精品解析：江苏省徐州市睢宁县春晖中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度春晖中学第一学期9月月考八年级数学试卷 （时间：90分钟，满分140分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 用以下各组线段为边能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 在如图所示的图形中，正确作出了边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 5. 如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图,△ABC≌△ADE,点E在BC边上,∠CAE=20°,则∠AED的度数为（ ） A. 60° B. 90° C. 80° D. 20° 7. 如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 8. 如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 如图，已知，，要使，需添加一个条件可以依据得到，这个条件可以是______． 10. 如图，在中，点为的中点，连接，且，则_____． 11. 如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为________． 12. 如图，在等边中，，与相交于点，则的度数是_____． 13. 如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为______． 14. 如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则___________ 15. 如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为________． 16. 如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是________． 三、解答题（本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 利用无刻度的直尺画图： （1）将图1中的长方形分割成4个全等图形； （2）将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； （3）在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 18. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 19. 如图，，，求证： （1）． （2） 20. 如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 21. 如图，的角平分线相交于点P，求证：点P在的角平分线上． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 23. 如图，在中，、分别是与的中点，，． 求证：． 24. 如图（1），，是的平分线． （1）如图（2），把三角板的直角顶点落在的任意一点上，并使三角板的两条直角边分别与，垂直，垂足分别为，，求证：． （2）如图（3），把三角板绕点旋转，三角板的两条直角边分别交，于点，，与相等吗？请证明你的结论． 25. （1）我们已经知道，在中，如果，则，下面我们继续研究∶如图①，在中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在边的点处，如图②所示，然后把纸展平，连接，接下来，你能推出与的大小关系了吗？试写出说理过程． （2）如图③，在中，是角平分线，且，求证：． （3）在（2）的条件下，若点、分别为、上的动点，且，，则的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度春晖中学第一学期9月月考八年级数学试卷 （时间：90分钟，满分140分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 用以下各组线段为边能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．注意：判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形三边关系逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 在如图所示的图形中，正确作出了边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高．根据三角形高的定义即可判断求解． 【详解】解：根据三角形高的定义，只有D选项中的是边上的高， 故选：D． 3. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：①当为顶角时，即顶角的度数为， ②当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：C． 4. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、一角一边不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图,△ABC≌△ADE,点E在BC边上,∠CAE=20°,则∠AED的度数为（ ） A. 60° B. 90° C. 80° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质知∠C的度数，再利用全等三角形的性质得出∠AED=∠C=80°. 【详解】∵△ABC≌△ADE, ∴AE=AC,又∠CAE=20° ∴∠C==80°， ∴∠AED=∠C=80°. 故选C. 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质. 7. 如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案． 【详解】解： 平分，于点，于点， ，，，故B正确； ， ， ∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误； ， ，故A正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 8. 如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 如图，已知，，要使，需添加一个条件可以依据得到，这个条件可以是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：依据得到，添加，理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在中，点为的中点，连接，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，在中，点为的中点，则，然后代入即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵在中，点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线以及平行线性质,等角对等边，掌握以上知识是解题关键． 题干要求线段的长，根据和的平分线相交于点，且得到，从而进行分析即可求解． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在等边中，，与相交于点，则的度数是_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．根据题目已知条件可证，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解． 【详解】解：∵等边， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，证，推出，求出，得出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 14. 如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的三边关系的应用，先证明，结合周长的最小值是17，，可得的最小值为：，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， 垂直平分线段， ， ∵周长的最小值是17，， ∴的最小值为：， 此时， ∴. 故答案为： 15. 如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为________． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．利用角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形，通过全等三角形的对应边相等来求解的长度． 【详解】解：过点作于点． ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，． 故答案为：或． 16. 如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接． 设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 利用无刻度的直尺画图： （1）将图1中的长方形分割成4个全等图形； （2）将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； （3）在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 【答案】（1） 解：如图1所示为所求： （2） 解：如图2所示为所求： （3） 解：如图3，点P所示为所求： 【解析】 【分析】本题考查全等图形的概念，网格线作图，角平分线的性质． （1）利用网格线的特点，取矩形各边中点，分别连接对边中点即可； （2）同理（1）取直角三角形各边中点，分别将连接直角边中与斜边中点连接，再连接直角顶点与斜边中点即可； （3）利用网格线的特点，取格点D，连接交于点P，由网格线的性质得到为的角平分线，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【答案】 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】在和中，利用HL定理判定即可． 【详解】略 【点睛】本题考查直角三角形的判定，牢记判定定理并能够灵活应用是解题关键． 19. 如图，，，求证： （1）． （2） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，再根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【小问1详解】 证明：在和中 ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵，是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键是证明，利用三线合一的性质进行证明．根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明，再得出，即可得证． 【详解】略 21. 如图，的角平分线相交于点P，求证：点P在的角平分线上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线性质定理的逆定理，过点P分别作垂足分别为D，F，E，利用角平分线的性质推出，由角平分线性质定理的逆定理，即可证明P点在的角平分线上． 【详解】证明：过点P分别作垂足分别为D，F，E， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴P点在的角平分线上． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）结合线段垂直平分线的性质可求出，再利用三角形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵的周长为14， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为． 23. 如图，在中，、分别是与的中点，，． 求证：． 【答案】 证明：连接、，由，，推出和均为直角三角形，由是的中点，可得，即是等腰三角形，根据“三线合一”，得 ∵，， ∴，， ∴和均为直角三角形， 又∵是的中点， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵为中点， ∴． 【解析】 【分析】连接、， 【详解】略 【点睛】本题考核知识点：直角三角形，等腰三角形. 解题关键点：熟记等腰三角形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 24. 如图（1），，是的平分线． （1）如图（2），把三角板的直角顶点落在的任意一点上，并使三角板的两条直角边分别与，垂直，垂足分别为，，求证：． （2）如图（3），把三角板绕点旋转，三角板的两条直角边分别交，于点，，与相等吗？请证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）相等，证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识点． （1）由角平分线的性质可证明； （2）过点P作，，分别交，于点M，N，推出，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵三角板的两直角边分别与，垂直， ∴，， 又∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：与相等，证明如下： 如图所示，过点P作，，分别交，于点M，N， 则（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵，，， ∴， 又∵， ∴，， 则， 在和中， ， ∴， ∴． 25. （1）我们已经知道，在中，如果，则，下面我们继续研究∶如图①，在中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在边的点处，如图②所示，然后把纸展平，连接，接下来，你能推出与的大小关系了吗？试写出说理过程． （2）如图③，在中，是角平分线，且，求证：． （3）在（2）的条件下，若点、分别为、上的动点，且，，则的最小值为________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）先根据图形折叠的性质得出∠ADE=∠C，再根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AD=AC，连接DE．由于AE是角平分线，故可得出∠BAE=∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△ACE，所以∠ADE=∠C，DE=CE，由三角形外角的性质可知，∠ADE=∠B+∠DEB，再由∠C=2∠B可得出∠B=∠DEB，所以AB=AD+DB，AD=AC，DB=DE=CE，由此即可得出结论． （3）如图，过C作CDAB于D交AE于P，过P作PFAC于F，这时取最小值，根据三角形ABC的面积公式可求得CD的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 由折叠可知 在中， ∴ ∴ (2)证明：如图，在上截取，连接 ∵平分 ∴ 在和中 ∴≌（） ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ （3） 如图，过C作CDAB于D交AE于P，过P作PFAC于F，这时取最小值， 易知， ∴ ∵ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是翻折变换，涉及到全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $