九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（华东师大版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【华东师大版】 时间：120分钟 满分：150分 测试范围：第21章 二次根式~第23章 图形的相似 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 6．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 7．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·重庆大足·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·江苏南京·三模）如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD．对角线BD交CM于点N，现有以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 13．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 14．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 15．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，已知，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足点E在边上沿从B到C的方向运动（不与B，C两点重合），且始终经过点A，与交于M点．在运动过程中，当重叠部分为等腰三角形时，的长为 ． 16．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17．（8分）（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 18．（8分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 19．（8分）（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 20．（8分）（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， (1)填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； (2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； (3)如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 21．（8分）（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 22．（10分）（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 23．（10分）（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 24．（12分）（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 25．（14分）（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式，得出，再进行计算判断即可． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以且， ∴， 当时，，故选项A不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，由题意可得，然后解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作延长线的垂线，垂足为，证明，求出，证明，求出，则，再由求解即可． 【详解】解：过点作延长线的垂线，垂足为，则 ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明： ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的另一边长为， ∵， ∴剪下的正方形的最大面积是， 故选：． 5．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 6．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点D，连接，可证明得到，进一步可证明，得到，进而得到，证当时，的长度最短，求出，得到，则，即可得到． 【详解】解：作于点D，连接， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动时，的度数不变， ∴当时，的长度最短， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形推出点H的轨迹是解题的关键． 7．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 8．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接交于点，由正方形的性质得，，，，由，得，由证明，得，推导出，则，可证明，进而证明，则，，所以，则四边形是正方形，所以，于是得到结论． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，且，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级下·重庆大足·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ② ，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 10．（2025·江苏南京·三模）如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD．对角线BD交CM于点N，现有以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A.先根据等边三角形得∠CMB=60°，再根据等腰三角形的性质得∠AMB=∠CMD=75°，最后根据周角的定义即可得出结论； B.证明△MND∽△MDC，列比例式即可得出结论； C.过N作NH⊥CD于H，设NH=x，根据平行线分线段成比例定理即可得出结论； D.过M作MG⊥AB于G，设MG=x，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC、AG、BG的长，根据面积公式计算即可得出结论． 【详解】解：∵△MBC是等边三角形， ∴∠MBC=∠MCB=∠CMB=60°，BM=BC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，AB=BC， ∴∠ABM=∠DCM=30°， ∵AB=BM， ∴， 同理∠CMD=∠CDM=75°， ∴∠AMD=360°-75°-75°-60°=150°； 故A正确； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC=45°， ∴∠MDN=∠CDM-∠BDC=75°-45°=30°， ∵∠CMD=∠CMD，∠MDN=∠DCM=30°， ∴△MND∽△MDC， ， ∴DM2=MN•MC， ∵∠BAD=∠ADC，∠BAM=∠CDM， ∴∠MAD=∠MDA， ∴MA=DM， ∴MA2=MN•MC， 故B正确； 过N作NH⊥CD于H，设NH=x，如图1所示： 则NH⊥BC，∠NDH=∠DNH=45°， ∴NH=DH=x， ∵∠NCH=30°，∠CHN=90°， ∵NH∥BC， ， 故C不正确； 过M作MG⊥AB于G，如图2所示： 设MG=x， Rt△BGM中，∠GBM=30°， 故D正确； 故答案为：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 13．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 由题易知，结合，得到，即可证得，利用相似的性质可得即可求解． 【详解】，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，已知，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足点E在边上沿从B到C的方向运动（不与B，C两点重合），且始终经过点A，与交于M点．在运动过程中，当重叠部分为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想是解题本题的关键． 分别讨论三种情况，分别利用全等三角形及相似三角形的性质分别求出BE的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，点E与点B重合或点E与点C重合， 当点E与点B重合时，， 当点E与点C重合时，不能构成三角形，不符合题意， 综上所述：的长为1或． 16．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作延长线于点，延长，交于点，通过证明，得出，，设，再证明，再证明，得出，设，则，，，利用，求出，（负值舍），则可求出，，再利用，得，即可求解． 【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点， ，，， ∴， ∴，， 设， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，（负值舍）， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17．（8分）（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，再由同角的余角相等得出，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由正方形的性质可得，，，证明，得出，由同角的余角相等可得，结合角平分线的定义得出，证明，得出，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （2）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （3）先由分母有理化的方法，再由有理数加减运算化简，最后由平方差公式及二次根式性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查分母有理化，涉及分母有理化、平方差公式、二次根式性质化简、二次根式加减运算等知识，理解材料中的分母有理化方法、掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 19．（8分）（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)无整数根，见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根，理由如下： 假设有整数根， 若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3）解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，    ∴，， ∴． 20．（8分）（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， (1)填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； (2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； (3)如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的实际应用，算术平方根的实际应用： （1）根据已有等式进行推导即可得出结果； （2）根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去，减去，再加上，进行求解即可； （3）设长方形的长为，宽为，列出方程求出长和宽，比较宽与面积为的正方形的边长大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴，； （2）由（1）可得：，，， ∴， ∵ ∴大正方形的边长为：， ∴空白部分的面积； （3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： 设长方形的长为，宽为，则：， ∴， ∴长方形的宽为：， ∵， ∴， ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 21．（8分）（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 22．（10分）（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 23．（10分）（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 24．（12分）（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点P、Q，连接交于点F，连接，，得，根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点J，K，连接交于点G，连接即可（的面积的面积）． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，线段即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 25．（14分）（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $