有理数+有理数的运算+代数式 期末复习知识点分类常考热点解答题专题训练 2025-2026学年人教版七年级数学上册

2025-2026学年人教版七年级数学上册《有理数+有理数的运算+代数式》 期末复习知识点分类常考热点解答题专题训练（附答案） 一、有理数 1．（1）把下面直线变成数轴，并把下列各数在数轴上表示出来， ，，，， （2）比较它们的大小并用“”连接： ． 2．把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩0.618 (1)非正整数集合{     }． (2)分数集合{     }． (3)正有理数集合{      }． 3．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 4．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 5．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 二、有理数的运算 6．计算 (1) (2) (3)； (4)． 7．阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 8．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 9．学习了有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算． 有两名同学解法如下： 李明：原式， 张华：原式， (1)对于上述两种解法，你认为______（填李明或张华）的解法计算简便． (2)请你尝试用张华的方法计算：． 10．小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 11．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　　 ，　　 ； (2)你认为当输入数等于　　 时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出　　 数； (4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　　 （用含自然数n的代数式表示）． 12．为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：）：，，，，，，． (1)将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少？ (2)小王送完第________位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是________． (3)如果小王的汽车耗油量为，这天上午他的汽车共耗油多少？ 13．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如表，以每月销售万辆为标准，多于万辆的部分记为“”，不足万辆的部分记为“”，刚好万辆的记为“”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆 (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小鸣家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小鸣的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 14．最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国，新能源汽车产销量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 与标准值的差值 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (3)已知燃油车每行驶需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为16度，每度电为元，请计算这7天阳阳家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱（结果精确到个位）？ 三、代数式 15．已知，． (1)若，且，求的值； (2)若，求的值． 16．西安大唐不夜城文化创意坊推出“长安风华”系列服饰，其中汉服风衣每件定价300元，唐风衬衫每件定价50元．文创坊在促销期间推出两种优惠方案：方案①买一件汉服风衣送一件唐风衬衫；方案②汉服风衣和唐风衬衫都按定价的九折付款．某客户要购买汉服风衣15件，唐风衬衫件（）． (1)若该客户按方案①购买，需付款_____元；若该客户按方案②购买，需付款_____元；（用含的式子表示） (2)若该客户购买唐风衬衫30件，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ 17．【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，，那么： （1）根据规律可知：第7个数是 ，是第 个数； （2）根据规律填空：第个数是 ； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算：． 18．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 19．如图，老师把两摞规格完全相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本数学课本的厚度为______； (2)①若有一摞上述规格的数学课本x本整齐地叠放在讲台上，请你用含x的代数式表示出这摞数学课本的顶部距离地面的高度h； ②若把全班40名同学的数学课本整齐地叠成一摞摆放在讲台上，求h的值． 20．【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 参考答案 1．解：（1）∵， ∴各数在数轴上表示如下， （2）由数轴可得，， 故答案为：． 2．（1）解：非正整数是指0和负整数 ②0是整数且是非正数，⑦是负整数，⑧是负整数 所以非正整数集合：②⑦⑧， 故答案为：②⑦⑧； （2）解：分数包括有限小数、无限循环小数、百分数 ③是有限小数，⑤是百分数，⑨是分数，⑩0.618是有限小数 所以分数集合：③⑤⑨⑩， 故答案为：③⑤⑨⑩； （3）解：正有理数是正的整数或分数 ①是正整数，⑤是正分数，⑨是正分数，⑩0.618是正分数 所以正有理数集合：①⑤⑨⑩， 故答案为：①⑤⑨⑩． 3．（1）解：点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为：，，； （3）解：将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为：； （4）解：将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 故答案为：或． 4．（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张兵同学做出的乒乓球误差大于蔡伟做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． 5．（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 6．（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 7．（1）解： （2）解： ． 8．解：的倒数为， ， 所以． 9．（1）解：对于上述两种解法，张华的解法计算简便． 故答案为：张华； （2）解： ． 10．（1）解：依题意，； （2）解：（i）拿出最大的数为，拿出最小的数为， 则， 即抽取最大的数为以及最小的数为，并把最小的数减去最大的数，此时得出差最小； （ii）抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，此时2张卡片上的数字的积最大， 即抽取数字以及数字，， ∴这2张卡片上的数字的积最大值是45， 11．（1）解：若输入的数字为4时， ∵，则， ∵，则的相反数为1， ∵为正数，则倒数为1，输出结果为1， 若输入数字为7时， ∵，则， ∴相反数为， ∴的绝对值为2，输出结果为2， 故答案为：； （2）解：根据题意得：输入数字为（，5的倍数均可），结果为0， 故答案为：（，5的倍数均可）； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负； （4）解：归纳总结得：小明输入的正整数是， 故答案为：． 12．（1）解：， 那么将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是； （2）解：送完第1位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第2位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第3位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第4位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第5位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第6位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第7位老师后与第一次的出发地点的距离：， 即小王送完第3位教师后距离第一次的出发地点最远，最远距离是． 故答案为：3，18； （3）解：， 即这天上午他的汽车共耗油． 13．（1）解： （万辆） 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车． （2）解： 答：该汽车充电前还能行驶． 14．（1）解：路程最多的一天对应的记录为，最少的一天对应的记录为， 这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 ， 故答案为：； （2）解：（千米）， 答：阳阳家的新能源汽车这七天平均每天行驶了60千米； （3）解：（元）， 答：这7天阳阳家换成新能源汽车比开燃油车节省228元． 15．（1）解：∵，， ∴或，或． ∵，且， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知或，或． ∵， ∴，或，， ∴或． 16．（1）解：由题意得，该客户按方案①购买，需付款元， 该客户按方案②购买，需付款元； （2）解：当时， 按方案①购买应付款元， 按方案②购买应付款元， ， 按方案一购买较为合算． 17．解：（1）第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知，第n个数为 ∴第7个数为 ∵， ∴是第11个数； （2）由（1）可得第个数是； （3），，， ……， 以此类推，可知， ∴ 1．．． 1 ． 18．（1）解：， ， ； （2）解：把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3）解：，， ． 19．（1）解：每本数学课本的厚度为． （2）解：①讲台的高度为：， ∴数学课本的顶部距离地面的高度． ②． 20．解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 学科网（北京）股份有限公司 $