专题06 圆中的重要模型之辅助线八大模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册

专题06 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D；推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【详解】解：如图：连接，∵，∴， ∵，∴．故答案为：． 例2（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 【答案】C 【详解】解：连接，，如下图,，的半径为4，即． ，，， 是直角三角形，即，劣弧的长为．故选：C． 例3（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，的直径，与弦交于点E，，，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，连接、， ，，，， ，，， ，，， ，，， ，阴影部分的周长是．故答案为． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 【答案】 【详解】解： 过点作，连接 ∵，，∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线，∴， 在中，，设的半径是，则， 在中，，∴，解得，故答案为：． 例2（2025·湖北·三模）如图，为的弦，．若点C为上一点，且，则的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：连接，，作，垂足为H， 因为，，， 在等腰中，，，， 则的长为． 例3（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，∴，， ∴，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∴图中阴影部分的面积是．故选：B． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·吉林长春·二模）如图，点A，B，C，D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ，，， ，，故选：． 例2（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 【答案】D 【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接， ∵是的内接四边形，∴， ∵，，∴，∴．故选：D． 例3（2025·安徽滁州·三模）如图，内接于，．若 ，则弧的长为（   ） A．π B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴弧的长为，故选：A． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，四边形内接于，，， ，，， 为直径，，； 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的直径，∴，即． ∵，∴，∴， ∵，∴的半径为1，∴劣弧的长．即劣弧的长为，故答案为：． 例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图： ∵是的直径，∴，∵，，∴， 在中，，∴，．故选：D． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    【答案】 【详解】解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，    由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为，故答案为：． 例2（2025·成都·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【详解】连接，∵，∴是直径，根据同弧对的圆周角相等得， ∵，∴，，即圆的半径为2， ∴．故答案为． 例3（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，连接，，交于O点， 由条件可知是直径，， 四边形是矩形，， ，，∴是等边三角形，， 门洞的圆弧所对的圆心角为， 改建后门洞的圆弧长是，故答案为：． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是 【答案】/29度 【详解】解：如图，连接， ∵过点的切线交的延长线于点，∴， ∴，∴， ∴．故答案为：． 例2（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，∴，∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴, ∴， ∵，∴解得（负值已舍去） ∴，∴ 故选：B 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵绳子分别与空竹相切于点C，D，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴弧的长度， ∴图中阴影部分的周长弧的长． 故答案为：． 例4（24-25·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接、，    与的两边分别相切于点、，，，， ，，即， ∴，故选：B． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．(1)求证：直线是的切线；(2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， 且是的半径，∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴，设，∴，解得， ∵，∴的长为：． 例2（2025·广西南宁·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H．(1)求证：为的切线；(2)若，的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中位线，∴，，∴， 为的半径，为的切线； （2）解：过点O作于点E，如图．，∴， ∵，∴为等腰直角三角形．∴，，∴，∴， ，，∴，∴四边形为矩形，∴． 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．(1)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 【详解】（1）方法一：证明：过点作于点，，， 与相切于点，，， ，，，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 方法二：证明：过点作于点，与相切于点，， ，是的平分线，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2025·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，根据切线长定理，得，，， 根据勾股定理，得，整理，得， ∴， 则的面积为，故选：C． 例2（2025·云南红河·九年级统考期末）已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．    【答案】5 【详解】解：如图，连接、、、、、，    ∵的内切圆半径，、、为切点，，   ，  ，   ，，  ，  ，   ，， 即，，故答案为：5． 例3（2025·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      【答案】 【详解】解：如图所示；连接，．    ，，． 是圆的切线，．同理． ．．． 1．（2025·湖南长沙·二模）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 【答案】C 【详解】解：连接，由题意知，交于点C， ∵，∴，在中，∵， ∴，∴．故选：C． 2.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，于点B， ，是等腰直角三角形，，故选： 3.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， ∵点是的内心，∴平分，∵，∴， ∵点是外接圆的圆心，∴， ∵，∴，故选：C． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的直径与弦交于点B，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接∵，∴ ∵∴∵∴ ∵∴．故选：C． 5．（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中，∴ ∵，， ，∴，∴故选：． 6．（2025·湖北·一模）如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，. ∵正五边形 内接于⊙O，∴ ，．故选： B． 7．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 【答案】A 【详解】解：当是锐角三角形时，如图， 已知点O为的外心，连接，，此时是圆心角，是圆周角，且， 即； 当是钝角三角形时，如图， 同样连接，，，此时可得， 则四边形为圆的内接四边形，所以， 总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或．故选：A． 8．（2025·山西长治·二模）将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，， 由题意得，，， ，， ，，，， ，的度数可能为，故选：A． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外接圆，D为的中点，于E，，，则的半径为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：如图：连接、、，在上截取点，使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵D为的中点，∴，∴， ∵，，∴垂直平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴的半径为，故选：A． 10．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，则的长是（  ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：如图：连接，∵是的直径，，∴，， 在中，，∴．故选：C． 11．（2025·河南信阳·三模）如图， 是四边形的外接圆， 直线与相切于点B，，，则 的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接、， ∵，∴，∵，∴， ∵直线与相切于点B，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是四边形的外接圆，∴．故答案为：． 12．（2025·广东梅州·一模）如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：连接，则：， ∵是的直径，∴，∴；故答案为： 13．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴，∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心，∴，∴， ∵，∴，∴，∴的长为：， ∴花窗的周长为：，故答案为：． 14．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则 ° 【答案】62 【详解】解：连接，∵AB是的直径，∴， ，，故答案为：62 15．（2024·黑龙江·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径，∴， ∵,，∴∴，故答案为：． 16．（2025·河北邯郸·三模）如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵，∴， 在中，，∴， ∵，∴， ∴是的中位线，∴，故选：D． 17．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵．∴， ∴，∴弧的长为．故答案为：． 18．（2025·吉林长春·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，    ∵六边形是内接正六边形，∴， ∴，故答案为：． 19．（24-25·福建·九年级校考阶段练习）如图，，，的直径为6．求证：直线是的切线．    【答案】见解析 【详解】解：过点作于点，      ∵，， ∴，∴， ∵的直径为6，∴为的半径，又，∴直线是的切线． 20．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．(1)求证：是半圆O的切线；(2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是半圆O的直径，， ，， ，是半圆O的切线； （2）解：如图，连接，，为等边三角形， ，，，． 21．（2023年辽宁中考数学真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．    (1)求证：是的切线．(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证； （3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解． 【详解】（1）解：连接，∵，∴． ∵平分，∴，∴． ∵，∴， ∴，即，∴是的切线． （2）解：连接，过点O作于点F，∵，∴． ∵，，∴为等边三角形，∴，． ∵，，，∴． ∴．    22．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆O中，弧弧，连接交弦于点C． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点E在圆O上，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过A作，垂足为交于点，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接， ∵，，． （2）证明：连接，，，， ，，， ∵，． （3）解：过O作于于M，连接， 又， ，设，则， ， ，中，由勾股定理得， ，∴四边形是矩形，， 中，由勾股定理得， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D；推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，若，则的度数为 ． 例2（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 例3（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，的直径，与弦交于点E，，，则图中阴影部分的周长为 ． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 例2（2025·湖北·三模）如图，为的弦，．若点C为上一点，且，则的长为 ．（结果保留π） 例3（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·吉林长春·二模）如图，点A，B，C，D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 例3（2025·安徽滁州·三模）如图，内接于，．若 ，则弧的长为（   ） A．π B． C． D． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    例2（2025·成都·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 例3（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是 例2（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 例4（24-25·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．(1)求证：直线是的切线；(2)已知，求的长（结果保留）． 例2（2025·广西南宁·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H．(1)求证：为的切线；(2)若，的直径为8，求的长． 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．(1)求证：是的切线． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2025·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 例2（2025·云南红河·九年级统考期末）已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．    例3（2025·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      1．（2025·湖南长沙·二模）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 2.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的直径与弦交于点B，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·一模）如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 8．（2025·山西长治·二模）将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外接圆，D为的中点，于E，，，则的半径为（    ） A． B． C．5 D． 10．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，则的长是（  ）． A．2 B．3 C．4 D．6 11．（2025·河南信阳·三模）如图， 是四边形的外接圆， 直线与相切于点B，，，则 的度数为 ． 12．（2025·广东梅州·一模）如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是 ． 13．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 14．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则 ° 15．（2024·黑龙江·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 16．（2025·河北邯郸·三模）如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 17．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 18．（2025·吉林长春·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为 ．    19．（24-25·福建·九年级校考阶段练习）如图，，，的直径为6．求证：直线是的切线．    20．（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．(1)求证：是半圆O的切线；(2)当时，求的长． 21．（2023年辽宁中考数学真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．(1)求证：是的切线．(2)若，，求图中阴影部分的面积．    22．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆O中，弧弧，连接交弦于点C． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点E在圆O上，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过A作，垂足为交于点，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $