第二讲命题与证明专题复习培优课件 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了命题与证明的核心知识，涵盖定义与命题的概念、组成及真假判断，证明的依据步骤与方法，通过重点难点分析和例题解析构建知识网络，帮助学生理清概念与证明的逻辑脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学语言培养，如通过三角形内角和证明中的循环论证分析提升推理意识，结合“好数”问题的代数变形发展模型意识。设计分层训练，从基础命题判断到探究拓展题，满足不同学生需求，助力教师精准把握学情，有效提升复习效率。

第二讲 命题与证明 重点分析： 1. 利用命题的定义来判断语句是否为命题，关键看语句是否为一个 判断句，对一个命题，要准确找出命题的条件和结论部分，并写成“如 果……那么……”的形式，其中“如果”后写条件，“那么”后写结论。 2. 判断一个命题是真命题，主要依据已知的定理、公理或相关数学 性质，而判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可。 3. 证明一个命题，要根据题意分析命题的条件和结论，有条理地写 出证明过程，证明的每一步都要有依据，这些依据可以是定义、定理、 公理、已知等。 4. 反证法的基本步骤：（1）假设，否定待证命题的结论。（2）推 理导出矛盾。（3）肯定原命题的结论。 难点分析： 1. 探求证明的途径，一般有两种思考方法：一种是从已知出发，推 出可能的结果，并与要证明的结论作比较，直至得到要证明的结论；另 一种是从要证明的结论出发，探索要使结论成立的条件，并与已知对 照，直至找到所需要并已知的条件。对于比较复杂的证明，常常把这两 种思考方法综合运用，称为分析综合法。 2. 有以下特征的命题宜用反证法证明：（1）结论涉及唯一性。 （2）结论涉及“至多或至少”。（3）结论为否定形式。（4）结论涉及 无限形式等。 3. 作辅助线是证明命题常用的手段，要会作简单的辅助线解决证明 题。常见的辅助线有：分割图形，作平行线，截长补短等。 　把下列命题写成“如果……那么……”的形式。 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）周长相等的两个三角形全等。 （3）等角的补角相等。 　 先找出命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式。其中“如果”后面跟命题的条件，“那么”后面跟命题的结论。 　（1）如果两条平行线被第三条直线所截，那么所得的同 位角相等。 （2）如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等。 （3）如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等。 　将命题改写成“如果……那么……”的形式更容易分清命题中的条件和结论。 　 题（3）的结论是两角相等，故条件应该是满足何种条件 的两角，为了命题的证明方便一般不改写成“如果两个角相等，那么它 们的补角相等”。 　判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请说明理 由；如果是假命题，请举出一个反例。 （1）两个锐角的和是锐角。 （2）若a > b，则a2 > b2。 （3）若n是自然数，则代数式（3n+1）（3n+2）+1的值是3的倍数。 　（1）利用特殊角可证明该命题为假命题。（2）利用特殊 值可证明该命题为假命题。（3）将代数式展开后提取公因数3即可证明 该命题为真命题。 　（1）假命题。反例：40°与60°的和为100°。 （2）假命题。反例：当a=1，b=- 3时，a2=1 < b2=9。 （3）真命题。理由如下：∵（3n+1）（3n+2） +1=9n2+6n+3n+2+1=9n2+9n+3=3（3n2+3n+1），n为自然数，∴代数式（3n+1）（3n+2）+1的值是3的倍数。 　本题考查了命题与定理。判断一件事情的语句叫作命题。 许多命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已 知事项推出的事项，命题可以写成“如果……那么……”的形式。有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫作定理。要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。 　判断命题真假一定要打破思维定式，全面考察命题的条件 与结论，举反例时一定要注意反例要满足命题的条件，不满足命题条件 的例子不能称为反例。 　在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小胡和小杜分别给 出了下列证法。 小胡：在△ABC中，延长BC到点D（如图1）。 ∵∠ACD=∠A+∠B（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵∠ACD+∠ACB=180°（平角定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。 小杜：在△ABC中，作CD ⊥ AB于点D（如图2）。 ∵CD ⊥ AB（已知），∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）。 ∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）。∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等量加等量和相等）。 ∴∠A+∠B+∠ACB=180°。 请你对上述两名同学的证法给出评价，并另给出一种你认为较简单的证 明三角形内角和定理的方法。 　两名同学的证法都不对。因为“三角形一个外角等于与它 不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和 定理推导得到的，这种用结论来说明的错误称为“循环论证”，不符合推 理论证的逻辑规律。 　评价：两位同学都巧妙地通过作辅助线将问题转化，作辅 助线的思路对解题有帮助，但证明过程用到的理论依据是由本命题的结 论推导出来的，所以证明方法不正确，陷入了“循环论证”的错误之中。 正确的证法如下： 如图3，过点A作直线MN，使MN∥BC。 ∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°（平角定义）， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）。 　要证明三角形的内角和等于180°，即三角形三个内角的和是平角，可以通过作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和。平行线是几何证明中常用的辅助线。 　“循环论证”是初学几何证明者比较容易出现的一种错误， 即用命题的结论推导得到的性质来证明命题本身，做证明题时对每一步 的说理依据要认真考证，以避免出现“循环论证”。 　在△ABC中，BO平分∠ABC，点P为直线AC上一动点，PO ⊥ BO于点O。 （1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P与点C重合时， ∠APO= 　 。 （2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：∠APO=（∠ACB- ∠BAC）。 （3）如图3，当点P在边AC上如图所示位置时，请直接写出∠APO与 ∠ACB，∠BAC之间的等量关系式： 　 　。  　（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据角平分 线的定义求出∠OBC，然后求出∠OCB，再根据∠APO=∠ACB-∠OCB计算即可得解。（2）作射线AO，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，从而得到 ∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解。（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠ABO，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解。 　（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-60°=80°。∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=∠ABC=20°。∵PO ⊥ BO，∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°。∴∠APO=∠ACB-∠OCB=80°- 70°=10°。 （2）如图4，作射线AO， 则∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P， ∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P。 ∵PO ⊥ BO，∴∠3+∠4=90°。∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，即∠BAC+∠2+∠P=90°。∵BO平分∠ABC，∴∠2=∠ABC。 ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB。 ∴∠2=（180°-∠BAC-∠ACB）。∴∠APO=90°-∠BAC-∠2=90°-∠BAC-（180°-∠BAC-∠ACB）=（∠ACB-∠BAC）。 　本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，难 度中等，熟记性质并准确识图是解题的关键。 　本题中涉及的角较多，要准确表示出各角度之间的等量关 系，运用三角形外角的性质时要注意对应的角度关系不要混淆。 　如果一个数能表示成x2+2xy+2y2（x，y是整数），我们称这个数为 “好数”。 （1）判断29是否为“好数”。 （2）写出1，2，3，…，20中的“好数”。 （3）如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”。 　（1）根据x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2可以得到“好数”特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”。（2）根据“好数”的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”。（3）设m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2，化简得到mn=［（x+y）（p+q）+qy］2+［q（x+y）-y（p+q）］2，令u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）-y（p+q），于是可以判断出mn为“好数”。 　（1）x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2， 特征：“好数”就是两个整数的平方和，而29=52+22，故29是“好数”。 （2）1，2，3，…，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16， 17，18，20。 （3）设m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2， 则mn=（x2+2xy+2y2）（p2+2pq+2q2） =［（x+y）2+y2］［（p+q）2+q2］ =［（x+y）（p+q）+qy］2+［q（x+y）-y（p+q）］2， 令u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）-y（p+q）， 那么mn=（u+v）2+v2=u2+2uv+2v2。 ∵x，y，p，q均为整数，∴（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）-y（p+q）也为整数。 ∴u+v，v为整数。∴u，v为整数。∴mn为“好数”。 　本题是代数证明题，解答本题的关键是掌握“好数”的定 义，并能将此定义作为依据利用完全平方式的知识进行推理证明。 　题（3）中代数式的变形是本题难点，要注意正确利用完 全平方式对式子进行恒等变形。 1. 下列语句中是命题的有（　B　）。 ①两条直线相交，只有一个交点；②π不是有理数；③对顶角相等；④ 明天会下雨吗？⑤延长线段AB。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 B 2. 下列命题中，真命题有（　A　）。 ①邻补角的角平分线互相垂直；②两条直线被第三条直线所截，内错角 相等；③两边分别平行的两角相等；④如果x2 > 0，那么x > 0；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 A 3. 若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为（　C　）。 A. 4∶3∶2 B. 3∶2∶4 C. 5∶3∶1 D. 3∶1∶5 C 4. 如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　B　）。 A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° B 5. 把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ⁠ ，它是 （填“真”或 “假”）命题。  6. 如图，已知AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3= 。  如果有 两个角是同位角，那么这两个角相等 假 60° 7. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例加 以证明。 （1）如果点P到两定点A，B的距离之和等于A，B之间的距离，那么点P是AB的中点。 【答案】（1）假命题。反例：如果点P到两定点A，B的距离之和等于 A，B之间的距离，那么点P可以是线段AB的一个三等分点，不一定是AB 的中点。 （2）若∠AOB=2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线。 【答案】（2）假命题。反例：若OC在∠AOB的外面，∠AOB=2∠AOC，则OC不是∠AOB的平分线。 （3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除。 【答案】（3）假命题。反例：2能被2整除，但2不能被4整除。 8. 已知AD是△ABC的角平分线（∠ACB > ∠B），P是射线AD上一点，过点P作EF ⊥ AD，分别交射线AB，AC于点E，F，交直线BC于点M。 （1）如图1，∠ACB=90°，求证：∠M=∠BAD。 【答案】（1）∵EF⊥AD，∴∠APF=∠MCF=90°。∵∠AFP=∠MFC，∴∠M=∠PAF。∵∠BAD=∠CAD，∴∠M=∠BAD。 （2）如图2，∠ACB为钝角，点P在AD的延长线上，连结BP，CP，BP平分∠EBC，CP平分∠BCF，∠BPD=50°，∠CPD=21°，求∠M的度数。 【答案】（2）∵∠BPD=50°，∠CPD=21°，∴∠BPC=71°。 ∴∠PBC+∠PCB=109°。∵∠BCF=2∠PCB，∠EBC=2∠PBC， ∴∠EBC+∠BCF=218°。∴∠ABC+∠ACB=360°-218°=142°。∴∠BAC=180°-142°=38°。∴∠CAD=19°。∴∠DCP=∠FCP=∠CPD+∠CAD=40°。 ∴∠MDP=∠CPD+∠DCP=61°。∵EF⊥AP，∴∠MPD=90°。∴∠M=90°-61°=29°。 9. 下列命题中，属于真命题的是（　B　）。 A. 若a2=b2，则a=b B. 4的平方根是 ± 2 C. 两个锐角之和一定是钝角 D. 相等的两个角是对顶角 B 10. 如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（　C　）。 A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° C 11. 如图，AB ⊥ AC，CD，BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG ⊥ BG，有下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°。其中正确的结论是（　C　）。 A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④ C 12. 如图，把一张三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后，3个顶点不 重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 。  360° 13. 如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截。请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM=∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出正确的命题。 （1）请按照“∵ 　　　　， 　　　　，∴ 　　　　”的形式，写出所有正 确的命题。  【答案】（1）命题1：∵AB∥CD，AM∥EN， ∴∠BAM=∠CEN。 命题2：∵AB∥CD，∠BAM=∠CEN，∴AM∥EN。 命题3：∵AM∥EN，∠BAM=∠CEN，∴AB∥CD。 （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程。 【答案】（2）证明命题1：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CEA。 ∵AM∥EN，∴∠3=∠4。∴∠BAE-∠3=∠CEA-∠4，即∠BAM=∠CEN。（答案不唯一） 14. 在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2-6n的值都是负数。于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-6n的值都是负数。小明的猜想正确 吗？请简要说明你的理由。 【答案】不正确。 证法一：（举反例）例如：当n=7时，n2-6n=7>0； 证法二：n2-6n=n（n-6），当n≥6时，n2-6n≥0。 15. 探究发现。 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和。那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种 数量关系呢？ 如图1，∠FDC，∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为 　　　　　　　　　　。  探究二：在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，设∠A=α，∠D=β。 （1）如图2，若α+β > 180°，求∠F。（用α，β表示） 【答案】探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A 探究二：（1）由四边形内角和定理得∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC。∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°。由三角形的外 角性质得∠FCE=∠F+∠FBC。∵BF，CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠FBC=（α+β）-90°。 （2）如图3，若α+β < 180°，请在图中画出∠F，则∠F= 　　 　　。（用α，β表示）  【答案】（2）图略　90°-（α+β） （3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值；如不一定，直接指出 α，β满足什么条件时，不存在∠F。 【答案】（3）∠F不一定存在，当α+β=180°时，∠F=0°，不存在。 1. 【重庆】下列命题中，属于真命题的是（　A　）。 A. 如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0 B. 如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D. 如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0 A 2. 【青海】一副直角三角尺按如图的方式摆放在一起，其中∠E=90°， ∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（　C　）。 A. 150° B. 180° C. 210° D. 270° C 3. 【庆阳】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命 题：①如果a∥b，a ⊥ c，那么b ⊥ c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b ⊥ a，c ⊥ a，那么b ⊥ c；④如果b ⊥ a，c ⊥ a，那么b∥c。其中是真命题的是 。（填写所有真命题的序号）  ①②④ 4. 三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特 征三角形”，其中α称为“特征角”。 （1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个三角形的最小内 角的度数。 【答案】设三角形的三个内角为α，β，γ。 （1）∵α=2β，且α+β+γ=180°，∴当α=100°时，β=50°，γ=30°。 ∴这个“特征三角形”的最小内角的度数是30°。 （2）是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明；若不 存在，请说明理由。 【答案】（2）不存在。理由如下：∵α=2β，且α+β+γ=180°，∴当α=120°时，β=60°，γ=0°，此时不能构成三角形。∴不存在“特征角”为120°的三角形。 1. 如图，△ABC内有三个点D，E，F，分别以A，B，C，D，E，F六点为顶点画三角形，若每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，则这些三角形的所有内角之和为（　C　）。 A. 360° B. 900° C. 1260° D. 1440° C 2. 如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平 面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1= °。  30 3. （1）阅读理解：如图1是二环三角形， 可得=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°。 理由：连结A1A4。∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°， ∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°， 又∵∠A1OA4=∠A5OA6，∴∠1+∠2=∠A5+∠A6。 ∵∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°， ∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°，即S=360°。 【答案】（1）如图，可得 S=∠3+∠A2+…+∠A8=∠3+∠A2+ …+∠4+∠M+∠1+∠2=（6-2）×180°=720°。 （2）延伸探究： ①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°， 请你加以证明。 ②如图3是二环五边形，可得S= 　　　　，请你根据以上的规律直接写 出二环n边形（n ≥ 3，且为整数）中，S= 　　 　　。（用含n的代数式 表示最后的结果）  【答案】（2）1080°　360°（n-2） $