第22章 微专题5 二次函数综合问题（线段问题、铅锤法求面积问题）-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂教学课件(人教版)

天骄出品 必属精品 深圳天骄文化传播有公司 宝典训练 配套教学课件 高效课堂 微专题5　二次函数综合问题（线段问题、铅锤法求面积问题） 第二十二章　二次函数 预备知识： ★1.用坐标表示平行于y轴的线段长为：y上－y下.若无法确定y 上，y下，可分类讨论，或用绝对值符号处理，即｜y1－y2｜. ★2.如图，S△GBC＝ ＋ ＝ ⁠. S△GHC 　 S△GHB 　 GH·OB　 线段问题 （2024·内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）.经过 点A的直线与该二次函数的图象交于点B（1，3），与y轴交 于点C. （1）二次函数的解析式是 ， 一次函数的解析式是 ， 点C的坐标是 ⁠. y＝－x2＋4x　 y＝－x＋4　 （0，4）　 （2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上 方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点 P的横坐标为m.请求出m为何值时线段PD的长度最大，并求 出最大值. 解：（2）∵点P在直线AB上方，∴1≤m≤4. 由题知P（m，－m2＋4m），D（m，－m＋4）， ∴PD＝yP－yD＝－m2＋4m＋m－4＝－m2＋5m－4＝ －（m－ ）2＋ ，∵－1＜0， ∴当m＝ 时，PD的长度最大，最大值 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的 图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点B的坐标 为（6，0），对称轴为直线x＝4，点M为抛物线上的一个动 点. （1）求二次函数的解析式； 解：（1）y＝x2－8x＋12；（过程略） （2）当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂 线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值. （2）令x＝0，则y＝12，∴C（0，12）. 令y＝0，则x2－8x＋12＝0， ∴x＝6或x＝2，∴A（2，0）. 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， ∴ ∴ ∴y＝－2x＋12. 设M（t，t2－8t＋12），则Q（t，－2t＋12）， 则MQ＝－2t＋12－（t2－8t＋12）＝－（t－3）2＋9. ∵2＜t＜6，∴当t＝3时，MQ有最大值为9. 课堂小结：形如求线段PE长的最值的问题. 处理策略：遇动点，巧设点坐标，表线段. 注意事项：1.设坐标P（x，ax2＋bx＋c），E设为（x，kx ＋b）；2.平行于y轴的线段长＝y上－y下. 铅垂法解决几何面积最值问题 （2024·徐州）如图，A，B为一次函数y＝－x＋5的图象 与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的公共点，点A，B的横坐 标分别为0，4.P为二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上的动点， 且位于直线AB的下方，连接PA，PB. （1）求b，c的值； 解：（1）当x＝0时，y＝－x＋5＝5， 当x＝4时，y＝－x＋5＝1， 则A（0，5），B（4，1）， 把（0，5），（4，1） 代入y＝x2＋bx＋c.得 解得 （2）求△PAB的面积的最大值. （2）由（1）可得y＝x2－5x＋5， 设P（m，m2－5m＋5），如答图，过点P作PE∥OA交AB于点E， 则E（m，－m＋5），∴PE＝4m－m2， ∴S△ABP＝ × ＝－2（m－2）2＋8， ∵0＜m＜4， ∴当m＝2时，△PAB的面积最大，最大值为8. 如图，已知直线y＝ x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点 C，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A，C两点，且与x轴的另一 个交点为B，对称轴为直线x＝－1. （1）求抛物线的函数解析式； 解：（1）y＝－ x2－ x＋4.（过程略） （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为 m，求四边形ABCD的面积S的最大值及此时点D的坐标. （2）如答图，作DF⊥AB于点F，交AC于点E， 则D ，E ， ∴DE＝－ m2－ m＋4－ ＝－ m2－4m. ∴S△ADC＝ DE·OA＝ ＝－2m2－6m. ∵S△ABC＝ AB·OC＝ ×4×4＝8， ∴S＝S△ADC＋S△ABC＝－2m2－6m＋8＝－2（m＋ ）2＋ . ∴当m＝－ 时，S最大＝ . 当m＝－ 时，－ m2－ m＋4＝5， ∴D . 课堂小结：函数问题中求几何图形面积的最值. 处理策略：铅垂法切割图形，将面积最值转化为二次函数最 值问题. 注意事项：1.S△＝ ×底×高＝ ×铅垂高×水平距离；2.遇 动点需设点坐标. $