第十一讲 不等式（组）的应用专题复习培优课件 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

第十一讲 不等式（组）的应用 重点分析： 1. 不等式（组）的应用类似于方程（组）的应用，主要是等量关系 和不等量关系的区别，不等式（组）的应用在于找不等量关系，所以要 注意题中类似于“至少”“最多”“不少于”“不超过”“不低于”“不高于”等表示 不等式的关键词以及一些隐性的不等式关系。 2. 列不等式（组）解应用题的一般步骤与方程（组）类似，即分为 审、设、列、解、验、答六个步骤，解题关键在于审题，找出不等关 系。检验也非常重要，因为不等式组的解一般不唯一，所以最后对解要 验证其合理性。 难点分析： 1. 由于不等式组中不等式的个数不确定，所以用不等式组解决实际 问题时一定要将题中的不等关系全部找出，特别是一些隐藏的不等关 系，如实际数据的非负性等。 2. 不等式（组）一般只涉及一个未知数，所以列不等式（组）解应 用题时只设一个未知数，然后将其他的未知数通过等量关系用代数式表 示出来，所以解题时除了考虑不等关系还需要考虑等量关系，并且不混 淆，这是不等式（组）应用的难点。 　某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品 积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，那么最多可以打几折？ 　 =利润率，当商品打x折后，售价即为1200 × ，根据题意可列出不等式，解不等式即可。 　设可以打x折，由题意可得 ≥ 5%，解得x ≥ 7。 ∴最多可以打七折。 　本题主要考查利润率问题，关键是把实际问题抽象到数学 问题中来，利用不等式进行解答。本题的不等关系为：利润率不低于 5%。 　注意打x折表示的折扣率为，如“打七折”表示原价的或 70%，所以设打x折后单价应乘而不是乘x。 　某校组织学生乘汽车前往自然保护区野营。从学校出发后，汽车 先以60 km/h的速度在平路上行驶，后又以30 km/h的速度爬坡到达目的 地；返回时，汽车沿原路线先以40 km/h的速度下坡，后又以60 km/h的 速度在平路上行驶回到学校。 （1）用含x，y的代数式填表： 速度（km/h） 时间（h） 路程（km） 前往 平路 60 x 上坡 30 y 返回 平路 60 下坡 40 （2）已知汽车从学校出发到达目的地共用时5 h。 ①若汽车在返回时共用时4 h，求（1）的表格中的x，y的值。 ②若学校与目的地之间的距离不超过180 km，请围绕“汽车从学校出发 到到达目的地”这一过程中汽车行驶的“时间”或“路程”，提出一个能用一 元一次不等式解决的问题，并写出解答过程。 　（1）根据时间=即可得到结论。（2）①根据题意列 方程组即可得到结论。②根据题意列不等式即可得到结论。 　（1）　x　　y （2） ①根据题意得解得 ②例如：平路的长度最多为多少？ 根据题意得x+ ≤ 180，解得x ≤ 60。∴平路的长度最多为60 km。 　本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应 用，正确理解题意是解题的关键。 　注意题（2）第①问中是利用题中的等量关系列出方程 组，不是列不等式，所以在综合应用问题中，要分清等量关系和不等关 系，合理应用方程（组）或不等式。 　输入x，按如图的程序进行运算： 规定：程序运行到“判断结果是否大于313”记为一次运算。若输入x后程 序运算3次停止，则x的取值范围是 　　　　。  　根据题意得出第一次输出的数为5x-2，第二次输出的数为5 （5x-2）-2=25x-12，第三次输出的数为5［5（5x-2）-2］-2=125x-62，根据题意得出不等式组，求出不等式组的解集即可。 　第一次输出的数为5x-2，第二次输出的数为5（5x-2）-2=25x-12，第三次输出的数为5［5（5x-2）-2］-2=125x-62。由题意得解得3 < x ≤ 13。故答案为：3 < x ≤ 13。 　本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是 能得出关于x的不等式组，题目比较典型。 　 本题的难点是将问题转化为不等式组，重点要考虑两方 面：一是第二次运算结果不超过313，二是第三次运算结果超过313，两 方面缺一不可。 　小王是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”。他准备购置80只相 同规格的网箱，养殖A，B两种淡水鱼（两种鱼不能混养）。计划用于养鱼的总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元。设他用x只网箱养殖A种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A，B两种淡水鱼所需投入及产量情况如下表： 项目类 别 鱼苗投资 （百元） 饲料支出 （百元） 收获成品鱼 （kg） 成品鱼价格（百 元/kg） A种鱼 2.3 3 100 0.1 B种鱼 4 5.5 55 0.4 （1）小王有哪几种养殖方案？ （2）哪种养殖方案获得的利润最大？ （3）根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变 化，A种鱼价格上涨a%（0 < a < 50），B种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？（利润=收入-支出，收入指成品鱼收 益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出） 　（1）养A种鱼的支出与B种鱼的支出之和只要大于等于5.8 万元并小于等于6万元就可以（除去购置网箱等基础建设投入），列出 不等式组即可求解。（2）分别列举出每种方式所获得的利润，再比较 即可。（3）由于B种鱼的价格已经固定，我们只要求出当a取什么值时 利润相等即可求解。 　（1）设小王用x只网箱养殖A种淡水鱼。 由题意得解得 又∵x为整数，∴39 ≤ x ≤ 42。∴x=39，40，41，42。 ∴小王有以下4种养殖方案：①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼 41箱；②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；③养殖A种淡 水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种 淡水鱼38箱。 （2）1箱A种鱼的利润=100 × 0.1-（2.3+3）=4.7（百元），1箱B种鱼的利润=55 × 0.4-（4+5.5）=12.5（百元）。 四种养殖方案所获得的利润分别为：①4.7 × 39+12.5 × 41-120=575.8 （百元）；②4.7 × 40+12.5 × 40-120=568（百元）；③4.7 × 41+12.5 × 39-120=560.2（百元）；④4.7 × 42+12.5 × 38-120=552.4（百元）。 ∴养殖A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大。 （3）价格变动后，1箱A种鱼的利润=100 × 0.1 × （1+a%）-（2.3+3）=（4.7+0.1a）（百元），1箱B种鱼的利润=55 × 0.4 × （1-20%）-（4+5.5）=8.1（百元）。 设A，B两种鱼上市时利润相等，则有4.7+0.1a=8.1，解得a=34。 由此可见，当a=34时，4种方案利润相等；当34 < a < 50时，第④种方案利润最大；当0 < a < 34时，第①种方案利润最大。 　本题重点考查一元一次不等式及不等式组的应用，题 （3）其实也是列一元一次不等式解决问题，题中数量关系比较复杂时 要注意理清各变量之间的等量或不等量关系。 　解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到 所求的量之间的等量关系，再用列举法一一列举后比较即可。 　用水清洗一堆青菜上残留的农药，对用水清洗一次的效果作如下 规定：用1桶水可洗掉青菜上残留农药的，用水越多洗掉的农药量也越 多，但总还有农药残留在青菜上。设用x桶的水清洗一次后，青菜上残 留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为y。 （1）试解释x=0时，y=1的实际意义。 （2）设当x取x1，x2时对应的y值分别为y1，y2，如果x1 > x2 > 1，试比较 y1，y2，的大小关系（直接写出结论）。 （3）设y=，现有a（a > 0）桶水，可以清洗一次，也可以把水平均 分成2份后清洗两次，试问：用哪种方案清洗后青菜上残留的农药量比 较少？请说明理由。 　 （1）x为0时，根据实际可知，农药没有被清洗。（2）直 接根据题意解答。（3）分别把对应的水桶数代入式子，比较两个式子 的大小即可。 　（1）x=0时，y=1的实际意义为：当不清洗时，农药的含 量最大，看作是单位1。 （2）根据题意可知x1 > x2 > 1时，y1 < y2 < 。 （3）若是一次清洗，则农药量y=。若分为两次清洗，则第一次清 洗后农药量y===，第二次清洗后农药量y==。若令 > ，则a > 2。 ∴当0 < a < 2时，一次清洗青菜后残留的农药量较少。当a=2时，两种方案具有相同效果。当a > 2时，平均分成两份后清洗青菜上残留的农药量较少。 　本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与 数学思想联系起来，正确理解题意列出代数式，再利用等式及不等式的 性质确定不等关系式即可求解。 　第二次清洗后农药的残留量是在第一次清洗的基础上减少 的，所以第二次清洗后“y= × 第一次清洗后的农药残留量”，注意 不要漏乘“第一次清洗后的农药残留量”。 1. 若一个三角形的一边长是（x+3）cm，这边上的高是5 cm，它的面积 不大于20 cm2，则（　B　）。 A. x > 5 B. -3 < x ≤ 5 C. x ≥-3 D. x ≤ 5 B 2. 如图的宣传单为某印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，小 兰打算请该印刷公司设计一款卡片并印刷，她再将卡片以每张15元 的价格贩售。若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印 刷费，则她至少需印（　C　）张卡片，才能使卡片全数售出后的利 润超过成本的2成。 A. 112 B. 121 C. 134 D. 143 C 3. 小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元， 乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买 瓶甲饮料。  4. 某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出 两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销 售；第二种：全部按原价的八折销售。你在购买相同数量肥皂的情况 下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买 ⁠块 肥皂。  3 4 5. 某工程的施工费用不得超过190万元。该工程若由甲公司承担，需用 20天，每天付费10万元；若由乙公司承担，需用30天，每天付费6万 元。为尽可能缩短工期，决定由甲公司先工作m天，余下的工程由乙公 司完成，那么m最大为 ，此时完成工程共需 天。  10 25 6. 【辽阳】青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买 一些米面。已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1 袋面粉，共需165元。 （1）求每袋大米和面粉的价格。 【答案】（1）设每袋大米x元，每袋面粉y元。 根据题意得 ∴每袋大米60元，每袋面粉45元。 （2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140 元，那么至少购买多少袋面粉？ 【答案】（2）设购买面粉a袋，则购买大米（40-a）袋。 根据题意得60（40-a）+45a≤2140， 解得a≥17。∵a为整数，∴至少购买18袋面粉。 7. 某市居民用电的价格实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量 电费价格（单位：元/千瓦 时） 不超过200千瓦时的部分 a 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的 部分 b 超过400千瓦时的部分 0.92 （1）已知李叔家四月份用电286千瓦时，缴纳电费178.76元；五月份用 电316千瓦时，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a， b的值。 【答案】（1）根据题意得 （2）六月份是用电高峰期，在（1）的条件下，李叔计划六月份电费支 出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少千瓦时？ 【答案】（2）设李叔家六月份用电x千瓦时。 根据题意得200×0.61+200×0.66+0.92（x-400）≤300，解得x≤450。 ∴李叔家六月份最多可用电450千瓦时。 8. 某商店第一次用150元购进2B铅笔若干支，第二次又用150元购进该款 铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了 30支。 （1）求第一次每支铅笔的进价。 【答案】（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意得 =30，解得x=1，经检验：x=1是原分式方程的解。∴第一次每支铅 笔的进价为1元。 （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于 105元，则每支铅笔售价至少是多少元？ 【答案】（2）设售价为y元，根据题意列不等式为： 元。 9. 已知a，b是实数，关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图，则这 个不等式组是（　D　）。 A. B. C. D. D 10. 如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入， 铁钉所受的阻力也越来越大。当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次 钉入木块的铁钉长度是前一次的。已知这根铁钉被敲击3次后全部进入 木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是a （cm），若铁钉总长度为6 cm，则a的取值范围是（　C　）。 A. ≤ a ≤ B. < a ≤ C. ≤ a < D. < a < C 11. 对非负数x“四舍五入”到个位的值记为【x】，即当n为非负整数时， 若n- ≤ x < n+，则【x】=n。如【0.24】=0，【4.68】=5。 给出下列关于【x】的结论：①【2.393】=2；②【3x】=3【x】；③若【x-1】=5，则实数x的取值范围是11 ≤ x < 13；④当x ≥ 0，m为非负整数时，有【m+2027x】=m+【2027x】；⑤【x+y】=【x】+【y】。其中正确的结论有 （填写所有正确的序号）。  12. 若0 ≤ a-b ≤ 1，1 ≤ a+b ≤ 4，则a-2b达到最大值时，8a+2024b的值等于 ⁠。 ①③④ 8 13. 现有一批设备需由M地运往相距210 km的N地，甲、乙两车分别以80 km/h和60 km/h的速度同时出发，甲车在距N地90 km的A处发现有部分 设备在某处丢失（设为B），立即以原速返回到B处取设备，为了还能比 乙车提前到达N地，开始加速以100 km/h的速度向N地前进，设AB的距 离为a（km）。 （1）写出甲车将设备从M地运到N地所经过的路程（用含a的代数式表 示）。 【答案】（1）（210+2a） km。 （2）若甲车还能比乙车提前到达N地，求a的取值范围。（不考虑其他 因素） 【答案】（2），解得a<。 又∵a>0，∴0<a<。 14. 为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个 阶梯，价格如下表所示： 类别 月用水量 （立方米） 供水价格 （元/立方 米） 污水处理费 （元/立方 米） 居民生活用水 阶梯一 0~18（含 18） 1.90 1.00 阶梯二 18~25（含 25） 2.85 阶梯三 25以上 5.70 （注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费） （1）当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是 　　　　元/立 方米。  【答案】（1）2.90 （2）4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为18 × （1.90+1.00） +2 × （2.85+1.00）=59.90（元），预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费。 【答案】（2）18×（1.90+1.00）+（25-18）×（2.85+1.00）+（30-25）×（5.70+1.00）=112.65（元）。∴小明家6月份的水费为112.65元。 （3）为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的 1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提 出建议。 【答案】（3）小明家每月用水费用应不超过7530×1%=75.3（元）。设 小明家每月用水量为x立方米。①当x≤18时，用水费用为（1.90+1.00） x，当x为18时，用水费用为52.20元。②当18<x≤25时，用水费用为（x-18）×（2.85+1.00）+18×（1.90+1.00），当x=25时，用水费用为79.15元，超出预计费用，∴小明家每月用水量不能超过25立方米，即（x-18）×（2.85+1.00）+18×（1.90+1.00）≤75.3，解得x≤24。 综上所述，建议小明家每月用水量不超过24立方米。 1. 【齐齐哈尔】为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球 共50个，购买资金不超过3000元。若每个篮球80元，每个足球50元，则 篮球最多可购买（　A　）。 A. 16个 B. 17个 C. 33个 D. 34个 A 2. 【永州】定义［x］为不超过x的最大整数，如：［3.6］=3，［0.6］ =0，［-3.6］=- 4。对于任意实数x，下列式子中错误的是（　C　）。 A. ［x］=x（x为整数） B. 0 ≤ x-［x］ < 1 C. ［x+y］ ≤ ［x］+［y］ D. ［n+x］=n+［x］（n为整数） C 3. 【宜宾】某化工厂现有A种原料52 kg，B种原料64 kg，现用这些原料 生产甲、乙两种产品共20件。已知生产1件甲种产品需要A种原料3 kg， B种原料2 kg；生产1件乙种产品需要A种原料2 kg，B种原料4 kg，则生产 方案的种数为（　B　）。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 B 4. 【烟台】运行程序如图，从“输入实数x”到“判断结果是否小于18”为一 次程序操作。若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围 是 ⁠。 x<8 5. 【济宁】“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表所示： 村庄 清理养鱼网箱人数 清理捕鱼网箱人数 总支出 （元） A 15 9 57000 B 10 16 68000 （1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕 鱼网箱的人均支出费用。 【答案】（1）设清理养鱼网箱的人均支出费用为x元，清理捕鱼网箱的 人均支出费用为y元。根据题意得 ∴清理养鱼网箱的人均支出费用为2000元，清理捕鱼网箱的 人均支出费用为3000元。 （2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人 共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养 鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？ 【答案】（2）设m人清理养鱼网箱，则（40-m）人清理捕鱼网箱。根 据题意得解得18≤m<20。∵m为整 数，∴m=18或m=19。∴分配清理人员方案有两种： 方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱。 方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱。 1. 某商品的标价比成本价高m%，现根据市场需要，该商品需降价n%出 售。为了使获利不低于10%，n应满足（　B　）。 A. n ≤ B. n ≤ C. n ≤ D. n ≤ B 2. 如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点处，现顺时针方向移动这 枚棋子10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点。如第一次移动1个 顶点，棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D处…… 按照这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能停到的顶点是 （　A　）。 A. C，E，F B. C，E，G C. C，E D. E，F A 3. 在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k ≥ 2时，xk=xk-1+1- （取整符号［a］表示不超过实数a的最大整数，例如 ［2.6］=2，［0.2］=0），则x2024等于（　D　）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 4. 某赛季足球比赛计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得 0分。一球队打完15场，积分33分。若不考虑顺序，该队胜、负、平的 情况共有几种？ 【答案】设该球队胜x场，平y场，负z场，则x，y，z是非负整数，且满 足 ∴9≤x≤11。当x=9时，y=6，z=0；当x=10时，y=3，z=2；当x=11时，y=0，z=4。∴比赛结果是：胜9场、平6场或是胜10场、平3场、负2场或是胜11场、负4场，共3种。 $