第28章 教材典型问题突破-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂教学课件(人教版)

天骄出品 必属精品 深圳天骄文化传播有公司 宝典训练 配套教学课件 高效课堂 第二十八章　教材典型问题突破 第二十八章　锐角三角函数 一、三角函数的概念 1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A， 过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D. 通过测量可得AB，BD，AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小.下列关系式正确的是（　A　） A A. sin A＝ B. cos A＝ C. tanA＝ D. sin A＝ 二、三角函数的应用 2. （1）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AB的长为 m.（结果保留根号） （ －1.6）　 （2）某梯子与地面所成的角α满足45°＜α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6米的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上 米高的墙. 3 　 3. 如图，身高1.75 m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三 角尺测量一棵树的高度（∠A＝30°），已知她与树之间的距 离为5 m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1 m，参 考数据 ＝1.73） 解：由题意可得tan30°＝ ＝ ＝ ， 解得CD＝ ≈2.89（m）， ∴CE＝DC＋DE＝2.89＋1.75≈4.6（m）， 答：这棵树大约有4.6 m. 4. 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 解：由图形甲中数据可得tanα＝ ＝ ， 由图形乙中数据可得，另一直角边为 ＝12（m），∴tanβ＝ ＜tanα＝ ， ∴α＞β，甲自动扶梯比较陡. 5. 如图，一段长为1 500 m的水渠，其截面为等腰梯形 ABCD，渠深AE＝0.8 m，底AB＝1.2 m，坡角为45°，那么该 水渠最多能蓄水多少立方米？ 解：如图，作BF⊥DC于F. 即BF为渠深，四边形ABFE为矩 形.∴EF＝AB＝1.2 m.由题意可得∠EDA＝45°， ∵AE＝0.8m，∴DE＝AE＝0.8 m，同理FC＝0.8 m. ∴CD＝DE＋EF＋FC＝0.8＋1.2＋0.8＝2.8（m）， ∴S梯形ABCD＝ （AB＋CD）×AE＝ ×（1.2＋2.8）×0.8＝ 1.6（平方米），故该水渠最多能蓄水1.6×1 500＝2 400（立 方米）. 6. 一个小孩荡秋千，如图所示，秋千链子的长OA为2.5米， 当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好是60°，并且两边摆动 角度相同，求秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差 （结果保留根号）. 解：（1）如答图，连接BD交OA于点C， ∴∠BOA＝∠DOA＝30°.OA⊥BD. 在Rt△OCD中，∵OA＝OB＝2.5. ∴ cos 30°＝ ＝ ， ∴OC＝ .∴OA－OC＝ － . 答：它们的高度之差约为（ － ）米. 7. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F 处，已知折痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝ . （1）△AFB与△FEC有什么关系？试证明你的结论； 解：（1）△AFB∽△FEC. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，.∴∠BAF＋∠AFB＝90°.由折叠的性质可得∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB＋∠CFE＝90°.∴∠BAF＝∠CFE. ∴△AFB∽△FEC； （2）求矩形ABCD的周长. （2）∵tan∠EFC＝ ， ∴在Rt△EFC中， ＝ ，设EC＝3x cm，FC＝4x cm， ∴EF＝ ＝5x（cm）.由折叠的性质可得DE＝EF＝5xcm， ∴AB＝CD＝DE＋CE＝8x（cm）， ∵∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝ ＝ .∴BF＝6x cm.∴AF＝ ＝10x（cm）.∴AE＝ ＝5 x（cm）.∵AE＝5 cm， ∴x＝1.∴AD＝BC＝AF＝10x＝10（cm），AB＝CD＝8x＝8（cm）. ∴矩形ABCD的周长为10＋10＋8＋8＝36（cm）. $