专题3.2-3.3 不等式的基本性质、一元一次不等式及其解法（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

专题3.2-3.3 不等式的基本性质、一元一次不等式及其解法 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01 不等式概念 2 知识点梳理02 列不等式 2 知识点梳理03 不等式的解与解集 2 知识点梳理04 不等式解集的两种表示方法 3 知识点梳理05 不等式的基本性质1 3 知识点梳理06 不等式的基本性质2 3 知识点梳理07 不等式的基本性质3 4 知识点梳理08 一元一次不等式的定义 4 知识点梳理09 解一元一次不等式 4 优选题型 考点讲练 5 考点1 不等式的性质 5 考点2 一元一次不等式的定义 6 考点3 不等式的解集 7 考点4 求一元一次不等式的解集 9 考点5 求一元一次不等式的整数解 11 考点6 在数轴上表示不等式的解集 12 考点7 求一元一次不等式解的最值 14 考点8 解|x|≥a型的不等式 16 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 29 知识点梳理01 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 知识点梳理02 列不等式 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点梳理03 不等式的解与解集 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 知识点梳理04 不等式解集的两种表示方法 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 知识点梳理05 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点梳理06 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点梳理07 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 知识点梳理08 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点梳理09 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 考点1 不等式的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）计算：； （2）比较大小：与． 【答案】（1）  （2） 【思路引导】本题考查了实数的运算，实数的大小比较，无理数的估算，不等式的性质． （1）分别计算立方根和算术平方根，再进行加减计算； （2）先由无理数的估算方法得到，则，那么，即可比较与大小． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列式子一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路引导】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质并结合反例进行判断是解题的关键． 根据不等式的性质进行判断即可． 【规范解答】解：A：若，则一定有，与不一定相等，故该选项不合题意； B：若，，那么，故该选项不合题意； C：若，，那么，故该选项不合题意； D：若，，那么，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查了利用数轴比较实数大小，不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．由数轴可知，，再根据不等式两边同时乘以一个不为0的正数，不等式方向不变，即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴可知，， 若，则， 即取值可能为1， 故选：D． 考点2 一元一次不等式的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是，且用不等号连接的整式不等式；根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【规范解答】解：()不含有未知数，不符合“含有一个未知数”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； ()未知数的最高次数是，不符合“未知数的次数是”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； 综上，是一元一次不等式的有()和()，共个． 故选：B． 【变式训练1】（（24-25八年级下·陕西·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【思路引导】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式训练12（（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路引导】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【规范解答】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 考点3 不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）某日，贵阳市的最高气温是，最低气温是，则当天贵阳市的气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据实际问题抽象出一元一次不等式组的知识，进行作答，即可求解； 【规范解答】解：最高气温与最低气温之间的气温即为当天的气温的变化范围， ∴当天贵阳市的气温的变化范围是：； 故选：D； 【变式训练1】（（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，1 【思路引导】此题考查了分式的除法，代入求值，一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式， ， ； 要使原式有意义，则． 又，且为非负整数， 只能取1． 当时， 原式． 【变式训练12（（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【思路引导】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 考点4 求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）解下列方程组和不等式： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式． （1）求出，进而代入求解即可； （2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【规范解答】（1） 得： 解得： 将代入得 解得： ∴ （2）去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 【变式训练1】（（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中为的最大整数解． 【答案】，9 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，解一元一次不等式，灵活应用完全平方公式和平方差公式进行化简是解题的关键．先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再求出的最大整数解，将其代入化简后的式子即可求解． 【规范解答】解：原式 ． ， ， 为的最大整数解， ， 原式 ． 【变式训练12（（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中为满足的最小整数． 【答案】， 【思路引导】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，求不等式的整数解，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再解不等式求出的值，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ， 由，解得， 为满足的最小整数， ， 当时， 原式． 考点5 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】(1) (2)整数a的值为：3，4 【思路引导】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【规范解答】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． （2）解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 【变式训练1】（（24-25八年级下·江西·阶段练习）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【规范解答】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 【变式训练12（（2024九年级·安徽·专题练习）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．先按照去分母去括号移项系数化为1的步骤解不等式，再把解集表示在数轴上即可． 【规范解答】解：， 去分母得，， 移项得，， 解得，． 把不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：B 考点6 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集．根据题意解出不等式组，结合数轴表示即可求解． 【规范解答】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上可表示为 ． 故选：B 【变式训练1】（（2025·吉林四平·模拟预测）关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了根据一元一次不等式的解集求解参数，解决本题的关键是由数轴得到不等式的解集． 先由解不等式的方法解不等式，再根据数轴可得不等式的解集为，由此求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的不等式为， ∴解得， 由数轴可得解集为， ∴，解得． 故选：D ． 【变式训练12（（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【规范解答】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 考点7 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【规范解答】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【变式训练12（（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【思路引导】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【规范解答】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 考点8 解|x|≥a型的不等式 【典例精讲】24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【思路引导】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【规范解答】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 【变式训练1】（（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【思路引导】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【规范解答】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【变式训练12（（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【思路引导】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 2．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【思路引导】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 3．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元 (2)至少购买A款材料包份 【思路引导】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式． 【规范解答】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元， 则，解得， 答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元． （2）解：设购买A款材料包份， ， 解得， ∵a为整数， ∴a最小为， 答：至少购买A款材料包份． 4．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【规范解答】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 5．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，数轴上的点把数在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示，“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案． 【规范解答】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示： ， 故选：C． 基础夯实 1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【规范解答】解：， ， ， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A．从1处画实心点，向左画射线 B．从1处画空心点，向左画射线 C．从1处画实心点，向右画射线 D．从1处画空心点，向右画射线 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．空心点向右表示大于，空心点向左表示小于，据此可得出答案． 【规范解答】解：不等式，表示 1 不包含在解集中，所以在数轴上从 1 处画空心点，向左画射线． 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了不等式的解集以及不等式的基本性质．熟练掌握根据不等式的解集确定相关参数的关系，以及不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变这一性质是解题的关键．本题可先根据已知不等式的解集得出关于、的关系，进而确定与的大小关系，再求解不等式．解题思路为：由不等式的解集求出与的关系，判断的正负，最后代入不等式求解． 【规范解答】解：由得． ∵其解集为， ∴，且． ∴， 将代入，可得 ∴． 把代入不等式，可得， ， ∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．由题意可得是不等式的解集，解不等式可得，进而得到，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得是不等式的解集， ， ， 解得， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于的一元一次方程有非正数解，则所有满足条件的负整数的值之和为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先把一元一次方程去分母，去括号，合并同类项，系数化1，得出，再结合关于的一元一次方程有非正数解，以及为负整数，得出取，再列式计算得出所有满足条件的负整数的值之和，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化1得， ∵关于的一元一次方程有非正数解， ∴， ∴， 解得， ∵为负整数， ∴， ∴取， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解不等式，正确求得值是解答的关键．先根据已知不等式的解集求得，然后代入所求式中即可求解． 【规范解答】解： ， ， 关于的不等式的解集是， ， 解得， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． （）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4)，见解析 【思路引导】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （2）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （3）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （4）直接去分母，移项，合并同类项，把解集在数轴上表示出来即可． 【规范解答】（1）解：， 移项得， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 在数轴上表示为：    （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 在数轴上表示为：    （3）解：， 移项得，， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 在数轴上表示为：    （4）解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，； 在数轴上表示为：    9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）解下列二元一次方程组： （2）解下列不等式： 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【规范解答】解：（1） 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※． (1)计算：※； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键． （1）根据公式计算可得； （2）结合公式对的大小关系进行分类讨论求解之可得． 【规范解答】（1）解：※， 故答案为：； （2）解：根据新运算的定义，对的大小进行讨论， 当，即， 根据定义：※，原等式成立； 当，即， 根据定义：※， 整理得：， 解得：，该解满足， 故：或． 培优拔高 11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【思路引导】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键．先解分式方程得出，根据分式有意义的条件和方程的解为非负数，即可得出的取值范围． 【规范解答】解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 化系数为，得， ， ，即， 分式方程的解为非负数， ，解得， 且． 故选：A ． 12．（25-26八年级上·湖南衡阳·开学考试）已知方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合应用，解题的关键是通过将方程组两方程相加直接得出的表达式，无需单独求解、，再代入不等式求解的取值范围． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含的等式；化简等式求出的表达式；根据列出关于的一元一次不等式；解不等式得到的取值范围，对应选项确定答案． 【规范解答】解： 将两方程左右两边分别相加：， 化简得：，即， 因，故， 两边同乘3得：， 移项得：， 解得：， 故选：C． 13．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组及不等式约束条件下的最值问题．先通过方程组消元，消去变量c，建立a与b的关系，再将a的表达式代入c的表达式，得到c与b的关系式，利用非负条件限制b的取值范围（b最大为），再把a，c代入W的表达式，化简为只含b的表达式，最终取b的最大值计算W的最大值即可得出结果． 【规范解答】解：， 由①得，， 将c代入②：， ∴， ∴， 代入c的表达式：， ∵a，b，c为三个非负实数， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值： 此时． 故选：D． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路引导】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【规范解答】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【思路引导】本题考查了有理数的性质、平方运算、倒数关系、绝对值比较及不等式性质的综合应用，解题的关键是通过举反例或逻辑推导验证每个结论的正确性，尤其要注意符号对运算结果的影响． 通过对每个结论逐一分析：①利用平方相等的两数关系判断；②由分式等式推导出两数关系验证；③通过举正负不同的有理数反例判断；④结合两数大小和和的符号分析绝对值关系；⑤根据给定的、范围，利用不等式性质比较各代数式大小． 【规范解答】解：①由，根据平方性质，互为相反数的两数平方相等，故，①正确； ②由得（），故，②正确； ③若，，满足，但，故③错误； ④因且，若，则，矛盾，故，④正确； ⑤由，得，；，即；，即；， 故，⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 16．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：， ∴， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算题： (1)解方程组：； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了求二元一次方程组的解，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用代入法运算求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【规范解答】（1） 解：由可得： ， 把代入可得： ， 把代入可得： ， ∴原方程组的解为：； （2） 解： ． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 19．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【答案】(1)> (2)，理由见解析 (3)①，；②小李加油方式平均油价更低 【思路引导】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先求出，再根据除法的计算法则即可求解； （2）化简，由且，可得，进而求解； （3）①根据：加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量，列代数式即可；②用小李的平均油价减去小刘的平均油价，如果大于0则小刘的省钱，如果小于0则小李的省钱，等于0则费用一样； 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：>； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵，且 ∴， ∴， ∴， 即； （3）①小李两次所加油的平均单价为： （元/升）； 设小刘每次加油量为V升． ∴小刘两次加油的平均单价为： （元/升）； 故答案为：，； ② ， ∵,,且， ∴， ∴， ∴， 即， 答：小李加油的平均单价低． 20．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元 (2)购进甲种商品件，乙种商品件时，最大利润为元 【思路引导】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购进甲种商品件，则乙种商品为件，根据题意列出不等式组，得出为整数，即可取、、；进而分别求得甲乙的利润，将的值代入，比较大小即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据题意得， ，得， 答：甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元 （2）解：设购进甲种商品件，则乙种商品为件，根据题意得， 解得： 且为整数，即可取、、； 设， 根据题意当购买件，其中前件进价元，后件进价元，因此： 乙的利润为： 甲的利润为 总利润 当时，总利润 元 当时，总利润 元 当时，总利润 元 当时，总利润为元，为最大值．最优方案为购进甲种商品件，乙种商品件，最大利润为元． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2-3.3 不等式的基本性质、一元一次不等式及其解法 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01 不等式概念 2 知识点梳理02 列不等式 2 知识点梳理03 不等式的解与解集 2 知识点梳理04 不等式解集的两种表示方法 3 知识点梳理05 不等式的基本性质1 3 知识点梳理06 不等式的基本性质2 3 知识点梳理07 不等式的基本性质3 4 知识点梳理08 一元一次不等式的定义 4 知识点梳理09 解一元一次不等式 4 优选题型 考点讲练 5 考点1 不等式的性质 5 考点2 一元一次不等式的定义 5 考点3 不等式的解集 6 考点4 求一元一次不等式的解集 6 考点5 求一元一次不等式的整数解 7 考点6 在数轴上表示不等式的解集 7 考点7 求一元一次不等式解的最值 8 考点8 解|x|≥a型的不等式 9 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 14 知识点梳理01 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 知识点梳理02 列不等式 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点梳理03 不等式的解与解集 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 知识点梳理04 不等式解集的两种表示方法 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 知识点梳理05 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点梳理06 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点梳理07 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 知识点梳理08 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点梳理09 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 考点1 不等式的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）计算：； （2）比较大小：与． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列式子一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 考点2 一元一次不等式的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1】（（24-25八年级下·陕西·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【变式训练2】（（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 考点3 不等式的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）某日，贵阳市的最高气温是，最低气温是，则当天贵阳市的气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【变式训练12（（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 考点4 求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）解下列方程组和不等式： (1) (2) 【变式训练1】（（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中为的最大整数解． 【变式训练2】（（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中为满足的最小整数． 考点5 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【变式训练2】（（2024九年级·安徽·专题练习）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点6 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（（2025·吉林四平·模拟预测）关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【变式训练2】（（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点7 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【变式训练1】（（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练2】（（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 考点8 解|x|≥a型的不等式 【典例精讲】24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【变式训练1】（（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【变式训练2】（（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 2．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 3．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 4．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A．从1处画实心点，向左画射线 B．从1处画空心点，向左画射线 C．从1处画实心点，向右画射线 D．从1处画空心点，向右画射线 3．（24-25七年级下·湖北·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 5．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于的一元一次方程有非正数解，则所有满足条件的负整数的值之和为 ． 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则 ． 7．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)； (3)； (4)． 9． （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）解下列二元一次方程组： （2）解下列不等式： 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※． (1)计算：※； (2)若，求的取值范围． 培优拔高 11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 12．（25-26八年级上·湖南衡阳·开学考试）已知方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是 ．（填序号） 16．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算题： (1)解方程组：； (2)解不等式． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 19．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 20．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $