第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算讲义-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算 【基础回顾】 知识点1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 知识点2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【必备知识】 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 题型一 导数的运算 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【例题精讲】 1．函数f（x）＝3x+ln2的导数为（　　） A．3xln3 B． C． D．3x 2．已知函数f（x）＝ex﹣1+f'（1）x2+1，则f'（2）＝（　　） A．e+2 B．e﹣4 C．e﹣7 D．e﹣8 3．下列求导运算正确的是（　　） A．（ex）′＝xex﹣1 B．（x3）′＝x3lnx C．（2023x）′＝2023xln2023 D． （多选）4．下列命题正确的是（　　） A． B．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则 C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1 D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1 （多选）5．下列求导正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二 导数的几何意义——求切线方程 1.明确切点： 若已知切点，直接代入点斜式求切线方程． 若未知切点，需设切点为，通过条件（如切线过某点、切线斜率已知）列方程求解． 2.注意切线与导数的关系： 若函数在处可导，切线唯一；若不可导（如尖点），需通过极限定义分析切线． 3.易错点： 区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”：过点P的切线，点P未必是切点，需设切点后求解． 【例题精讲】 1．函数f（x）＝ex﹣1+xlnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程是（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．x+y﹣2＝0 2．点A是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为（　　） A． B． C． D． 3．已知直线y＝ax+b是曲线y＝xlnx的切线，则的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（0，e] C． D．（﹣∞，e] （多选）4．已知函数f（x）＝（e﹣2）x+2，g（x）＝ex﹣2lnx，则（　　） A．直线y＝f（x）是曲线y＝g（x）的切线 B．曲线y＝g（x）有唯一一条垂直于直线y＝f（x）的切线 C．曲线y＝g（x）有唯一一条平行于直线y＝f（x）的切线 D．当x∈（1，+∞）时，f（x）＜g（x） （多选）5．已知a＞0，b＞0，直线y＝x+2a与曲线y＝ex﹣1﹣b+1相切，则下列不等式一定成立的是（　　） A．9 B．ab C． D． 题型三 导数的几何意义——求参数的值(范围) (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝x（lnx+ax）的图象与x轴相切，则a的值为（　　） A． B． C．e D．﹣e 2．过坐标原点作曲线y＝（x﹣a）ex（a≠0）的切线，若切线有且只有一条，那么a＝（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 3．已知函数f（x）＝x3﹣x，过点（﹣2，a）可向曲线y＝f（x）引3条切线，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣3，5） D．（﹣5，3） 4．若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） C．（0，4） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞） （多选）5．过点A（a，0）的曲线y＝（1﹣x）ex的切线有2条，则a的值可能是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．3 题型四 两曲线的公切线 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【例题精讲】 1．若直线y＝kx+b是曲线f（x）＝ex﹣2023与g（x）＝ex+2024﹣2025的公切线，则k＝（　　） A． B． C． D． 2．若直线y＝kx+1（k为常数）是曲线y＝lnx+1和曲线y＝aex+1的公切线，则实数a的值为（　　） A． B． C．1 D．e 3．已知函数f（x）＝ex+ax+1在点x＝0处的切线为l，若l与圆x2+（y+2）2＝1相切，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 4．设曲线f（x）＝aex+b和曲线在它们的公共点P（0，2）处有相同的切线，则ba+c的值为 　2　 ． 5．曲线与y＝2+lnx的公切线方程为 　x﹣y+1＝0　 ． 课时精练 一．单选题（共8小题） 1．若，则f′（2）＝（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣3 2．下列求导运算正确的是（　　） A．（ex）′＝xex﹣1 B．（x3）′＝x3lnx C．（2023x）′＝2023xln2023 D． 3．函数f（x）＝ex﹣1+xlnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程是（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．x+y﹣2＝0 4．点A是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，若在点P可以作曲线y＝f（x）的两条切线，则点P的坐标可以为（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（﹣1，1） D．（2，2） 6．过原点的直线l与曲线y＝ex，y＝ln（x+a）都相切，则实数a＝（　　） A． B． C． D． 7．过点A（﹣5，0）作曲线的切线，则切线条数最多为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知函数f（x）＝cos2x﹣sinx，则（　　） A．f（x）是奇函数 B．f（x）最小的10个正零点之和为 C．2π是f（x）的一个周期 D．f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣x+1 （多选）10．已知函数f（x）＝ln（ax）（a≠0），则（　　） A．当a＞0时，f（x）＞0的解集为 B．若f（x）是增函数，则a的取值范围为（0，+∞） C．f（x）有且仅有一个零点 D．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 （多选）11．已知直线l为曲线f（x）＝ex﹣1与g（x）＝lnx+1的公共切线，则直线l的方程可以为（　　） A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝ex﹣1 D．y＝ex+1 三．填空题（共3小题） 12．点M，N分别是曲线y＝﹣lnx+2和直线y＝﹣x上任意一点，则|MN|的最小值为 ． 13．设曲线f（x）＝aex+b和曲线在它们的公共点P（0，2）处有相同的切线，则ba+c的值为 ． 14．若曲线y＝lnx+a与圆x2+y2＝2有公共点P（x0，y0），且在点P处的切线相同，则实数a＝ ． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝﹣2x3+6x2﹣3x﹣2． （1）求f（x）的图象在x＝1处的切线方程； （2）若f（x）的图象上存在两点A，B，使得f（x）的图象在点A，B处的切线都与直线x﹣ay＝0（a≠0）垂直，求实数a的取值范围． 所以实数a的取值范围为（﹣3，0）∪（0，+∞）． 16．已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2． （1）求f′（x）； （2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （3）若直线y＝kx与曲线y＝f（x）﹣2相切于点（x0，y0）（x0≠0）（x0，y0）（x0≠0），求k的值． 17．（1）求曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线方程． （2）利用（1）中的切线方程求e0.0001的近似值． 18．已知函数，设l为曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线，其中x0∈[﹣1，1]． （1）求直线l在y轴上的截距的取值范围； （2）设直线y＝a分别与曲线y＝f（x）和射线y＝x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值． 19．已知函数． （1）求证：对于任意实数a，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线恒过原点； （2）讨论函数f（x）的零点个数． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算 【基础回顾】 知识点1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 知识点2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【必备知识】 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 题型一 导数的运算 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【例题精讲】 1．函数f（x）＝3x+ln2的导数为（　　） A．3xln3 B． C． D．3x 【解答】解：∵f（x）＝3x+ln2， ∴f'（x）＝（3x）′+（ln2）′＝3xln3． 故选：A． 2．已知函数f（x）＝ex﹣1+f'（1）x2+1，则f'（2）＝（　　） A．e+2 B．e﹣4 C．e﹣7 D．e﹣8 【解答】解：f'（x）＝ex﹣1+2f'（1）x， 令x＝1可得，f'（1）＝1+2f'（1）， 解得f'（1）＝﹣1， 所以f'（x）＝ex﹣1﹣2x，所以f'（2）＝e﹣4． 故选：B． 3．下列求导运算正确的是（　　） A．（ex）′＝xex﹣1 B．（x3）′＝x3lnx C．（2023x）′＝2023xln2023 D． 【解答】解：由基本初等函数求导法则可得：（ex）′＝ex，（x3）′＝3x2，（2023x）′＝2023xln2023，． 故正确的只有C，ABD均错误． 故选：C． （多选）4．下列命题正确的是（　　） A． B．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则 C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1 D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1 【解答】解：A：，故A正确； B：2f′（1）＝4，故B错误； C：，则， 由f′（x0）＝2，得，即，解得x0＝1或（舍去），故C正确； D：由，得φ′（x）＝x2﹣xφ′（1）﹣1，故φ′（1）＝12﹣φ′（1）﹣1＝﹣φ′（1），所以φ′（1）＝0，故D错误． 故选：AC． （多选）5．下列求导正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于A，（xe3）′＝（）′，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，（4x﹣sin）＝（4x）′＝4xln4，C正确； 对于D，． 故选：BC． 题型二 导数的几何意义——求切线方程 1.明确切点： 若已知切点，直接代入点斜式求切线方程． 若未知切点，需设切点为，通过条件（如切线过某点、切线斜率已知）列方程求解． 2.注意切线与导数的关系： 若函数在处可导，切线唯一；若不可导（如尖点），需通过极限定义分析切线． 3.易错点： 区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”：过点P的切线，点P未必是切点，需设切点后求解． 【例题精讲】 1．函数f（x）＝ex﹣1+xlnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程是（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．x+y﹣2＝0 【解答】解：因为f（x）＝ex﹣1+xlnx，所以f′（x）＝ex﹣1+lnx+1， 所以f（1）＝1，f′（1）＝2， 所以所求切线方程切为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0． 故选：A． 2．点A是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设与直线y＝2x﹣1平行的直线切曲线于点A（）， 则，由，得x0＝1或． ∴A（1，），则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为d． 故选：B． 3．已知直线y＝ax+b是曲线y＝xlnx的切线，则的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（0，e] C． D．（﹣∞，e] 【解答】解：设直线y＝ax+b与曲线y＝xlnx的切线点的横坐标为x0（x0＞0）， 由y＝xlnx，可得y′＝lnx+1， 则，可得ax0+b＝x0（a﹣1），所以b＝﹣x0， 由a＝lnx0+1，b＝﹣x0，则， 令g（x），x＞0，可得g′（x）， 令g′（x）＝0，即2lnx+1＝0，解得x， 当x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）max＝g（），即g（x）， 当x→0时，g（x）→﹣∞， 所以，即的取值范围是（﹣∞，]． 故选：C． （多选）4．已知函数f（x）＝（e﹣2）x+2，g（x）＝ex﹣2lnx，则（　　） A．直线y＝f（x）是曲线y＝g（x）的切线 B．曲线y＝g（x）有唯一一条垂直于直线y＝f（x）的切线 C．曲线y＝g（x）有唯一一条平行于直线y＝f（x）的切线 D．当x∈（1，+∞）时，f（x）＜g（x） 【解答】解：对A，C选项，因为g（x）＝ex﹣2lnx，x∈（0，+∞）， 所以，显然在（0，+∞）上为增函数， 设切点为，则，解得x0＝1， 所以切点坐标为（1，e）， 所以切线方程为y﹣e＝（e﹣2）（x﹣1）， 所以f（x）＝（e﹣2）x+2是曲线y＝g（x）的切线，所以A选项正确，选项C错误； 对B选项，设切点为，则， 令，显然在（0，+∞）上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得q（x1）＝0， 所以曲线y＝g（x）有唯一一条垂直于直线y＝f（x）的切线，所以B选项正确； 对D选项，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e﹣2）x+2﹣ex+2lnx，x∈（1，+∞）， 所以，显然h′（x）在x∈（1，+∞）上单调递减， 又h′（1）＝0，所以h′（x）＜0在x∈（1，+∞）上恒成立， 所以h（x）＝（e﹣2）x+2﹣ex+2lnx在x∈（1，+∞）上单调递减， 又h（1）＝（e﹣2）+2﹣e＝0， 所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＜0，f（x）＜g（x），所以D选项正确． 故选：ABD． （多选）5．已知a＞0，b＞0，直线y＝x+2a与曲线y＝ex﹣1﹣b+1相切，则下列不等式一定成立的是（　　） A．9 B．ab C． D． 【解答】解：设切点为（x0，y0），因为y′＝ex﹣1，所以， 解得x0＝1，1+2a＝2﹣b，即2a+b＝1， 对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于，所以，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由，可知D正确． 故选：ACD． 题型三 导数的几何意义——求参数的值(范围) (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝x（lnx+ax）的图象与x轴相切，则a的值为（　　） A． B． C．e D．﹣e 【解答】解：因为f（x）＝x（lnx+ax），所以f′（x）＝lnx+2ax+1， 设切线y＝0与f（x）切于点（t，tlnt+at2）， 则可得lnt+2at+1＝0，且tlnt+at2＝0， 解得a，t＝e． 故选：B． 2．过坐标原点作曲线y＝（x﹣a）ex（a≠0）的切线，若切线有且只有一条，那么a＝（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 【解答】解：因为y＝f（x）＝（x﹣a）ex（a≠0）， 所以设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以Δ＝a2﹣4a＝0， 解得a＝0或a＝4，又a≠0，所以a＝4． 故选：D． 3．已知函数f（x）＝x3﹣x，过点（﹣2，a）可向曲线y＝f（x）引3条切线，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣3，5） D．（﹣5，3） 【解答】解：因为f（x）＝x3﹣x，所以f′（x）＝3x2﹣1， 设过点（﹣2，a）的切线切曲线于点（t，t3﹣t）， 所以切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），又其过（﹣2，a）， 所以a﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（﹣2﹣t）， 所以a＝﹣2t3﹣6t2+2，根据题意可知该关于t的方程有3解， 设g（t）＝﹣2t3﹣6t2+2，则g′（t）＝﹣6t2﹣12t＝﹣6t（t+2）， 所以当t∈（﹣∞，﹣2）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减； 当t∈（﹣2，0）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增； 当t∈（0，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减； 所以g（t）的极小值为g（﹣2）＝﹣6，g（t）的极大值为g（0）＝2， 所以a∈（﹣6，2）． 故选：B． 4．若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） C．（0，4） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞） 【解答】解：因为y＝f（x）＝（x+a）ex， 所以f′（x）＝ex+（x+a）ex＝（x+a+1）ex， 设过坐标原点的切线且曲线于点（t，（t+a）et）， 则切线方程为y﹣（t+a）et＝（t+a+1）et（x﹣t），又其过原点， 所以（t+a）et＝t（t+a+1）et， 所以t+a＝t（t+a+1）， 所以t2+at﹣a＝0，根据题意可知该方程有2解， 所以Δ＝a2+4a＞0， 所以a∈（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）． 故选：B． （多选）5．过点A（a，0）的曲线y＝（1﹣x）ex的切线有2条，则a的值可能是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．3 【解答】解：因为y＝（1﹣x）ex的导函数为y′＝﹣xex， 设过A（a，0）的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点A（a，0）， 所以， 整理得， 因为切线有2条，所以Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4＞0， 解得a＜﹣3或a＞1， 结合选项知，选项A、D符合题意． 故选：AD． 题型四 两曲线的公切线 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【例题精讲】 1．若直线y＝kx+b是曲线f（x）＝ex﹣2023与g（x）＝ex+2024﹣2025的公切线，则k＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设直线y＝kx+b与函数f（x）＝ex﹣2023的图象相切于点P1（x1，y1）， 与g（x）＝ex+2024﹣2025的图象相切于点P2（x2，y2）， 由f（x）＝ex﹣2023，g（x）＝ex+2024﹣2025， 得f′（x）＝ex﹣2023，g′（x）＝ex+2024， 则曲线y＝f（x）在P1（x1，y1）处的切线方程为， 即． 曲线y＝g（x）在P2（x2，y2）处的切线方程为y﹣ex2+2024+2025＝ex2+2024（x﹣x2）， 即y＝ex2+2024x+ex2+2024﹣x2ex2+2024﹣2025． ∴，解得x1﹣x2＝4047， ∴． 故选：C． 2．若直线y＝kx+1（k为常数）是曲线y＝lnx+1和曲线y＝aex+1的公切线，则实数a的值为（　　） A． B． C．1 D．e 【解答】解：令f（x）＝lnx+1，x∈（0，+∞），则， 设直线y＝kx+1与y＝lnx+1的切点为（x1，lnx1+1）， 则切线方程为，即， 又因为y＝kx+1，所以，解得x1＝e，，所以切线方程为， 令g（x）＝aex+1，则g′（x）＝aex， 设直线与y＝aex+1的切点为，所以 ①， 又因为切点在直线上，所以，即 ②， 由①和②可得x0＝1，所以，解得． 故选：B． 3．已知函数f（x）＝ex+ax+1在点x＝0处的切线为l，若l与圆x2+（y+2）2＝1相切，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：因为f′（x）＝ex+a， 所以f（0）＝2，f′（0）＝a+1， 所以切线方程为l：（a+1）x﹣y+2＝0， 由题意，圆心（0，﹣2）到直线l：（a+1）x﹣y+2＝0的距离为， 解得：． 故选：C． 4．设曲线f（x）＝aex+b和曲线在它们的公共点P（0，2）处有相同的切线，则ba+c的值为 　2　 ． 【解答】解：依题意，ae0+b＝a+b＝2，cos0+c＝1+c＝2， 则c＝1， 又f′（x）＝aex，， 则f′（0）＝a，g′（0）＝0， 故函数f（x）在点（0，2）处的切线方程为y﹣2＝ax，即y＝ax+2， 函数g（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝2， 依题意，a＝0，b＝2， 则ba+c＝20+1＝2． 故答案为：2． 5．曲线与y＝2+lnx的公切线方程为 　x﹣y+1＝0　 ． 【解答】解：设曲线上的切点为， 曲线g（x）＝2+lnx上的切点为B（x2，2+lnx2）（x2＞0）． 因为， 则公切线的斜率，所以． 因为公切线的方程为，即， 将代入公切线方程得， 由，得． 令h（x）＝lnx﹣x+1，x＞0，则， 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0， 故函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，h（x）max＝h（1）＝0， 所以x1＝1，x2＝1， 故公切线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0． 故答案为：x﹣y+1＝0． 课时精练 一．单选题（共8小题） 1．若，则f′（2）＝（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣3 【解答】解：因为， 所以f′（2）3． 故选：C． 2．下列求导运算正确的是（　　） A．（ex）′＝xex﹣1 B．（x3）′＝x3lnx C．（2023x）′＝2023xln2023 D． 【解答】解：由基本初等函数求导法则可得：（ex）′＝ex，（x3）′＝3x2，（2023x）′＝2023xln2023，． 故正确的只有C，ABD均错误． 故选：C． 3．函数f（x）＝ex﹣1+xlnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程是（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．x+y﹣2＝0 【解答】解：因为f（x）＝ex﹣1+xlnx，所以f′（x）＝ex﹣1+lnx+1， 所以f（1）＝1，f′（1）＝2， 所以所求切线方程切为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0． 故选：A． 4．点A是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设与直线y＝2x﹣1平行的直线切曲线于点A（）， 则，由，得x0＝1或． ∴A（1，），则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为d． 故选：B． 5．已知函数，若在点P可以作曲线y＝f（x）的两条切线，则点P的坐标可以为（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（﹣1，1） D．（2，2） 【解答】解：因为， 所以作出f（x）的图象如下： 又f′（x）， 因为f（0）＝1，f′（0）＝1， 所以f（x）＝ex在x＝0处的切线为y﹣1＝x，即为y＝x+1， 而函数f（x）＝ln（x+1）+1在x＝0处的切线为y﹣1＝x，即为y＝x+1， 所以两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线y＝x+1上的点P，再作函数f（x）的另一条切线即可， 根据选项分析，只有（1，2）在公切线y＝x+1上． 故选：B． 6．过原点的直线l与曲线y＝ex，y＝ln（x+a）都相切，则实数a＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设直线l与曲线y＝ex，y＝ln（x+a）分别切于（）与（x2，ln（x2+a））， 由y＝ex，得y′＝ex，由y＝ln（x+a），得y′， 则过两切点的切线方程分别为，， 把坐标原点代入，可得，则x1＝1，此时切点（）＝（1，e）， 又，e﹣ln（x2+a），， 联立解得：，a． 故选：D． 7．过点A（﹣5，0）作曲线的切线，则切线条数最多为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由题意可设切点坐标为（x0，）， y'，∴k， ∴切线方程为y（x﹣x0）， 又切线方程过A（﹣5，0）， ∴（﹣5﹣x0）， 整理得（2x0+5）lnx0﹣x0﹣5＝0，即lnx0， 令g（x）＝lnx，是增函数，y，在x＞0时是减函数， 两个函数只有一个交点，lnx0，只有一个解，所以切线方程只有一条． 故选：B． 8．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 【解答】解：因为函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1， 所以f′（x）＝3x2﹣3a， 因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行， 所以k＝f′（1）＝3﹣3a＝0，解得a＝1． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知函数f（x）＝cos2x﹣sinx，则（　　） A．f（x）是奇函数 B．f（x）最小的10个正零点之和为 C．2π是f（x）的一个周期 D．f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣x+1 【解答】解：对于A，因为f（﹣x）＝cos2x+sinx≠﹣f（x），所以f（x）不是奇函数，故A错误； 对于B，令f（x）＝0，得cos2x﹣sinx＝0，即2sin2x+sinx﹣1＝0， 所以或或或， 即，当k＝0，1，•••，9时，对应最小的10个正零点为 ， 它们的和为，故B正确； 对于C，由于f（2π+x）＝cos（4π+2x）﹣sin（2π+x）＝cos2x﹣sinx＝f（x），故C正确； 对于D，f（0）＝1，f′（x）＝﹣2sin2x﹣cosx，f′（0）＝﹣1，所以f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣x+1，故D正确． 故选：BCD． （多选）10．已知函数f（x）＝ln（ax）（a≠0），则（　　） A．当a＞0时，f（x）＞0的解集为 B．若f（x）是增函数，则a的取值范围为（0，+∞） C．f（x）有且仅有一个零点 D．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 【解答】解：对于A，当a＞0时，由f（x）＝ln（ax）＞0， 可得ax＞1，解得，所以选项A正确； 对于B，因为f′（x），ax＞0，a≠0， 所以当a＞0时，函数定义域为（0，+∞），f′（x）＞0， 所以f（x）是增函数； 当a＜0时，函数定义域为（﹣∞，0），f′（x）＜0， f（x）是减函数， 所以若f（x）是增函数，则a的取值范围为（0，+∞），所以选项B正确； 对于C，令f（x）＝ln（ax）＝0，得ax＝1，x0， 所以f（x）有且仅有一个零点，所以选项C正确； 对于D，a＞0时，f′（x），x＞0， 所以f′（1）＝1， a＜0时，f（x）在x＝1处无意义，所以选项D错误． 故选：ABC． （多选）11．已知直线l为曲线f（x）＝ex﹣1与g（x）＝lnx+1的公共切线，则直线l的方程可以为（　　） A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝ex﹣1 D．y＝ex+1 【解答】解：因为f（x）＝ex﹣1，g（x）＝lnx+1， 所以f′（x）＝ex，g′（x）， 设公切线与两曲线f（x）＝ex﹣1，g（x）＝lnx+1分别切于（m，em﹣1），（n，lnn+1）， 则切线斜率为k＝em，所以m＝﹣lnn， 所以，所以﹣lnn﹣n＝1﹣nlnn﹣2n， 所以lnn（n﹣1）+（n﹣1）＝0， 所以（n﹣1）（lnn+1）＝0，所以n＝1或n， 所以切线与g（x）的切点为（1，1），切线斜率为1；或切点为（，0），切线斜率为e， 所以切线l的方程为y﹣1＝x﹣1或y＝e（x）， 即切线l的方程为y＝x或y＝ex﹣1． 故选：AC． 三．填空题（共3小题） 12．点M，N分别是曲线y＝﹣lnx+2和直线y＝﹣x上任意一点，则|MN|的最小值为 　　 ． 【解答】解：因为点M，N分别是曲线y＝﹣lnx+2和直线y＝﹣x上任意一点， 设直线y＝﹣x+a是曲线y＝﹣lnx+2的切线，切点为（x0，﹣x0+a）， 则，解得，则y＝﹣x+3， 则|MN|的最小值即为两平行线x+y＝0与x+y﹣3＝0间的距离， 即． 故答案为：． 13．设曲线f（x）＝aex+b和曲线在它们的公共点P（0，2）处有相同的切线，则ba+c的值为 　2　 ． 【解答】解：依题意，ae0+b＝a+b＝2，cos0+c＝1+c＝2， 则c＝1， 又f′（x）＝aex，， 则f′（0）＝a，g′（0）＝0， 故函数f（x）在点（0，2）处的切线方程为y﹣2＝ax，即y＝ax+2， 函数g（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝2， 依题意，a＝0，b＝2， 则ba+c＝20+1＝2． 故答案为：2． 14．若曲线y＝lnx+a与圆x2+y2＝2有公共点P（x0，y0），且在点P处的切线相同，则实数a＝ 　﹣1　 ． 【解答】解：因为y＝lnx+a，所以， 又曲线y＝lnx+a与圆x2+y2＝2有公共点P（x0，y0），且在点P处的切线相同， 所以，又， 解得y0＝﹣1或y0＝2（舍去）， 所以，所以﹣1＝ln1+a，所以a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝﹣2x3+6x2﹣3x﹣2． （1）求f（x）的图象在x＝1处的切线方程； （2）若f（x）的图象上存在两点A，B，使得f（x）的图象在点A，B处的切线都与直线x﹣ay＝0（a≠0）垂直，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）因为f（x）＝﹣2x3+6x2﹣3x﹣2，所以f′（x）＝﹣6x2+12x﹣3， 所以f（1）＝﹣1，f′（1）＝3， 所以f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y+1＝3（x﹣1），即为3x﹣y﹣4＝0； （2）由（1）及题意可得﹣a＝﹣6x2+12x﹣3存在两不等实根， 所以Δ＝144﹣24（3﹣a）＞0，解得a＞﹣3，又a≠0， 所以实数a的取值范围为（﹣3，0）∪（0，+∞）． 16．已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2． （1）求f′（x）； （2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （3）若直线y＝kx与曲线y＝f（x）﹣2相切于点（x0，y0）（x0≠0）（x0，y0）（x0≠0），求k的值． 【解答】解：（1）根据题意可得f′（x）＝3x2﹣6x﹣9； （2）因为f（1）＝﹣9，又f′（1）＝﹣12， 所以所求切线方程为y+9＝﹣12（x﹣1），即y＝﹣12x+3； （3）因为直线y＝kx过原点，所以， 由点（x0，y0）在曲线上，得，∴． 又y′＝3x2﹣6x﹣9，所以， 又，所以， 整理得，因为x0≠0，所以， 所以． 17．（1）求曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线方程． （2）利用（1）中的切线方程求e0.0001的近似值． 【解答】解：（1）由题意，y′＝ex，所以， 所以切线的斜率k＝1， 故曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线方程为y﹣1＝1（x﹣0），即x﹣y+1＝0； （2）当x＝0.0001时，y＝0.0001+1＝1.0001， 所以e0.0001的近似值为1.0001； 18．已知函数，设l为曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线，其中x0∈[﹣1，1]． （1）求直线l在y轴上的截距的取值范围； （2）设直线y＝a分别与曲线y＝f（x）和射线y＝x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值． 【解答】解：（1）因为f′（x）＝ex﹣x， 所以所求切线方程为， 即， 所以直线l在y轴上的截距为． 设，x∈[﹣1，1]， 则g′（x）＝x（1﹣ex），令g′（x）＝0，得x＝0． 列表得： x ﹣1 （﹣1，0） 0 （0，1） 1 g′（x） ﹣ 0 ﹣ g（x） 单调递减 1 单调递减 所以直线l在y轴上的截距的取值范围是； （2）过M作x轴的垂线，与射线y＝x﹣1交于点Q，所以△MNQ是等腰直角三角形． 所以|MN|＝|MQ|＝|f（x）﹣g（x）|＝||， 设，x∈[0，+∞），所以h′（x）＝ex﹣x﹣1． 令k（x）＝ex﹣x﹣1，则k′（x）＝ex﹣1，x＞0， 所以k（x）＝h′（x）在[0，+∞）上单调递增， 所以h′（x）≥h′（0）＝0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递增． 所以[h（x）]min＝h（0）＝2，此时M（0，1），N（2，1）． 所以|MN|的最小值为2，此时a＝1． 19．已知函数． （1）求证：对于任意实数a，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线恒过原点； （2）讨论函数f（x）的零点个数． 【解答】解：（1）证明：由题可得， 则f′（1）＝e﹣a，f（1）＝e﹣a， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣（e﹣a）＝（e﹣a）（x﹣1）， 即y＝（e﹣a）x， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线恒过原点； （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），， 令g（x）＝xex﹣alnx﹣ax，则函数f（x）的零点个数与函数g（x）的零点个数一致， ， 当a＝0时，g（x）＝xex，g（x）在（0，+∞）上无零点，即f（x）在（0，+∞）上无零点， 当a＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，又g（1）＝e﹣a＞0， 且当x→0+时，g（x）→﹣∞，所以g（x）在（0，+∞）上有唯一零点， 即f（x）在（0，+∞）上有唯一零点； 当a＞0时，令h（x）＝xex﹣a， 因为h′（x）＝（x+1）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上是增函数， 又h（0）＝﹣a＜0，h（a）＝a（ea﹣1）＞0， 所以存在x1∈（0，a），h（x1）＝0，即， 当0＜x＜x1时，h（x）＜0，g′（x）＜0， 当x＞x1时，h（x）＞0，g′（x）＞0， 所以g（x）在（0，x1）上是减函数，在（x1，+∞）上是增函数， 所以g（x）在（0，+∞）上有最小值为， 因为，所以lna＝lnx1+x1， 所以g（x）的最小值g（x1）＝a（1﹣x1﹣lnx1）＝a（1﹣lna）， 当0＜a＜e时，g（x1）＝a（1﹣lna）＞0，于是g（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上无零点， 即f（x）在（0，+∞）上无零点． 当a＝e时，g（x1）＝a（1﹣lna）＝0，于是g（x）≥0，当且仅当x＝1时等号成立， 于是g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，即f（x）在（0，+∞）上有唯一零点． 当a＞e时，g（x1）＝a（1﹣lna）＜0，因为，所以x1＞1， 又， 所以g（x）在上有唯一零点，即f（x）在（0，x1）上有唯一零点； 根据及，知x1＜a，g（a）＝aea﹣alna﹣a2＝a（ea﹣lna﹣a）， 令m（a）＝ea﹣lna﹣a，则当a＞e时，， 所以m（a）＝ea﹣lna﹣a在（e，+∞）上是增函数，m（a）＝ea﹣lna﹣a＞ee﹣1﹣e＞0， 即g（a）＞0，所以g（x）在（x1，a）上有唯一零点， 即f（x）在（x1，+∞），上有唯一零点， 综上，当0≤a＜e时，f（x）没有零点； 当a＜0或a＝e时，f（x）有一个零点； 当a＞e时，f（x）有两个零点． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $