专题01 绝对值的三种化简方法（重难点培优：知识点总结+三大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题01 绝对值的三种化简方法目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用数轴化简绝对值………………………………………………… 1 题型2：利用几何意义化简绝对值…………………………………………… 5 题型3：分类讨论法化简绝对值……………………………………………… 7 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 9 知识梳理 1. 绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 可整理为：， 或， 或 4. 归纳： 绝对值等于它本身的数 非负数 绝对值大于它本身的数 负数 绝对值等于它的相反数的数 非正数 绝对值最小的有理数 0 绝对值最小的正整数 1 绝对值最小的负整数 －1 重难点题型分类 【题型1：利用数轴化简绝对值】 【例1】a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【例2】有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【例3】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【变式3-1】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2】在数轴上的位置，如图所示，计算的结果为 【变式3-3】若，且，则 ． 【例4】数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c，若，，，． (1)请将a、b、c填入括号内． (2)化简． 【变式4-1】有理数、、在数轴上的位置如图； (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：______；______；______． 【变式4-2】有理数在数轴上的位置如图， (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简： 【变式4-3】综合与实践 问题情境：数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示， 解决问题： （1）当时，求______；当时，求______； （2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，填空（请填入“”、“”或“”）： _________0；________0；________0； 拓展探究： （3）在（2）的条件下，求的值． 【题型2：利用几何意义化简绝对值】 【例1】我们知道，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离为______，如果，那么x的值为______； (3)求的最小值是______； (4)若，则______； (5)某工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，I，一只配件箱应该放在工作______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． 【变式1-1】（1）已知是最小的正整数，且、满足，则__________，__________，__________． （2）【阅读】 点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． 【应用】 数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么__________； 若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为__________． 当代数式取最小值时，相应的的值是__________． 【变式1-2】阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数 和 的两点之间的距离表示为； (2)若，则 (3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：请你在草稿纸上画出数轴，若x表示一个有理数，则是否有最小值？如果有直接写出最小值，如果没有，说明原因？ 【变式1-3】阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【题型3：分类讨论法化简绝对值】 【例1】阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；类似地，表示5，两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可以表示为． 解决问题：如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为和8，数轴上另有一个点P表示的数为，试探索： (1)①点A，B之间的距离为 ； ②点P，A之间的距离为 ；（用含x的式子表示） (2)①若点P在A，B两点之间，则的值为 ； ②若，则点P表示的数为 【变式1-1】已知均为不等于零的有理数，完成下列问题： (1)若为正数，则的值为______； (2)若满足，求的值； (3)若且，求的值． 【变式1-2】已知的三边长分别为a，b，c，其中． (1)求边长c的取值范围． (2)化简：． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则的值是（    ） A．12 B． C． D．或4 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，则；正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）对于任意有理数a和b，满足，对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是（   ） A．②③④ B．③ C．②③ D．③④ 6．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理表示数轴上有理数对应的点到和对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得的最小值为．利用该方法，可得的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则 ． 9．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）若的最大值为x，最小值为y，则 ． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）若，则 ． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）若，，且a，b，c是非零有理数，则 12．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的和为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．    (1)根据数轴化简：______；______；______；______． (2)若，，求的值． 14．（25-26七年级上·河南信阳·阶段练习）我们知道，是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为． (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则a　 　 0，b　 　 0，　 　 0； (2)若，则　 　 ； (3)已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：． 15．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 16．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 17．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是________． (4)当________时，的值最小，最小值是________． 18．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 20．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）【定义新知】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： 【初步应用】 （1）如果，那么a的值是______； （2）如果，那么a的值是______； （3）如果，那么a的值是______； （4）的最小值是______． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5，右侧1，右侧3．A居民区有居民1千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民2千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值的三种化简方法目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用数轴化简绝对值………………………………………………… 1 题型2：利用几何意义化简绝对值…………………………………………… 10 题型3：分类讨论法化简绝对值……………………………………………… 16 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 21 知识梳理 1. 绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 可整理为：， 或， 或 4. 归纳： 绝对值等于它本身的数 非负数 绝对值大于它本身的数 负数 绝对值等于它的相反数的数 非正数 绝对值最小的有理数 0 绝对值最小的正整数 1 绝对值最小的负整数 －1 重难点题型分类 【题型1：利用数轴化简绝对值】 【例1】a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的位置、绝对值以及相反数的性质，正确判断的符号及其绝对值的大小关系是解题的关键． 由在数轴上的位置可判断，结合，可得且与互为相反数，进而逐一判断即得答案． 【详解】解：由数轴可知，． ． A、由于是负数，则是正数，故，A错误； B、，B正确； C、 但 ，故C错误； D、已知，且，则与互为相反数，即，故D错误． 故选：B． 【变式1-1】有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，绝对值，解题的关键是根据数轴上点的位置确定，的正负； 根据，在数轴上的对应点的位置，逐项进行判断即可． 【详解】解：由，在数轴上的对应点的位置可知，， A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C 【变式1-2】有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数的定义，用绝对值的定义去判断是解题的关键. 根据数轴得出，再逐个判断即可. 【详解】解：①根据数轴可知：， ， ，符合题意，故①正确； ②， ， ，符合题意，故②正确； ③ ， ， ，符合题意，故③正确； ④， ， ，符合题意，故④正确； 故答案为：①②③④. 【例2】有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选：C． 【变式2-1】三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ， ， 故选：． 【变式2-2】如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由可得，结合可得，，，再进一步解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 【例3】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的混合运算，有理数与数轴，根据数轴，判断出有理数的符号，式子的符号，根据绝对值的意义进行化简，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故选：D． 【变式3-1】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值问题，根据，此时，a可以看作一个式子，a是正数或0，则把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号．据此化简即可． 【详解】解：由数轴得，， = ． 故选：B． 【变式3-2】在数轴上的位置，如图所示，计算的结果为 【答案】3 【分析】本题考查了数轴上点的位置与实数正负性的关系、绝对值的性质及分式化简，解题的关键是根据点在数轴上的位置判断、、的正负，进而确定绝对值内式子的正负，再利用“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”化简分式并计算． 根据数轴信息判断，，；由、得；分别化简、、的值；将化简结果代入原式计算得出最终结果． 【详解】解：∵点在原点右边， ∴， ∴， ∴． ∵点、在原点左边， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 将上述结果代入原式：． 故答案为：． 【变式3-3】若，且，则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；利用绝对值的代数意义判断得到中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 【详解】解：∵，且， ∴中负数有一个或三个， 当中有一个负数时：， 当中有三个负数时：， 则原式或， 故答案为：1或 【例4】数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c，若，，，． (1)请将a、b、c填入括号内． (2)化简． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． （1）画数轴图，把a、b、c表示在数轴上； （2）根据数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：由（1）数轴图可知，， ∴，，， ∴ ． 【变式4-1】有理数、、在数轴上的位置如图； (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）通过数轴判断、、的正负及绝对值大小，进而确定式子的符号； （2）依据（1）中得到的符号，利用绝对值的性质进行化简． 本题主要考查了数轴的性质、有理数的加减运算以及绝对值的化简，熟练掌握数轴上数的大小关系、有理数运算规则和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知，且． ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：；； ． 【变式4-2】有理数在数轴上的位置如图， (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简： 【答案】(1)＜，＞，＜ (2) 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义、绝对值、整式的加减运算等知识点，正确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可解答； （2）根据（1）得到的符号，再化简绝对值，然后再计算即可． 【详解】（1）解：（1）由数轴可得：，且， ∴，，， 故答案为：＜，＞，＜． （2）解：由（1）可得，，， ∴ ． 【变式4-3】综合与实践 问题情境：数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示， 解决问题： （1）当时，求______；当时，求______； （2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，填空（请填入“”、“”或“”）： _________0；________0；________0； 拓展探究： （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）1；；（2）；；；（3）0 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的运算法则及有理数比较大小，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可知，将，，分别化简即可； （2）由图可知，且，再根据有理数的运算法则可判断出结果； （3）由（2）可知，，，故有，，，，进而可求出代数式的值． 【详解】解：（1）∵时，，时，， ∴，， 故答案为：1，； （2）由题意得：，且， ∴，，， 故答案为：，，； （3）由（2）可知，，，，， ∴，，，， ∴． 【题型2：利用几何意义化简绝对值】 【例1】我们知道，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离为______，如果，那么x的值为______； (3)求的最小值是______； (4)若，则______； (5)某工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，I，一只配件箱应该放在工作______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． 【答案】(1)3，4 (2)，0或 (3)5 (4)或3 (5)E，40 【分析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间距离，绝对值的化简；由绝对值关系式得出参数的取值范围是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解； （2）根据两点间的距离公式构建方程，根据绝对值的性质转化为方程求解； （3）根据绝对值的意义，结合两点间距离公式确定x取何值时，表达式得最小值进而确定最小值； （4）根据绝对值的意义，分、、三种情况解绝对值方程即可； （5）设配件台的位置为P，当P位于E处时，则P在D、F之间， C、G之间，B、H之间，A、I之间，此时取最小值为，取最小值为，取最小值为，取最小值为，从而得解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：3，4； （2）解：； 由，得， ∴或． ∴或； （3）解：的几何意义是：在数轴上表示数x和2两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x和两点间的距离； ∴几何意义是：在数轴上表示数x和2两点间的距离与在数轴上表示数x和两点间的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； （4）解：当时，由得，解得； 当时，由得，解得， 由（3）知，当时，，即该方程无解， 综上，或3， 故答案为：或3； （5）解：设配件台的位置为P， 当P位于E处时，则P在D、F之间， C、G之间，B、H之间，A、I之间， 此时取最小值为，取最小值为，取最小值为，取最小值为， ∴最短路程为， 故答案为：E，40； 【变式1-1】（1）已知是最小的正整数，且、满足，则__________，__________，__________． （2）【阅读】 点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． 【应用】 数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么__________； 若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为__________． 当代数式取最小值时，相应的的值是__________． 【答案】（），，；（） ；或； ； ． 【分析】本题考查了绝对值和偶次幂非负性，数轴上两点的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值和偶次幂非负性，有理数概念即可求解； （）根据阅读材料得出，然后再解绝对值方程即可； 根据表示点到和的距离之和即可求解； 根据表示点到，和的距离之和即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， ∴， 故答案为：，，； （）数轴上表示和的两点和之间的距离是， ∵， ∴， ∴或， 解得：或 故答案为： ；或； ∵表示点到和的距离之和， ∴取最小值时，， 则的最小值为， 故答案为：； ∵表示点到，和的距离之和， ∴当时，最小值为， 故答案为：． 【变式1-2】阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数 和 的两点之间的距离表示为； (2)若，则 (3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：请你在草稿纸上画出数轴，若x表示一个有理数，则是否有最小值？如果有直接写出最小值，如果没有，说明原因？ 【答案】(1)3，； x， (2)4或2 (3)有，最小值为5 【分析】本题考查了绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可； （2）利用绝对值的意义得到，求出结果即可； （3）把理解为：在数轴上表示x到3和的距离之和，求出表示3和的两点之间的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为； 数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：3，； x，． （2）， ， ， 或2； （3） 如图，当时，在数轴上表示x到3和的距离之和，， 当时， x和的距离已经大于5，在数轴上表示x到3和的距离之和大于5， ， 当时，x和3的距离已经大于5，在数轴上表示x到3和的距离之和大于5， ， 当时，有最小值为5． 【变式1-3】阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 【题型3：分类讨论法化简绝对值】 【例1】阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；类似地，表示5，两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可以表示为． 解决问题：如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为和8，数轴上另有一个点P表示的数为，试探索： (1)①点A，B之间的距离为 ； ②点P，A之间的距离为 ；（用含x的式子表示） (2)①若点P在A，B两点之间，则的值为 ； ②若，则点P表示的数为 【答案】(1)①11；② (2)①11；②或 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，有理数的加法、减法运算等，正确理解题意，数形结合是解题的关键； （1）①利用两点间距离的定义求解即可；②利用两点间距离的定义求解即可； （2）①式子表示点P到点A的距离和点P到点B的距离之和， 当点在A，B两点之间时，可得点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为11，故而可求解； ②由，可得点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为13，结合数轴，分点P在A，B两点之间， 点P在点A左侧，点P在点B右侧，在每一种情况下，数形结合求出点P表示的数，综合可得结果． 【详解】（1）①数轴上两点A，B表示的数分别为和8， ， 点A，B之间的距离为11． 故答案为：11． ②数轴上两点A，P表示的数分别为和， ， 点A，P之间的距离为． 故答案为：． （2）①表示点P到点A的距离和点P到点B的距离之和， 若点在A，B两点之间， 则点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为：， ． 故答案为：11． ②若， 则点P到点A的距离和点P到点B的距离之和为13，即 由①知，当点在A，B两点之间时，，不符合题意； 当点P在点A左侧时，如图1所示： ， 又， ， ． 当点P在点B右侧时，如图2所示： ， 又， ， ． 点P表示的数为或． 故答案为：或． 【变式1-1】已知均为不等于零的有理数，完成下列问题： (1)若为正数，则的值为______； (2)若满足，求的值； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】本题考查绝对值的性质以及有理数的运算．解题关键是根据绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合已知条件对字母的正负性进行分析，进而求解． （1）为正数，则代入求解即可； （2），即异号，需要分类讨论：①若，，②若，再化简求解即可； （3）且，可以得到，，需要分类讨论①，②，再化简求解即可． 【详解】（1）解： 为正数，则， 故答案为：1； （2） ，即异号 ①若，， ②若，， 综上所述： 故答案为：； （3） 且 ， ①，， ②， 综上所述，1或 故答案为：1或． 【变式1-2】已知的三边长分别为a，b，c，其中． (1)求边长c的取值范围． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． （2）由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴和绝对值，根据数轴得出的符号及绝对值的性质是解题的关键． 由数轴可知，易得，根据绝对值性质取绝对值符号后合并即可解答． 【详解】解：由数轴可知， 即， 所以 ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则的值是（    ） A．12 B． C． D．或4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算，含字母的绝对值的化简，根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选C． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 4．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，则；正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的四则运算，当时，没有意义，据此可判断①；根据题意可证明，则，再由绝对值的意义可判断②；根据绝对值的意义可判断③；根据题意可求出，据此化简绝对值即可判断④． 【详解】解：①当时，满足，但是没有意义，原说法错误； ②若，且，则，即可得到，故，原说法正确； ③，则，原说法错误； ④若，则， 则，原说法正确； ∴说法正确的有2个， 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）对于任意有理数a和b，满足，对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是（   ） A．②③④ B．③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．先根据绝对值的性质，分四种情况进行讨论，①当，时；②当，时；③当，时，④当，时；就能得到答案． 【详解】解：分四种情况讨论： ①当，时， ，， 则，则，， 故①②③正确； ②当，时，，， 则，则，， 故②③正确； ③当，时，，， 由得，则，， 故③正确； ④当，时，，， 由得，则，， 故③正确 ∴一定成立的是③ 故选：B． 6．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查数轴，绝对值，解题关键在于结合数轴进行解答. 根据数轴得到，，再根据有理数加减法的计算法则即可求解． 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确， 故选：C． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理表示数轴上有理数对应的点到和对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得的最小值为．利用该方法，可得的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简问题，整式的加减计算，难度较大，解题的关键利用分类讨论的思想求解． 分五种情况讨论，分别去绝对值，再进行整式加减计算，然后计算最值并比较即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 当时， ， 当时， ， 所以当时，有最小值是16， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴的最小值为16， 故选：B． 二、填空题 8．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减法，得出，，是解题的关键．由数轴得，，，，进一步得出，，，再根据绝对值的定义化简即可． 【详解】解：由数轴，得，，，， ，，， ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）若的最大值为x，最小值为y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法，除法运算，运用分类讨论思想是解题的关键；根据绝对值的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值化简，分情况讨论化简求值即可． 【详解】 分情况讨论： 当时， 当时， 当时， 当时， 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）若，，且a，b，c是非零有理数，则 【答案】或3 【分析】本题考查利用绝对值的性质求解代数式的值，解题关键是通过分类讨论判定结果． 首先根据，，可判定a、b、c中二负一正，然后转换形式，得出，然后分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b，c中两负一正，，，， ∴ 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 综上，的值为或3， 故答案为：或3． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的加法法则，先将进行转化，再将x的表达式进行化简，分析a，b，c的正负性，再分情况讨论x的值，最终求出x的最大值与最小值之和即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴a，b，c中为一负二正或三负， 又∵， ∴a，b，c不可能为三负，只能为一负二正， ∴当，，时， ， 当，，时， ， 当，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴两数之和为：． 故答案为：2． 三、解答题 13．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．    (1)根据数轴化简：______；______；______；______． (2)若，，求的值． 【答案】(1)；；；； (2) 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减运算，乘法运算，正确由数轴确定的正负以及大小是解题的关键． （1）先根据数轴确定的正负，再由化简即可； （2）先根据数轴确定的正负以及大小，去绝对值，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． ， ， ． 故答案为：． ， ， ． 故答案为：． ，， ， ． 故答案为：． （2）解：，，， ，，， ， ，，， ． 14．（25-26七年级上·河南信阳·阶段练习）我们知道，是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为． (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则a　 　 0，b　 　 0，　 　 0； (2)若，则　 　 ； (3)已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：． 【答案】(1) (2)或3 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，解绝对值方程，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴回答即可； （2）根据题意得到表示到的距离，表示到的距离，再分情况讨论求解，即可解题； 根据题意得到由数轴可知，，，进而得到，再结合绝对值性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ， 故答案为：． （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当时， 原式变形为，解得， 当时， 原式变形为，该方程无解， 当时， 原式变形为，解得， 综上所述 或3， 故答案为：或3． （3）解：由数轴可知，，， ， ． 15．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 16．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 17．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是________． (4)当________时，的值最小，最小值是________． 【答案】(1)3，5；2或 (2)6 (3)12 (4)1，7 【分析】本题考查数轴与绝对值的综合，解题关键在于根据数轴上点的位置化简绝对值，其次注意分类讨论问题，最后计算仔细即可． （1）本题根据数轴上两点距离运算规则直接求解即可． （2）本题首先根据已知判断与的正负，继而化简绝对值运算求解． （3）本题根据x的范围分类讨论，化简绝对值后与7比较大小，进一步确定x的范围，最后在该范围内寻找符合条件的整数点． （4）与（3）同理可得当时，取最小值7，结合当时，取最小值0，即可得解． 【详解】（1）解： 4与1两点间距离：；与2两点间的距离：； 由已知得：，即， 解得或． 故答案为：3，5；2或； （2）解：由已知得：，故，； ∴原式． 故答案为：6； （3）解：当时，，不符题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符题意； 综上：x的取值范围为， 故该范围下整数点为：， 这些整数点的和为：． 故答案为：12； （4）解：与（3）同理可得：当时，取最小值7， 又∵当时，取最小值0， ∴当时，值最小，最小值为7． 故答案为：1，7． 18．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，，时，根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （4）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当，时， ， 故答案为：． （2）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （3）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，两正一负，． 故的值为或 （4）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分和两种情况进行讨论即可. 【详解】解：①当时，原方程可化为： ， 解得，符合； ②当时，原方程可化为： ， 解得， 符合． 故原方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，按照示例分类讨论是解题的关键． 20．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）【定义新知】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： 【初步应用】 （1）如果，那么a的值是______； （2）如果，那么a的值是______； （3）如果，那么a的值是______； （4）的最小值是______． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5，右侧1，右侧3．A居民区有居民1千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民2千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）；（2）或8；（3）或4.5；（4）2；（5）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是10元 【分析】本题考查数轴上两点间的距离： （1）（2）根据绝对值的定义即可求解； （3）分为、、三种情况讨论即可； （4）分为、、、四种情况讨论即可； （5）设实验室P对应的数为x，用x表示出总成本，对x的位置进行讨论即可． 【详解】解：（1），则； 故答案为：； （2），则， ∴， ∴或， 故答案为：8或； （3） 当时，，则； 当时，，不存在这样的a； 当时，，则； 故答案为：或； （4） 当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，， ∴当时，原式有最小值2， 故答案为：2； （5）A、B、C在数轴上分别表示，1，3，设P表示的数是x，使总运输和包装成本最低，即最小， 当时，， 当时，，， 当时，， ， 当时，， ∴当时，最小值为10， ∴实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是10元． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $