专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选C． 例2（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，、、三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且．(1)请用圆规在图中确定点的位置；(2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)=(3)15 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，以长为半径画弧，交线段的延长线于点 （2）解：∵，∴，∴； （3）解：设，则因为所以解得 所以，． 例3（24-25河南三门峡·七年级统考期末）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOD=∠AOD+∠AOC,∴∠AOC=∠BOD,故选C. 例4（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝∠AOB−∠AOC＝150°−90°＝60°， ∴∠COD＝∠BOD−∠BOC＝90°−60°＝30°，故选A． 例5（24-25七年级上·河北唐山·期中）直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧． (1)图1，小红说：若平分，一定平分． 理由如下：平分，（角平分线的定义）． ，________（垂直定义） 即________ ________（对顶角相等）________（等量代换） 平分 请补全小红的说理过程． (2)小明说：当，，如图2，可以求的度数．请帮小明完成求解过程． 【答案】(1)，，，；(2)，过程见解析 【详解】（1）解：小红说：若平分，一定平分． 理由如下：平分，（角平分线的定义）． ，（垂直定义） 即， （对顶角相等） （等量代换） 平分， 故答案为：，，，； （2）解：， 模型2.线段与角度的计数模型 例1（25-26七年级上·江苏·期中）如图，由A始发至终点E的某一次列车运行途中停靠的车站依次是：A-B-C-D-E．要为这次列车制作的单程火车票的种类数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】可制作车票种类有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共种， 所以要为这次列车制作的单程火车票的种类数为．故选：B. 例2（24-25七年级上·天津和平·期末） 次列车从天津西站出发，途经5站，到达太原南站，在这段路线上往返行车，需印制车票（任何两站之间，往返两种车票），需要 种不同的票价． 【答案】42 【详解】解：7个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票，∴应印制（种），故答案为：42． 例3（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【答案】 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角，故答案为：． 例4（24-25湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 例5（24-25七年级上·山东枣庄·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 【答案】(1)10，10(2)15(3)15(4)20 【详解】（1）由图①可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． 故答案为：10，10； （2）由图②可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排15场比赛． 故答案为：15； （3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角，故答案为：15． （4）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中，得∴要准备车票的种数为20种． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【详解】根据题意可知在同一平面内，2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点．故选：C． 例2（24-25·福建漳州·七年级统考期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两条直线相交有1个交点，即，三条直线相交最多有个交点，即， 四条直线相交最多有个交点，即， 以此类推，条直线相交，最多有个交点，即， ∴，故选B． 例3（24-25七年级·江苏·培优）在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么9条直线把一个平面最多分成 个部分． 【答案】46 【详解】解：1条直线把一个平面分成个部分， 2条直线把一个平面最多分成个部分， 3条直线把一个平面最多分成个部分，……， 以此类推，n条直线把一个平面最多分成个部分， ∴9条直线把一个平面最多分成个部分，故答案为：46． 例4（24-25年级下·江苏·专题练习）（1）1条直线，最多可将平面分成个部分； （2）2条直线，最多可将平面分成个部分；（3）3条直线，最多可将平面分成 个部分； （4）4条直线，最多可将平面分成 个部分；（5）条直线，最多可将平面分成 个部分． 【答案】 7 11 【详解】解：1条直线，将平面分为两个区域； 2条直线，较之前增加1条直线，增加1个交点，增加了2个平面区域； 3条直线，与之前两条直线均相交，增加2个交点，增加了3个平面区域； 4条直线，与之前三条直线均相交，增加3个交点，增加了4个平面区域； 条直线，与之前条直线均相交，增加个交点，增加个平面区域； 所以条直线分平面的总数为， （3）3条直线，最多可将平面分成个部分， （4）4条直线，最多可将平面分成个部分， （5）条直线，最多可将平面分成个部分． 故答案为：7，11，． 例5（24-25·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=；③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．∴这一轮共要进行120场比赛． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 【答案】8 【详解】解：∵过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形， ∴，解得：．故答案为：8． 例2（24-25七年级上·广东深圳·期末）过某个多边形一个顶点有5条对角线，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】B 【详解】设这个多边形的边数是，由题意得，，解得：，即这个多边形为八边形，故选：B． 例3（24-25·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（　　） A．88 B．44 C．45 D．50 【答案】C 【详解】解：设这个多边形的边数为n，∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，∴，解得：，∴总的对角线的条数为：条．故选C． 例4（24-25·山东·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 【答案】(1)①，②(2)他们一共通了2850次电话 【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），故答案为：，． （2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和， 则，答：他们一共通了2850次电话． 1．（24-25·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 【答案】B 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而BC为AB和CD共有线段，故AC=BD，故选：B． 2．（24-25河北七年级月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知），所以（等量代换）． 所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【详解】解：分两种情况：①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分．故选：C． 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【答案】C 【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对， 三条直线相交有3个交点，对顶角有对，四条直线相交有6个交点，对顶角有对， 则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对，故选：C． 5．（24-25福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 6．（24-25福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】A 【详解】解：与不一定相等，根据，不能推出，故A选项推理错误，符合题意；，通过等量代换可得，故B选项推理正确，不合题意； ，通过等量代换可得，故C选项推理正确，不合题意； ，根据等角的余角相等可得，故D选项推理正确，不合题意；故选A． 7．（2024·云南昆明·校考一模）如图所示，，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】 故答案为：． 8．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 【答案】 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点，故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图所示，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线不是同一条射线．以上结论一定正确的有 ．（填正确答案的序号） 【答案】①③④ 【详解】解：都是以O为顶点的直角， ，，，故①正确； 只有当平分时，，，故②错误； ，， 故③正确；平分，， ，平分，故④正确； ，与的平分线是同一条射线．故⑤错误； 综上可知，正确的有①③④，故答案为：①③④． 10．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同，∴从到的车票共有种，故答案为：． 11．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）一个圆会把平面分成两部分（即圆内部分和圆外部分），2个圆最多能把平面分成4个部分，3个圆最多能把平面分成8个部分，4个圆最多能把平面分成14个部分，则6个圆最多能把平面分成 个部分． 【答案】32 【详解】1个圆会把平面分成两部分（即圆内部分和圆外部分）， 2个圆最多能把平面分成4个部分，3个圆最多能把平面分成8个部分； ∵新增的一个圆与个圆的每一个有2个交点∴共有个交点 ∵新增区域和交点的个数相同∴新增的圆分成部分 ∴n个圆最多分平面为： ∴6个圆最多能把平面分成个部分．故答案为：32． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形，这个多边形是 边形． 【答案】十一 【详解】解：设多边形是n边形，由对角线公式，得，．解得，故答案为：十一． 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】十二 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出九条对角线， ∴，则这个多边形是十二边形，故答案为：十二． 14．（24-25七年级上·江苏·课后作业）如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有 条线段，它们分别是 ，图中共有 条射线．若直线l上有五个点，则共 条线段， 条射线．若直线l上有六个点，则共有 条线段， 条射线． 【答案】 6 ，，，，， 8 10 10 15 12 【详解】解：图中共有6条线段，它们分别是，，，，，； 图中共有8条射线；若直线l上有五个点，则共10条线段，10条射线； 若直线l上有六个点，则共有15条线段，12条射线． 故答案为：6；，，，，，；8；10；10；15；12． 15．（24-25·广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点： （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点，… n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分；2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；… n条直线最多把平面分成 16．（24-25·江苏宿迁·七年级统考期末）填空： 已知：如图，、相交于点．求证： 证明：∵，（______） ∴______．（等式性质） 同理可得：______ 又∵，（______） ∴，（等量代换） 【答案】三角形的内角和等于180°, 1, 2, 对顶角相等 【详解】证明：∵，（三角形的内角和等于180°） ∴．（等式性质）同理可得： 又∵，（对顶角相等）∴，（等量代换） 故答案为：三角形的内角和等于180°, 1, 2, 对顶角相等 17．（24-25七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图：、、、四点在同一直线上．    (1)若．比较线段的大小：___________填“”、“”或“； 若，且，则的长为___________；(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①，②15(2) 【详解】（1）解：①，，即，，故答案为：； ②∵，且，，， ，故答案为：； （2）解：如图所示，    设每份为，则， 是的中点，点是的中点，， 又，，解得，，． 18．（24-25广东佛山七年级期末）已知：。 （1）如图1，吗？请说明理由． （2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由． （3）若，，求的大小． 【答案】（1），见解析；（2）直线平分，见解析；（3）150°或110° 【详解】解：（1）．理由如下： 即 （2）直线平分．理由如下： ， 又 直线平分即直线平分． （3），， ①当在内部时，如图所示： ②当在外部时，如图所示： 综上所述，的度数为150°或110°． 19.（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知），（   ）（垂直的定义）． （已知），（   ）（   ）． ∵直线，相交于点O（已知），（   ）． （等量代换）． 【答案】，，等量代换，对顶角相等 【详解】解：∵于点O（已知），∴（垂直的定义）， ∵（已知），∴（等量代换）， ∵直线，相交于点O（已知），∴（对顶角相等）， （等量代换）． 20．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）问题情境： 求几个连续整数的和，例如：求的和，我们可以采用如下办法： 设．① 把上式等号右边倒序排列，得．② ①与②等号两边分别相加，得． 所以．这种求和的方法叫做倒序求和法． (1)独立思考：请你用倒序求和法计算； (2)实践探究：计算； (3)问题拓展：某校为庆祝2024年元旦，丰富学生课余生活，举行篮球比赛．若七年级共有20个班，每两个班级只进行一场比赛，则共举办多少场篮球比赛？ (4)问题解决：若某校共有x个班级，每两个班级只进行一场篮球比赛，则共需要举办_____场篮球比赛．（用含x的代数式表示） 【答案】(1)(2)(3)共举办场篮球比赛(4)或 【详解】（1）解：设①， 把上式倒序排列得②， ①式与②式两边分别相加得：， ∴； （2）解： ， 设①， 把上式倒序排列得②， ①式与②式两边分别相加得：， ∴； （3）解：由题意得：（场），∴共举办场篮球比赛； （4）解：由题意得：或， ∴共需要举办或场篮球比赛． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 例2（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，、、三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且．(1)请用圆规在图中确定点的位置；(2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 例3（24-25河南三门峡·七年级统考期末）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 例4（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 例5（24-25七年级上·河北唐山·期中）直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧． (1)图1，小红说：若平分，一定平分． 理由如下：平分，（角平分线的定义）． ，________（垂直定义） 即________ ________（对顶角相等）________（等量代换） 平分 请补全小红的说理过程． (2)小明说：当，，如图2，可以求的度数．请帮小明完成求解过程． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（25-26七年级上·江苏·期中）如图，由A始发至终点E的某一次列车运行途中停靠的车站依次是：A-B-C-D-E．要为这次列车制作的单程火车票的种类数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 例2（24-25七年级上·天津和平·期末） 次列车从天津西站出发，途经5站，到达太原南站，在这段路线上往返行车，需印制车票（任何两站之间，往返两种车票），需要 种不同的票价． 例3（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 例4（24-25湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 例5（24-25七年级上·山东枣庄·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 例2（24-25·福建漳州·七年级统考期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级·江苏·培优）在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么9条直线把一个平面最多分成 个部分． 例4（24-25年级下·江苏·专题练习）（1）1条直线，最多可将平面分成个部分； （2）2条直线，最多可将平面分成个部分；（3）3条直线，最多可将平面分成 个部分； （4）4条直线，最多可将平面分成 个部分；（5）条直线，最多可将平面分成 个部分． 例5（24-25·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 例2（24-25七年级上·广东深圳·期末）过某个多边形一个顶点有5条对角线，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 例3（24-25·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（　　） A．88 B．44 C．45 D．50 例4（24-25·山东·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 1．（24-25·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 2．（24-25河北七年级月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 5．（24-25福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 6．（24-25福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 7．（2024·云南昆明·校考一模）如图所示，，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图所示，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线不是同一条射线．以上结论一定正确的有 ．（填正确答案的序号） 10．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 11．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）一个圆会把平面分成两部分（即圆内部分和圆外部分），2个圆最多能把平面分成4个部分，3个圆最多能把平面分成8个部分，4个圆最多能把平面分成14个部分，则6个圆最多能把平面分成 个部分． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形，这个多边形是 边形． 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 14．（24-25七年级上·江苏·课后作业）如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有 条线段，它们分别是 ，图中共有 条射线．若直线l上有五个点，则共 条线段， 条射线．若直线l上有六个点，则共有 条线段， 条射线． 15．（24-25·广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点： （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 16．（24-25·江苏宿迁·七年级统考期末）填空： 已知：如图，、相交于点．求证： 证明：∵，（______） ∴______．（等式性质） 同理可得：______ 又∵，（______） ∴，（等量代换） 17．（24-25七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图：、、、四点在同一直线上．    (1)若．比较线段的大小：___________填“”、“”或“； 若，且，则的长为___________；(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 18．（24-25广东佛山七年级期末）已知：。 （1）如图1，吗？请说明理由． （2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由． （3）若，，求的大小． 19.（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知），（   ）（垂直的定义）． （已知），（   ）（   ）． ∵直线，相交于点O（已知），（   ）． （等量代换）． 20．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）问题情境： 求几个连续整数的和，例如：求的和，我们可以采用如下办法： 设．① 把上式等号右边倒序排列，得．② ①与②等号两边分别相加，得． 所以．这种求和的方法叫做倒序求和法． (1)独立思考：请你用倒序求和法计算； (2)实践探究：计算； (3)问题拓展：某校为庆祝2024年元旦，丰富学生课余生活，举行篮球比赛．若七年级共有20个班，每两个班级只进行一场比赛，则共举办多少场篮球比赛？ (4)问题解决：若某校共有x个班级，每两个班级只进行一场篮球比赛，则共需要举办_____场篮球比赛．（用含x的代数式表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $