (3)AB的中点为G，线段CD上是否存在点P使得PG与平面DEF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由. 【例4】在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明：平面． (2)若是的中点.证明：平面. (3)若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【变式2-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式2-2】如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【变式2-3】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 题型三：线、面垂直的探索性问题 【例5】在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【例6】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.    (1)求证：平面平面. (2)求二面角的余弦值. (3)为平面内一点，若平面，求的长. 【变式3-2】在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.    (1)求证：平面； (2)求点M到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. (1)证明：平面SAD； (2)求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； (3)线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型四：与空间角有关的探索性问题 【例7】如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【例8】如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式4-1】如图，在三棱柱中，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，． (1)证明：//平面． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．    (1)求证：． (2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型五：与空间距离有关的探索性问题 【例9】如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【例10】如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式5-2】如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 【变式5-3】如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 巩固过关 1．如图，四棱锥中，平面，，，，，为线段上一点，点在边上且. (1)若为的中点，求四面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 2．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 3．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. (1)证明：平面； (2)设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求. 4．如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 5．如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，将沿着折叠，得到四棱锥，使平面平面为线段上的点． (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 6．已知边长为6的等边三角形△ABC中，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使． (1)求证：平面MBCN； (2)在线段BC上是否存在点D，使直线与平面所成角为60°？若存在，求BD；若不存在，说明理由． 7．如图，在正四棱锥中，，，P在侧棱上，平面. (1)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 8．如图，在四棱锥中，已知底面，，异面直线与所成角等于. (1)求证：平面平面 (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 9．如图甲，在梯形中，，E是的中点，将沿折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且． (1)求证：平面平面； (2)求点E到平面的距离； (3)设的中点为O，在平面内取点Q，使得直线平面，问点Q是否在内？请说明理由． 10．如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 12．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 创新提升 1．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.    (1)证明：平面； (2)设平面平面，点. （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 2．如图，平面四边形中，点是线段上一点，，，沿着将折叠得到四棱锥． (1)求证：平面平面． (2)若，且，，折叠后． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值． ②若三棱锥的四个顶点均在以为球心的球上，试问三棱锥的外接球的体积是否存在最小值？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 3．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答 如图，在五面体中，已知___________，，，且，. (1)求证：平面与平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 4．定义：若一个四面体的两组对棱分别相等（即），则称该四面体为空间菱形．已知空间菱形中，． (1)若平面平面，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求该空间菱形的体积； (3)若，那么在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $