九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（沪教版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【沪教版】 时间：100分钟 满分：150分 测试范围：第24章 相似三角形~第26章 二次函数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选6题，填空12题，解答7题，满分150分，限时100分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 4．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 5．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    8．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 9．（2025·湖北·模拟预测）如图，在中，，是斜边上的高，将沿直线翻折得到，翻折后和在同一平面内，延长，交于点F．若，，则的长为 ． 10．如图，在中，，点是的重心，连接、，如果，，那么的余切值为 ． 11．（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知正方形边长为，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，，若，则 ． 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，已知，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足点E在边上沿从B到C的方向运动（不与B，C两点重合），且始终经过点A，与交于M点．在运动过程中，当重叠部分为等腰三角形时，的长为 ． 14．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、的线性组合表示 ． 16．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 17．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． 18．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19．（10分）（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 20．（10分）（2025·上海普陀·一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 21．（10分）（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 22．（10分）（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 ，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 23．（12分）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 24．（12分）（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 25．（14分）（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【沪教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，先求出原函数 L 的顶点 A ，再确定关于原点对称的新函数及其顶点 B ，代入到原函数中解出a ，最后计算的距离． 【详解】解：∵函数为， ∴顶点横坐标为，代入得纵坐标， 故顶点为， 关于原点对称后，函数的顶点横坐标为，纵坐标， 故顶点B为． 将代入L的方程得：， 解得：， 当时， ，， 距离为：， 故选：B． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握知识点是解题的关键．设正方形边长为，则，由折叠可知，设，则，再利用勾股定理算出，最后求角的正弦值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵是中点， ∴， 由折叠可知，设，则， 在中，根据勾股定理， 解得， ∴， 故选：B． 3．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上截取连接，延长至H，使连接，可得出，进而推出 得出设则用勾股定理求出由可列方程解出x，即的长，由正切函数，求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：如图所示：在上截取连接，延长至H，使连接， 为正方形外角的平分线， 在和中， 在和中， ∴ 在和中， 设则 在中， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：点在抛物线上， 把代入，得， 解得， 抛物线表达式为． 设（ ）， 点，关于轴对称， ． 过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则． ∴，， ∴，． 四边形周长， ． ∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线． ∴当时，． 故选： ． 5．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接交于点，由正方形的性质得，，，，由，得，由证明，得，推导出，则，可证明，进而证明，则，，所以，则四边形是正方形，所以，于是得到结论． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，且，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 6．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键 ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明 ，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心、向量知识、相似三角形的判定和性质，根据题意得D是的中点，，即可求得和，结合平行得到，有，则即可． 【详解】解：∵点G为的重心， ∴D是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 8．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据二次函数的性质求得对称轴即可，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， ； ， ， ， 抛物线开口向下， 若，对于，都有， 离对称轴的距离大于， 则与的中点在对称轴的右侧， ， 即， 故答案为：1；． 9．（2025·湖北·模拟预测）如图，在中，，是斜边上的高，将沿直线翻折得到，翻折后和在同一平面内，延长，交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接交于点T，作于点P，由翻折得垂直平分，则，，由，得，由，且，求得，，由于点D，得，由，得，则，由勾股定理得，求得，因为，所以，代值计算即可得答案． 【详解】解：连接交于点T，作于点P，则， ∵将沿直线翻折得到， ∴点E与点D关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是斜边上的高， ∴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．如图，在中，，点是的重心，连接、，如果，，那么的余切值为 ． 【答案】 【分析】延长交于，过作于，可证，得，根据为的重心，可知，又因为，可得：，可知，在中利用勾股定理可得：，进而即可求解． 【详解】解：如下图所示，过作于，延长交于点， ，， ， ， ， ， 为的重心， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 11．（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移、中心对称变换，以及抛物线与轴交点问题，熟练掌握抛物线的平移规律、中心对称性质及利用交点求线段长度的方法是解题的关键． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知正方形边长为，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质可得，由旋转得，，，，则，所以，，由，可得，根据勾股定理可得，于是得，则，求得，从而可得，进而可得． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ∴，， ∴， ∵将按逆时针方向旋转得， ∴，，，， ∴，， ∴，、、三点在同一条直线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，已知，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足点E在边上沿从B到C的方向运动（不与B，C两点重合），且始终经过点A，与交于M点．在运动过程中，当重叠部分为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想是解题本题的关键． 分别讨论三种情况，分别利用全等三角形及相似三角形的性质分别求出BE的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，点E与点B重合或点E与点C重合， 当点E与点B重合时，， 当点E与点C重合时，不能构成三角形，不符合题意， 综上所述：的长为1或． 14．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作延长线于点，延长，交于点，通过证明，得出，，设，再证明，再证明，得出，设，则，，，利用，求出，（负值舍），则可求出，，再利用，得，即可求解． 【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点， ，，， ∴， ∴，， 设， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，（负值舍）， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、的线性组合表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性的判定及性质，等腰梯形的性质，等腰梯形的中位线，向量加减运算等，由等腰梯形的性质得 ，由相似三角形的判定及性质，可得，由向量的和差得，即可求解；掌握相似三角形性的判定及性质，等腰梯形的性质，等腰梯形的中位线，向量加减运算，能用向量加减表示出所求向量是解题的关键． 【详解】解： ，， ， 四边形是等腰梯形， 、是中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 16．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 由题易知，结合，得到，即可证得，利用相似的性质可得即可求解． 【详解】，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． 【答案】 4 / 【分析】作，垂足分别为，易得四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出的长，正切的定义求出，勾股定理求出的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则：，， ∴， ∴， ∴在中，，由勾股定理，得：， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或； 故答案为：4，． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 18．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19．（10分）（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 20．（10分）（2025·上海普陀·一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解； （2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 21．（10分）（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，再由同角的余角相等得出，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由正方形的性质可得，，，证明，得出，由同角的余角相等可得，结合角平分线的定义得出，证明，得出，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 ，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这样改造不可行，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，特别是锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的运用，解题的关键是从实际问题中抽象出两个直角三角形和利用公共边建立联系，再通过相应的锐角三角函数求出所需边长，进而判断改造是否可行． （1）在中，利用的正弦函数对边斜边结合已知长和的近似值，求出的长度； （2）先在中，利用的余弦函数邻边斜边求出的长度；再在中，利用的正切函数对边邻边求出的长度；进而计算结合的长度求出最后通过比较与的大小，判断改造是否可行． 【详解】（1）在中， ∴（）， 答：扶梯的高度约为； （2）这样改造不可行，理由如下： 在中， ∴（m）， 在中， ∵， ∴这样改造不可行． 23．（12分）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线x轴有且只有一个交点得到，得到，即可得到答案； （2）①求出直线的解析式为，求出抛物线，由N点为延长线和抛物线的交点，则，解得，即可得到答案；②求出顶点，点K的坐标为，，用勾股定理求出，即可得到结论； （3）求出，连接，由， 由垂直平分交于点，F点横坐标点横坐标，进一步得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：抛物线（n为常数）与x轴有且只有一个交点， 一元二次方程只有一个实数根， 即， 解得， ． （2）①由（1）得，抛物线， 则点M的坐标为，且， 设直线的解析式为， 将M点坐标代入可得，， 即直线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得， ， ， 即抛物线， N点为延长线和抛物线的交点， ， 解得， 点在的延长线上， 不符合题意， ， ， ②四边形是菱形，理由如下： 抛物线的顶点， 当时，，解得或 ∴点K的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由解得或 ∴点， ∵过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R， ∴ 解得或， ∴, ∴，，，， ∴ 四边形是菱形； （3）由题可知，点在线段的垂直平分线上， ， 解得， 即， 连接， ， 根据二次函数性质可得，两点关于对称， 即顶点E在的垂直平分线上， 垂直平分交于点， F点横坐标点横坐标， ， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点问题、菱形的判定和性质、勾股定理、二次函数的平移等知识，综合性强，计算量大，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． 24．（12分）（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点P、Q，连接交于点F，连接，，得，根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点J，K，连接交于点G，连接即可（的面积的面积）． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，线段即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 25．（14分）（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $