2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解， 故有，解得或.故选：A 2．（23-24高二上·陕西·期中）（多选）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由已知抛物线方程为，其对称轴为， 当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为，此时与抛物线只有一个交点成立， 当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在， 设直线方程为， 联立直线与抛物线，得， 由直线与抛物线只有一个交点，可知， 解得或， 所以直线方程为或，即，或， 综上所述：直线方程为或，或，故选：ABC. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点.故选：C. 4．已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 【答案】(1)，左焦点；(2)证明见解析 【解析】（1）由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，左焦点为. （2）由椭圆，可得，即 当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切； 当时，联立方程组，可得， 即， 则， 所以直线与椭圆相切， 综上可得，直线与椭圆相切. 题型二 圆锥曲线的弦长问题 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，可得，解得， 故椭圆的方程为：; （2）依题意，直线的方程为：， 代入椭圆方程，整理得：， 设，则由韦达定理，， 则 2．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1)；(2)12 【解析】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 3．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设点，点，线段所在的直线方程的斜率为k 1°当斜率k不存在时，线段所在的直线方程为， 解方程得 所以，或， 此时，线段的中点坐标为，不合题意； 2°当斜率k存在时，，在抛物线上，，． 两式相减，得． ∵点是的中点，∴，即 ， 直线的方程为，即； 综上，线段所在的直线方程为. （2）由（1）知，直线方程为：，与抛物线方程联立得： 消元得， ，， ． 题型三 圆锥曲线的最值及范围问题 1．（24-25高二上·浙江衢州·期中）椭圆，动直线与椭圆相切于点，且点在第一象限． (1)若直线的斜率为．求点的坐标； (2)若过原点的直线与垂直，垂足为，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设直线：，代入椭圆，得： 动直线与椭圆相切于点． 又因为点在第一象限，． 方程的解为，得 （2）如图： 设直线交轴于 因为直线与垂直，．联立与，得 将代入椭圆 得 动直线与椭圆相切于点得 即 当且仅当，即时取等号．面积的最大值为． 2．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图， 由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 3．（23-24高三下·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1)；(2)16 【解析】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 题型四 圆锥曲线的定值问题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以，所以， 又，解得， 所以椭圆的方程为. （2），当直线与轴重合时，的方程为， 此时不妨令，则； 当直线与轴不重合时，的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4.    2．（24-25高二上·陕西西安·月考）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)为定值，且定值为 【解析】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值． 3．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知直线与抛物线相切，且切点为. (1)求直线的斜率的值； (2)如图，是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为定值，求出定值，若不是请说明理由 【答案】(1)；(2)是， 【解析】（1）显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即，解得 （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为，与联立，消去x整理得， 所以，得，从而， 将换成，同理可得，所以 题型五 圆锥曲线的定点问题 1．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】(1)；(2)直线恒过轴上的一个定点 【解析】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以，直线恒过轴上的定点. 2．（23-24高二上·全国·期末）已知双曲线C：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)点M，N在C的右支上，若直线AM与AN的斜率的乘积为-9，求证：直线MN过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）双曲线C：的右顶点为，得，设其中一个焦点， 双曲线一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离， 所以双曲线C的方程为. （2）设直线MN方程为，. 由得，， 且， . 因为，即， 整理得， 所以·， 因为直线MN不过，所以，所以， ，解得， 所以直线MN恒过定点. 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线过定点； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）抛物线，, 其焦点为，准线方程为， 可得，且， 解得，或（舍去），， 则抛物线的方程为； （2）如图，设直线的方程为，， 联立，可得， 则，又，所以， 由，可得即，解得，或（舍去）， 所以直线恒过定点. 题型六 圆锥曲线的定直线问题 1．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)点D在直线上． 【解析】（1）设，，， 则， 则，解得（舍去）， 则，① 代入点得，② 联立①②，解得，， 故椭圆C的标准方程为； （2）依题意，，， 设直线，联立， 整理得， ； 设，， 则，， 所以. 可设直线，直线， 法一：联立 得 ， 故点D在直线上． 法二：故， 解得， 故点D在直线上． 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为. （2）易知为双曲线的右焦点，如下图所示： 由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，， 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得， 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上. 3．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或；(2)证明见解析 【解析】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题设，令，联立抛物线得，显然， 所以，，则， 所以，可得， 又， 故线段中点的横坐标为4.故选：B 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆和双曲线的左、右顶点为，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，点,直线的方程为， 将其代入椭圆方程，整理得：, 依题意，,即得, 再将代入双曲线方程，整理得：， 依题意，,即得， 由，可知是的中点，则， 即，解得.故选：B. 3．（24-25高二上·福建莆田·期中）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．当时，的面积为 C．若直线经过点，则的最小值是3 D．若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BCD 【解析】A，假设直线经过点，由题意可知椭圆的长轴长，左焦点， 由椭圆的定义可知，故A错误； B，设，由椭圆定义可得， 在中由余弦定理可得， 把代入上式并整理可得，解得， 所以，故B正确； C，若的斜率存在，不妨设其方程为：， 联立椭圆方程可得， ， 则， 所以， 若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得， 显然当的斜率不存在时，，故C正确； 设， 易知，可得，， 若中点为，则， 所以直线方程为，即，故D正确；故选：BCD 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为.设过且倾斜角为的直线与交于，两点，过作，，垂足分别为和，，与轴分别交于点，，与交于点，则（    ） A．为的中点 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设准线与轴交于，不妨设在轴上方，在轴下方，如图所示， 对于A：因为，所以为中点， 因为，所以为的中点，故正确； 对于B：因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 由A选项，同理可证为的中点， 又，所以，所以，故正确； 对于C：设，，联立，解得或， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即，， 即， 联立，解得，所以且在准线上， 所以，所以，故错误； 对于D：因为，所以，故正确； 故选：ABD. 5．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则 ． 【答案】 【解析】设椭圆的标准方程为，点，， 则代入中，得① 又因为，即，即② 比较得，， 即，， 又，即，解得． 故答案为： 6．（24-25高二上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为： 7．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西·期中）（多选）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 4．已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 题型二 圆锥曲线的弦长问题 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长度. 2．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 3．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 题型三 圆锥曲线的最值及范围问题 1．（24-25高二上·浙江衢州·期中）椭圆，动直线与椭圆相切于点，且点在第一象限． (1)若直线的斜率为．求点的坐标； (2)若过原点的直线与垂直，垂足为，求面积的最大值． 2．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 3．（23-24高三下·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 题型四 圆锥曲线的定值问题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 2．（24-25高二上·陕西西安·月考）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 3．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知直线与抛物线相切，且切点为. (1)求直线的斜率的值； (2)如图，是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为定值，求出定值，若不是请说明理由 题型五 圆锥曲线的定点问题 1．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 2．（23-24高二上·全国·期末）已知双曲线C：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)点M，N在C的右支上，若直线AM与AN的斜率的乘积为-9，求证：直线MN过定点. 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线过定点； 题型六 圆锥曲线的定直线问题 1．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 3．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆和双曲线的左、右顶点为，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建莆田·期中）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．当时，的面积为 C．若直线经过点，则的最小值是3 D．若线段中点为，则直线的方程为 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为.设过且倾斜角为的直线与交于，两点，过作，，垂足分别为和，，与轴分别交于点，，与交于点，则（    ） A．为的中点 B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则 ． 6．（24-25高二上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 7．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$