专题12 二次函数与几何动点及最值﹑存在性问题（期末复习专项训练，十四大题型压轴）九年级数学上学期人教版

专题12 二次函数与几何动点及最值﹑存在性问题 题型1 与线段交点个数问题 题型2 抛物线上的点到某一直线的距离问题 题型3 已知点关于直线对称点问题 题型4 特殊角度存在性问题 题型5 将军饮马模型解决存在性问题 题型6 二次函数中面积存在性问题 题型7 二次函数中等腰三角形存在性问题 题型8 二次函数中直角三角形存在性问题 题型9 二次函数中全等三角形存在性问题 题型10 二次函数中相似三角形存在性问题 题型11 二次函数中平行四边形存在性问题 题型12 二次函数中矩形存在性问题 题型13 二次函数中菱形存在性问题 题型14 二次函数中正方形存在性问题 题型一 与线段交点个数问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上一点，满足，求点的横坐标； (3)如图2，已知，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿轴向上翻折，得到图象（虚线部分），点为图象的顶点，现将图象保持其顶点在直线上平移，得到的图象与线段至少有一个交点．求图象的顶点横坐标的取值范围． 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知抛物线与y轴交于点C． (1)该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标． (2)若该抛物线与x轴交于点、B，且点E是该抛物线上位于直线下方的点，求出四边形的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标． (3)已知点，若该抛物线与线段有交点，试求a的取值范围． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)证明：该二次函数图象与轴必有两个交点． (2)已知点，，若该二次函数图像与线段只有一个交点，求的取值范围． (3)若图像上有点，，，且满足，求的取值范围． 题型二 抛物线上的点到某一直线的距离问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； (3)过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系中；已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 3．（2025·湖北孝感·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图①，当点在第二象限时，若，求的值； (3)将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 题型三 已知点关于直线对称点问题（共4小题） 1．（2025·陕西铜川·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为，抛物线与三角形的一边相交于、两点（点与点关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点C，D是抛物线的顶点，P，Q是抛物线上动点，P，Q关于抛物线的对称轴对称，设点P的横坐标为m． (1)直接写出c的值及点D的坐标； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，PQ交y轴于点E，当时，求m的值； (3)若点P在第四象限，设此抛物线在点C与点P之间的部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h．求h关于m的函数解析式； 3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求拋物线的函数解析式． (2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，求点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点． ①求证：的长度为定值； ②结合（2）的条件，求的周长的最小值． 题型四 特殊角度存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型五 将军饮马模型解决存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点． (1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ； (2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标． 3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标； (3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由． 题型六 二次函数中面积存在性问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·新疆和田·月考）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． (1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； (2)当点M在边上运动时，求面积的最大值； (3)是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 题型七 二次函数中等腰三角形存在性问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点，连接，． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点是该函数图象上的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求该二次函数的解析式及直线的解析式； (2)当点在第一象限时，求的最大值； (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． (3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 题型八 二次函数中直角三角形存在性问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 4.（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求为直角三角形时点的坐标． 5．（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 二次函数中全等三角形存在性问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与探究： 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式； (2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题： ①求出点P的坐标； ②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·宁夏·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点(在的左侧)，其中点，其顶点为的横坐标为，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点为顶点的三角形与全等?若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 题型十 二次函数中相似三角形存在性问题（共6小题） 1．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1．抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，若点是对称轴上的一个动点，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)如图2，抛物线与轴相交于点，连接，，点是直线上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点作线段于点，连接，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求点的坐标并求出的最大值． 2．（2024·贵州·三模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 3．（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级下·海南·阶段练习）如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点，其对称轴直线与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点F是第四象限内抛物线上的一个动点，点F运动到何处时，的面积最大？求出此时点F的坐标； (3)如图2，延长交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十一 二次函数中平行四边形存在性问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，面积最大，并求出此时P点的坐标； (3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线：与抛物线交于点P，与直线交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：，直线与抛物线交于点Q，与直线交于点N． ①当点Q在直线下方时，求面积的最大值及此时点N的坐标； ②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第一象限，连接，当时，求面积的最大值与最小值； (3)是否存在这样的点P，使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二 二次函数中矩形存在性问题（共4小题） 1．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2024·四川眉山·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 5．（2024·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．（2025·宁夏石嘴山·一模）如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 题型十三 二次函数中菱形存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 二次函数中正方形存在性问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 3．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 二次函数与几何动点及最值﹑存在性问题 题型1 与线段交点个数问题 题型2 抛物线上的点到某一直线的距离问题 题型3 已知点关于直线对称点问题 题型4 特殊角度存在性问题 题型5 将军饮马模型解决存在性问题 题型6 二次函数中面积存在性问题 题型7 二次函数中等腰三角形存在性问题 题型8 二次函数中直角三角形存在性问题 题型9 二次函数中全等三角形存在性问题 题型10 二次函数中相似三角形存在性问题 题型11 二次函数中平行四边形存在性问题 题型12 二次函数中矩形存在性问题 题型13 二次函数中菱形存在性问题 题型14 二次函数中正方形存在性问题 题型一 与线段交点个数问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上一点，满足，求点的横坐标； (3)如图2，已知，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿轴向上翻折，得到图象（虚线部分），点为图象的顶点，现将图象保持其顶点在直线上平移，得到的图象与线段至少有一个交点．求图象的顶点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)图象顶点横坐标的取值范围： 【分析】（1）将点、的坐标分别代入函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）满足，则点到的距离与点到的距离相等； （3）设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：，由题意易得直线，设图象顶点为，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线的解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1， 由（1）可知：抛物线的解析式为：， 令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当在直线的左侧时， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 方程组无解， 不在直线的左侧， 当在直线的右侧时，在轴上取点M，使，分别过点O、M作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 过点作直线交抛物线于点， 同理可求直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴或； （3）解：设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：， 又， 同理可得直线， ∵图象顶点在直线上， ∴设图象顶点为， 如图2， 由点与的坐标关系，得到点的对应点，即， 由可得直线， 当点在直线上时，， ， 此时点K的横坐标为， ∴点在线段上， 如图3， 设图象所在抛物线方程为：，点为直线与抛物线的交点，则点的坐标满足下列方程组： ， 点的横坐标是方程：的解， 整理得：， 当图象与直线相切时有：， 解得：， ∴方程为， 解得：， ，（在线段上）， ∴图象顶点横坐标的取值范围：． 【点睛】主要考查了二次函数综合题型，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围． 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知抛物线与y轴交于点C． (1)该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标． (2)若该抛物线与x轴交于点、B，且点E是该抛物线上位于直线下方的点，求出四边形的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标． (3)已知点，若该抛物线与线段有交点，试求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，四边形的最大面积为，此时 (3)或 【分析】（1）先求出点C坐标和对称轴，进而利用相似比对称性求出点D坐标； （2）先求出抛物线解析式，易得点B坐标，进而求出直线解析式，再利用割补法可得 ，据此求解即可； （3）分两种情况，或，利用数形结合即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线， 令，得， ∴， ∴点C关于直线对称点为， ∴； （2）解：将代入得，，解得， ∴抛物线解析式为， 根据对称性可知， 设直线解析式为，将点B、C坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过E作轴交于点E， 设，则， ∴， 则 ， ∴当时，四边形的最大面积为，此时； （3）解：当时，如图， 只有保证点M在抛物线下方（包括抛物线上），则抛物线与线段有交点， 当时，， ∴； 当时，如图， 此时只有保证抛物线顶点在线段上方（包括上），则抛物线与线段有交点， 由可得直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴顶点坐标为，此时直线上的点为， ∴，解得； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数点的坐标特征、坐标与图形面积、二次函数与直线交点问题等内容，数形结合是解题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)证明：该二次函数图象与轴必有两个交点． (2)已知点，，若该二次函数图像与线段只有一个交点，求的取值范围． (3)若图像上有点，，，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或. (3)或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解一元二次不等式组，理解二次函数图像与线段只有一个交点时函数值的特征、解一元二次不等式组方法是解题的关键． （1）根据可得函数图象与轴必有两个交点； （2）根据二次函数图像与线段只有一个交点，当时和当时，函数值与的关系列出不等式组即可； （3）根据图像上有点，，得出二次函数对称轴为．由此得出，进而可得，，由即可列出不等式组求出的取值范围 【详解】（1）解：∵， ∴函数的图象与轴必有两个交点； （2）解：∵， 当时，， 当时，， ∵点，，二次函数图像与线段只有一个交点， 当二次函数图像经过点时，即，解得：，此时抛物线解析式为，抛物线与的两个交点是，，都在线段上， 当二次函数图像经过点时，即，解得：，此时抛物线解析式为，抛物线与的两个交点是 ，，都在线段上， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上所述：该二次函数图像与线段只有一个交点， 的取值范围为或. （3）点，在函数图像上， ∴对称轴为， ∴，即抛物线解析式为， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴，解得：， 又∵， ∴，整理得：， 解得：或， 综上所述：的取值范围或. 题型二 抛物线上的点到某一直线的距离问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； (3)过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数与面积综合． （1）把点B坐标为，点C坐标为代入列方程计算即可； （2）过作轴交于，设，则，根据 表示出面积，最后求最大值即可； （3）①设，则， ，点P到y轴的距离为，，再分情况讨论去绝对自即可； ②根据结合①中三种情况列方程求解，再取对应范围之内的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：点B坐标为，点C坐标为，则， 设直线解析式为，把代入， 解得， ∴直线解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时； （3）解：①设， ∵过点P作轴，交直线于M， ∴， ∴，点P到y轴的距离为， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； ②∵， ∴当时，，解得（舍去）或； 当时，，整理得，方程无解； 当时，，整理，解得或（舍去）； 综上所述当时，或． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系中；已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值，此时点P的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点A和点B的坐标，作点A关于对称轴的对称点，连接，根据和轴对称的性质得到当三点共线时，有最大值，即此时有最大值，据此求解即可； （3）由两点距离计算公式得到，则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； ∵抛物线顶点坐标为， ∴对称轴为直线； 如图所示，作点A关于对称轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴当三点共线时，有最大值，即此时有最大值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴存在最大值，此时点P的坐标为； （3）解：∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为定点， ∴为定值， ∴ 解得， ∴点F的坐标为． 3．（2025·湖北孝感·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图①，当点在第二象限时，若，求的值； (3)将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②当时，；当时， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，中点的定义，两直线平行的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，再由，求出直线的解析式为，得到，，由题意可知P点是的中点，则，求出符合条件的m的值即可； （3）①根据点C、E（的坐标，直接可求；②分别求出，再由，得到，解得或，再由m的范围结合①即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴可设直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为，， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴点为线段的中点， ∴， 整理得，， 解得，， ∵点在第二象限时， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴ ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在同一平面直角坐标中画出函数和，如图， 当时，解得或，， 借助图象可得的解集为或， ∴当时，；当时，． 题型三 已知点关于直线对称点问题（共4小题） 1．（2025·陕西铜川·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为，抛物线与三角形的一边相交于、两点（点与点关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设，则， ∴，     ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点C，D是抛物线的顶点，P，Q是抛物线上动点，P，Q关于抛物线的对称轴对称，设点P的横坐标为m． (1)直接写出c的值及点D的坐标； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，PQ交y轴于点E，当时，求m的值； (3)若点P在第四象限，设此抛物线在点C与点P之间的部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h．求h关于m的函数解析式； 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合等，能利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点代入，可求出c的值，再把解析式化为顶点式可得点D的坐标； （2）求出点，由（1）得：抛物线的对称轴为直线，可得到点，，从而得到，再由，列出方程，即可求解； （3）分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点， 由（1）得：抛物线的对称轴为直线， 根据题意得：点， ∵P，Q关于抛物线的对称轴对称， ∴点， ∴， ∵， ∴， 解得：或2（舍去）； （3）解：根据题意得：点关于对称轴的对称点为，顶点D的坐标为 当时，y随x的增大而减小， 此时最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∵最高点与最低点的纵坐标的差为h． ∴； 当时，此时最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∵最高点与最低点的纵坐标的差为h． ∴； 当时，此时最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∵最高点与最低点的纵坐标的差为h． ∴； 综上所述，h关于m的函数解析式为． 3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求拋物线的函数解析式． (2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为11，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到 ，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：过P作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当，即时，的最大值为11． ∴的最大值为11，． （3）解：如图：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵连接交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：，解得：或， 将、代入分别得到，2， ∴ 或． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，求点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点． ①求证：的长度为定值； ②结合（2）的条件，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①见解析② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键． （1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可； ②作，连接，先求出的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值，即，得解． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， ∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上， ∴， ∴,即轴， ∴点P的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：①设平移后的抛物线的顶点为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令， 整理得， 设，， ∴，， ∴， ∴的长度为； ②如图，作，并令，连接， 由（2）得点关于对称， ∴； 由题可知，，，，则只需要求的最小值即可． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值，即的长， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 题型四 特殊角度存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点见解析； (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合，能够正确做出辅助线是解题关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据轴对称的性质先找到点，然后确定P点为函数对称轴和直线的交点，求出的函数解析式以及二次函数的对称轴，进而可求出P点； （3）当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，证明，有，设，可得，即知，直线解析式为，联立，解得点坐标；当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，同理可得点坐标． 【详解】（1）解：把，两点，代入抛物线， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）如图，P点即为所求， ∵抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：，代入，， 得到， ∴， ∴， ∵二次函数， ∴函数的对称轴为直线，两点关于直线对称， ∴， ∴的周长为：， ∴当三点共线时，的周长取到最小值， 此时点在对称轴上， ∴将代入，得到， ∴点坐标为． （3）解：抛物线上存在点Q，使，理由如下： 当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 联立， 解得 ， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时； (3)存在，． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 3．（2023·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键． （1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式． （2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标． （3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． （2）解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． （3）解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或 题型五 将军饮马模型解决存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点． (1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ； (2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当点M运动到抛物线的顶点时，的面积最大为8，点M的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，面积问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解； （2）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解； （3）由于线段为定值，所以当M点在抛物线的顶点上的面积最大，由A、B、M三点的坐标即可得出及高，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 把代入 得， ， 故答案为：； （2）解：连接，交对称轴于点， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，此时点即为所求 对于，令，则， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 设直线的关系式为：， 把，代入 得， 解得， 直线的关系式为， 当时，， 点坐标为； （3）解：如图， 依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，的面积最大． ∵抛物线表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴的最大面积． 3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标； (3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)M点的坐标为或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为点； （3）利用中点坐标公式结合平行四边形的性质，分三种情况，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，连接，    由对称性得， ∴，三点共线时，有最大值， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴； （3）解：∵点，，，    ∴， 当为对角线时，点的坐标为； 当为对角线时，点的坐标为； 当为对角线时，点的坐标为； 综上，M点的坐标为或或． 题型六 二次函数中面积存在性问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·新疆和田·月考）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)存在点，使的面积最大，面积的最大值为16 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式， （2）解出抛物线解析式时的两个根，即可得到A，B的坐标； （3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为，从而可求该解析式方程，假设存在点，使三角形的面积最大，设点的坐标为，然后过点作轴，交直线于点，从而可求答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：存在； 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 假设存在点，使三角形的面积最大， 设点的坐标为， 如图所示，过点作轴，交直线于点， 则点的坐标为， 则， ∴ ∴当时，的面积最大，最大值是，此时； ∴存在点，使的面积最大，面积的最大值为16． 2．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． (1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； (2)当点M在边上运动时，求面积的最大值； (3)是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)相等．理由见解析 (2)． (3)． 【分析】本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． 【详解】（1）解：当时，点在边上， 此时，，， 则； （2）当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； （3）当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式 (2)当时，的面积有最大值，最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）作轴于点D，交于点E，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可； （3）过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入，则， 解得：， ， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式； （2）解：作轴于点D，交于点E， 设，则， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ； 综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E， 在中，当时，， 解得：， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∵的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得：或， ∴点M的坐标为或或或． 5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为1 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值等知识，读懂题意是解题的关键． （1）用待定系数法求出解析式即可； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，根据三角形的面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象与x轴交于，， ∴设， 将代入，解得， ∴． （2）解：的面积存在最大值，理由如下： 过点D作轴交于点E， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴时，有最大值为1． 题型七 二次函数中等腰三角形存在性问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点，连接，． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1)抛物线解析式：；直线的解析式： (2)存在；或或或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设， ∵， ∴， ， ， 当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，， 则：， 解得：或， ∴或； 当时，， 则：， 解得：或， ∴或； 当时，， 则：， 解得：， ∴； 综上：或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点是该函数图象上的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求该二次函数的解析式及直线的解析式； (2)当点在第一象限时，求的最大值； (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设 ，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）连接，由（2）知，，，求出，，，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，在二次函数上， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 与轴交于点， 点， 设直线解析式为， 将代入得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：设 ，则， ， 即当时，最大值为； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， ， ， ， ， 当时，， 解得或， 当时，点的坐标为，与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当或时，点分别与点或点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当时，点与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为，当时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是本题解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． (3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，设，求出，，，令或，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 如图，设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （3）解：二次函数的对称轴为直线， 设， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵点的水平距离为，竖直距离为， ∴由勾股定理得，， 同理，得， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 题型八 二次函数中直角三角形存在性问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)不存在，理由见解析 (3)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平移的定义即可解答； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，据此列方程组可得，即该抛物线的解析式为；再求得即．易得当时，的周长最小，此时点的坐标为，但此时不能构成三角形，据此即可解答； （3）如图，设的坐标为，易得，、，然后分、、三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：不存在，理由如下： 由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，解得 ∴该抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴的左右交点分别为点、点 令，解得或 ， ． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为． 又∵点关于对称轴对称， ． 的周长为， 又， 的周长为， ∴当时，的周长最小，此时点的坐标为， 又∵点在轴上，不能构成三角形， ∴不存在点，使的周长最小． （3）解：如图，设的坐标为， 由勾股定理得，，，， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； ②当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为或； ③当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)直线 (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解． （1）根据抛物线与x轴交点、，利用对称轴公式，直接计算得对称轴为直线． （2）因为A、B关于对称轴对称，所以，则．连接，其与对称轴的交点P即为使最小的点．先求，再求直线的解析式，将代入得． （3）设，分别表示出、、的长度．分、、三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标． 【详解】（1），， ， ∴直线． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 4.（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求为直角三角形时点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，线段长的最大值为； (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）已知在直线上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大，最大值为； （3）解：∵为直角三角形， ①若点A为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作轴于点N，则，． 过点A作，交x轴于点M， 则由题意知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则：， 解得， 所以直线的解析式为：， 又抛物线的解析式为：， 联立得， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，即点C、M点重合． 当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C， 则点C在抛物线上，且， 当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为或． 5．（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型九 二次函数中全等三角形存在性问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与探究： 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式； (2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题： ①求出点P的坐标； ②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)四边形的面积为5；①点P坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）设二次函数的表达式为：，即，解得，即可求解二次函数和直线的表达式； （2）即可求解；①，即可求解；分点Q在直线上方和下方，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设二次函数的表达式为：， 又∵二次函数表达式为， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：，顶点的坐标为，点C的坐标为， 将点A、C坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图，过点D作轴，交于点G， ∴点，则点， ∴， ∴； ①如图，过点D作轴交于点G，过点P作轴交于点H， 设点，则点， ∴， ∵，抛物线开口向下，故有最大值， 当时，有最大值， ∴点P坐标为； ②（i）如图，当点Q在直线上方时，    设点P，Q过直线且直线，线段的中垂线与线段的交点为M，此时点M为线段中点， ∴，则点P、Q关于线段的中垂线对称， ∴线段的中点， 过点M作轴交点G，直线与y轴交点H， ∵，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴点H的坐标为， ∵直线过点M和点H，设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理过点P平行于直线的直线的表达式为：， 联立①②并解得：，即点， ∵点N是的中点，点P坐标为，点， ∴由中点公式得点； （ii）如图，当点Q在直线下方时， 当时， 同理可得中垂线的表达式为：， 设点坐标为， ∵点，，即：， 整理得：，解得：，（舍去）， 故点； 当时，， ∴， 将点A、P坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将点C坐标代入得：， ∴直线的解析式为：， 设点坐标为， ∵，即：，解得（舍去），， 故点为， 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2024·宁夏·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点(在的左侧)，其中点，其顶点为的横坐标为，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点为顶点的三角形与全等?若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，进而可得，，设点，可得，再分和两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵点是二次函数的对称轴与轴的交点， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵轴于点，点是轴上一点， ∴， ∵点是二次函数图象第四象限上的动点， ∴， ∵以点为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴ 解得，， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， 解得，， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴； 综上，当点的坐标为或时，存在以点为顶点的三角形与全等． 3．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据一次函数图象的性质得到，把点的坐标代入二次函数，运用待定系数法即可求解； （2）设，结合二次函数图象得到的面积，利用二次函数最值的计算得到，根据造桥问题的最短路径的计算方法：作点关于轴的对称点，则，连接，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小，由两点坐标距离公式即可得到的值，由此即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，则，则，根据全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，平行四边形的性质，结合图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：一次函数 中，当时，，当时，， ∴，则直线于坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∴， ∵抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：点C是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， 如图所示，过点作轴，交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴，即， 如图所示，作点关于轴的对称点，则，连接，则，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小， ∴， ∴的最小值为， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，所有满足条件的点 Q 的坐标为或，理由如下， ∵，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵将点N向下平移1个单位得到点P， ∴， ∴，， ， ∵抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， ∵， ∴， 在中，， ∴，即是等腰直角三角形， 根据轴对称的性质得到是等腰直角三角形，则， 由（1）可知， ∴，即轴， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∴，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去； 如图所示，当四边形是平行四边形时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， 设，且，，， ∴， 解得，， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∵，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去， 综上所述，不存在点 Q ，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数，全等三角形的判定方法，平行四边形的性质，轴对称图形的性质，二次函数与几何图形面积的计算等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质． （1）将、代入中，解二元一次方程组即可； （2）先根据二次函数解析式求出，进而得，，再分两种情况讨论：①若，如图1，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；②若，如图2，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：， ， ， ， ，                             ①若，如图1， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ；                         ②若，如图2， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ． 综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与全等，当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或． 题型十 二次函数中相似三角形存在性问题（共6小题） 1．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1．抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，若点是对称轴上的一个动点，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)如图2，抛物线与轴相交于点，连接，，点是直线上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点作线段于点，连接，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求点的坐标并求出的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)，的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，易证是等腰直角三角形，得到，再证明是等腰直角三角形，根据题意得到是等腰直角三角形，求出直线的解析式为，再求出抛物线的对称轴为，得到，求出，，，设，求出，根据，则分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点作轴于点M，求出直线的解析式为，设，再求出直线的解析式为，求出点，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：存在， 由（1）知抛物线的表达式为：， 将代入，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵以为顶点的三角形与相似， ∴是等腰直角三角形， ∴点P在点G上方， 设直线的解析式为， 则，解得： 设直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴点G的横坐标为， ∴， ∴，， ∴，，， 设， ∴， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或； （3）解：过点作轴于点M， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵，的面积为的面积为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 此时，， ∴，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 2．（2024·贵州·三模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线的解析式为，得出点的坐标为，分别过点、作轴于点轴于点，由，得，然后分两种情况讨论：I．当时，，II．当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． ②存在，理由如下： ， 使用待定系数法同理可得：直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． ， ，且， ． 如图1，分别过点、作轴于点轴于点． 由，得， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，， 即， 解得，满足， 此时点的坐标为． II．当时，， 即， 解得，满足，此时，点的坐标为． 综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似， 点的坐标为或． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，， 把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示， 根据轴对称可知：， ， 两点之间线段最短， 当共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 顶点坐标， 的最小值为：； 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， （3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下： 设 ，则， ，，，， ①当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； ②当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 5．（24-25九年级下·海南·阶段练习）如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点，其对称轴直线与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点F是第四象限内抛物线上的一个动点，点F运动到何处时，的面积最大？求出此时点F的坐标； (3)如图2，延长交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) ，F (3)存在，或 【分析】（1）由抛物线与y轴的交点坐标可求出c的值，由抛物线的对称轴为直线可求出b的值，即可得到抛物线的解析式． （2）易得，利用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，于是，由三角形的面积公式可知当最大时，的面积最大，结合二次函数的性质可知此时，进而可得点F的坐标． （3）易得，利用待定系数法求得直线的解析式为，则，于是，过点P作轴于点G，分两种情况讨论：当 时，根据相似三角形的性质求得，进一步求出，即可得此时点P的坐标；当时，与上述解法相同． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点F作x轴的垂线，交于点N， 由， ∴， 设直线的解析式为， 将点B的坐标代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则 ， ∴ ， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 由，， ∴当 时，最大，的面积最大， 此时F． （3）存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似，或． 由，知， 设直线的解析式为， 将点M的坐标代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 在中，令，得，即， ∵， ∴， ∴，， 如图，过点P作轴于点G， 在以点P、E、O为顶点的三角形和中，， 当时， 有，即， ∴ ， ∴， ∴； 当时， 有，即， ∴， ∴ ， ， ∴． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质、利用待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该正方形的边长为； (3)存在，点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）设点的坐标为，由四边形为正方形，则，即，然后解方程并检验即可； （）由、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论当，即，当，即，分别求出的长即可． 【详解】（1）解：将、、，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， 即， 解得，（舍去）， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论： 当，即， 解得， 当，即， 解得， 作轴，垂足为， 当，，点坐标为； 当，，点坐标为； 综上所述：点坐标为或． 题型十一 二次函数中平行四边形存在性问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，面积最大，并求出此时P点的坐标； (3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，所有满足条件的点Q的坐标为或或 【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可； （2）过点P作y轴的平行线交于点H，先求解，直线的表达式为，设点P的坐标为，则点，结合的面积，再建立二次函数的解析式，利用二次函数的性质解题即可； （3）分三种情况讨论：①当四边形是平行四边形时，②当四边形是平行四边形时，③当四边形为平行四边形时，如图，再利用平行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得到， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点P作y轴的平行线交于点H， ∵抛物线的解析式为， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点， 则的面积 ， ∴当时，的面积最大值为， 此时点P的坐标为； （3）存在． 理由：如图， 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点，， ①当四边形是平行四边形时， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ②当四边形是平行四边形时， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ③当四边形为平行四边形时，如图， ∴，则， ∴， 综上，满足条件的点Q或，． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与平行四边形，熟练地画出图形，利用数形结合的方法与方程思想解题是关键． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线：与抛物线交于点P，与直线交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：，直线与抛物线交于点Q，与直线交于点N． ①当点Q在直线下方时，求面积的最大值及此时点N的坐标； ②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为，此时点N的坐标为；②存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而求得，再利用 ，利用二次函数最值，求解即可； ②分四种情况：Ⅰ、当点P、Q都在直线上方时，即当或时，此情况不存在有平行四边形；Ⅱ、当点P在直线上方、Q在直线下方时，即当时；Ⅲ、当点P、Q在直线下方时，即当时；Ⅳ、当点P在直线下方时，Q在直线上下方时，即当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：①设直线的解析式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴直线l₁向右平移两个单位得到直线， ∴， ∵点Q在直线AC下方时， ∴ ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴． ②直线的解析式为， ∴，， ∵直线：与抛物线交于点P，与直线 交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：+，直线与抛物线交于点Q， ∴，， Ⅰ、当点P、Q都在直线上方时，即当或时，此情况不存在有平行四边形，      ， Ⅱ、当点P在直线上方、Q在直线下方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：，或（舍去）， ∴ Ⅲ、当点P、Q在直线下方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：， ∴， Ⅳ、当点P在直线下方时，Q在直线上方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， 综上，存在，当点P的坐标为或或时，以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数和图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质等知识是解题的关键． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3) (4)存在，满足条件的点M的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （4）解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第一象限，连接，当时，求面积的最大值与最小值； (3)是否存在这样的点P，使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意求出的解析式，设，则，根据点在抛物线上，可用含的式子表示出的长，根据二次函数的特点即可求解； （3）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图所示， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵，则， ∴， ∴ ∵， ∵， ∴当时， 又， ∴当时，； （3）解：存在理由如下： 由（2）知，，， ∴ ∵，且使以点为顶点的四边形为平行四边形， ∴，∴， ①，解得：或， ∴或； ②，此时t无解； 综上所述：点坐标为或． 题型十二 二次函数中矩形存在性问题（共4小题） 1．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得的值，进而求得点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴， 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或或． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2024·四川眉山·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线 (2) (3) (4)能，或 【分析】（1）令解方程即可得到结论，利用对称轴公式求得对称轴； （2）根据直线过，得到直线，解方程得到点的横坐标为4，求得，得到直线的函数表达式为； （3）过作轴交直线于，设，得到，求出，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （4）令，即，得到，设，①若是矩形的一条边，②若是矩形的对角线，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， 对称轴为直线； （2）解：直线过， ， 即， 直线， 抛物线与直线交于点，， ， 即， ， 点的横坐标为4， ， ， 直线的函数表达式为； （3）解：过作轴交直线于，设， 则，， ， ， ， 的面积的最大值为， 的面积的最大值为， ， 解得； （4）以点、、、为顶点的四边形能成为矩形， 令，即， 解得：，， ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ①若是矩形的一条边， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ； ②若是矩形的对角线， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 综上所述，点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2024·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 6．（2025·宁夏石嘴山·一模）如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． （1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线上方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）解：∵ 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线， ∴， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 题型十三 二次函数中菱形存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 2．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 题型十四 二次函数中正方形存在性问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $