专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）.如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线． 过点E作于点M，证明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点M， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 例2（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ． 【答案】81 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则：，证明，列出比例式求出的值，进而求出正方形的面积即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， 设正方形的边长为，则：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴正方形的面积为； 故答案为：81． 例3（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为1或2． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，解一元二次方程． （1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列式，结合即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∴或， ∴的长为1或2． 例4（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 例5（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，矩形为台球桌面， ，球目前在E点位置,，如果小丁瞄准边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了矩形的性质、光的反射定律(入射角等于反射角)、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反射定律得到等角关系，结合矩形的直角条件证明，再通过相似三角形对应边成比例的性质计算的长． （1）由矩形性质得，根据反射定律推出，根据两角分别相等两个三角形相似即可证明； （2）先计算的长度，设，则，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解x． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由光的反射定律得：， 在和中， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， 设，则， 由(1)知， ∴， 即， 交叉相乘得：， 展开得：， 移项得：， 解得：． ∴的长为． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：B 2．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在上的点处，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据折叠的性质得，，，易证；再根据，即可求出，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ，，， 将沿对折后，点恰好落在上的点处， ，，， ， 又， ， ， ； ， 又点，在矩形的边，边上，且在反比例函数上， 点，， ，， ，， ， ，而， ， 在中，， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、勾股定理，三角形相似的判定与性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 4．（24-25九年级下·上海·期中）如图，在边长为a的正方形的一边上任取一点E，作交于点F，如果，，那么用x的代数式表示y为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再求出，然后证出，根据相似三角形的性质可得与的等式，最后根据求出的取值范围，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是边长为a的正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 则用的代数式表示为， 故答案为：． 5．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在边长为10的正方形中，内接有六个大小相同的正方形，点，，，是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是关键． 过点作，垂足为，可以得到，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到和，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：过作于，则， 在和中，， ∵， ∴， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ，， ， ， ． 每个小正方形的边长为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在等边三角形中，点M，N分别是，上的点，且，， (1)当时，求的长． (2)点M在什么位置时，的长为． 【答案】(1) (2)当或时，的长为． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据角度相等判断出相似． （1）根据与可得相似，再根据边成比例可求解的长度，再根据可求解． （2）设，则，再根据相似可得边成比例，代入整理可得关于x的一元二次方程，由此求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在中，， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 即， 解得， ，， ． （2）解：设，则， 由（1）知， ， 已知，，代入可得， 交叉相乘得，即， 可得， 整理可得， 解得， 当时，； 当时，。 因此，当或时，的长为． 8．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，解答即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 【答案】2、12或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据题意，由相似三角形的判定方法，分类讨论：当时，；当时，；由相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：， ∴， 设，则， 情况1：当时，， ∴， ∴， 解得，或， 经检验，当或时，原方程有意义； 情况2：当时，， ∴， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义； 综上所述，长为2、12或． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知四边形中，，点P是边上使得的点，当 时，这样的P点只有一个． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式，设，则，将比例式转化为一元二次方程，根据题意，得到根的判别式等于0，求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵这样的P点只有一个， ∴方程有2个相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 12．（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 13．（24-25九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， 即， ∴． （2）解：如图4，当时， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴点D为BC的中点， ∴． 如图5，当时， ∵， ∴， 过点A作，交BC于点F， ∴，， ，不合题意，舍去， ∴． （3）解：分两种情况： ①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形 ∵点A的坐标为（2，4）， ∴AD＝2，OD＝CE＝4， ∵∠OBA＝90°， ∴∠OBE+∠ABC＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠OBE， 在△ABC与△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS）， ∴AC＝BE，BC＝OE， 设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x， ∴AC＝BE＝x－2， ∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4， ∴x＝3，x－2＝1， ∴点B的坐标是（3，1）； ②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3）， 综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值． 【答案】【问题情境】AD＝BE，理由见解析； 【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC，理由见解析； 【拓展应用】①BD+BF＝DC，理由见解析； ②EA+EG的最小值为，理由见解析． 【分析】问题情境：证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解； 变式探究：利用等量代换即可求解； 拓展应用：①用等量代换即可求解； ②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED（SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可． 【详解】解： AD＝BE，理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC=90°， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE； 【变式探究】解：∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC； ∵∠EDB+∠BED＝180°﹣∠B， ∠EDB+∠FDC＝180°﹣∠FDE ∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠C， ∠B＝∠FDE＝∠C， ∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC； 【拓展应用】①解：BD+BF＝DC理由如下： ∵AB＝BC， ∴AF+BF＝BD+DC， ∵AF＝2BD， ∴2BD+BF＝BD+DC， ∴BD+BF＝DC； ②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN， ∵∠B＝45°，∠EDF＝45°， ∴∠BFD＝∠EDM， ∵DF＝DE，DM＝BF， ∴△BDF≌△MED（SAS）， ∴BD＝EM，∠B＝∠DME＝45°， ∵CD＝BD+BF＝CM+DM，BF=DM ∴CM＝BD， ∴EM＝CM， ∴△MEC是等腰三角形 ∴∠MCE＝∠MEC， ∵∠EMD＝45°，∠EMD＝∠MCE+∠MEC ∴∠ECM＝∠MEC＝∠EMD =22.5°， ∴E点在射线CE上运动， ∵G点与N的关于CE对称， ∴EG＝EN， ∴EA+EG＝EA+EN≥AN， ∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN， ∵∠B＝45°，AB＝BC， ∴ △ABC是等腰三角形 ∴∠ACB＝∠ BAC=(180°－∠B)= 67.5°， ∴∠ACE＝∠ACB －∠ECM =45°， 由对称性可知，∠ACE＝∠ECN=45°， ∴∠ACN＝90°， ∵点G是AC的中点，AC＝2， ∴CG＝1， ∴CN＝1， 在Rt△ANC中，AN2＝AC2+CN2=5 ∴AN=， ∴EA+EG的最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）综合与实践 如图，这个图案是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图，通过观察，线段与的数量关系是__________； (2)【问题解决】如图，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（）的条件下，连接交于点，则__________． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：． ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：． 【答案】(1)DE，AE； (2)AC．证明见详解． 【分析】（1）根据，得出AC=DE，BC=AE即可； （2）过D作DE⊥直线l于E，先证△MCA≌△AGN（AAS），得出AC=NG，由（1）知，得出AC=DE，再证△NGP≌△DEP（AAS）即可． 【详解】（1）解：∵， ∴AC=DE，BC=AE， 故答案为DE，AE； （2）证明：过D作DE⊥直线l于E， ∵， ∴∠CAM+∠NAG=90°， ∵BM⊥l， ∴∠MCA=90°， ∴∠M+∠CAM=90°， ∴∠M=∠NAG， ∵， ∴∠AGN=90°， 在△MCA和△AGN中， ， ∴△MCA≌△AGN（AAS）， ∴AC=NG， 由（1）知， ∴AC=DE， ∴NG=DE， 在△NGP和△DEP中， ， ∴△NGP≌△DEP（AAS） ∴NP=DP， 故答案为AC． 【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键． 17．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 18．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 19．（24-25九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)15 【分析】（1）由可证，由可证，进一步可证； （2）过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证∴，于是，得解点C到的距离为； （3）以点D为端点，作线段，交延长线于点M，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴． 在与中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，      ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． 即点C到的距离为； （3）解：以点D为端点，作线段，交延长线于点M， 则． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 20．（24-25九年级上·河南开封·期中）感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．   拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 【答案】（1）；（2）CE=a-b；（3）见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由已知易证△ADB≌△DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度； （3）作CG//FE交DE于点G，易证得△FBE∽△EGC，从而可得=；可证得△DGC∽△DCE，可得=，即有=，再由AB=CD即可得要证的结论． 【详解】（1）∵△ABC∽△DAE ∴ 故答案为：； （2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=∠BAD 又∵DA=DE ∴△ADB≌△DEC ∴EC=BD，AB=DC=b ∴BD=BC-DC=a-b． 即：CE=a-b． （3）∵∠DEF=∠B ∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC ∴∠BFE=∠DEC． 作CG//FE交DE于点G，如图3． ∴∠DEF=∠EGC ∴∠B=∠EGC ∴△FBE∽△EGC ∴= ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B+∠BCD=180° ∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC ∴∠DGC=∠BCD 又∵∠EDC=∠CDG ∴△DGC∽△DCE ∴= ∴= ∴DC·FE=BE·DE 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC ∴AB·FE=BE·DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点． 21．（24-25八年级下·广东汕头·期末）[模型建立](一线三等角) （1）如图1，等腰中，直线经过点，过点作于点过点作于点求证：； [模型应用] （2）如图2，直线与坐标轴交于点直线经过点与直线垂直，求直线的函数表达式． （3）如图3，平面直角坐标系内有一点过点作轴于点轴于点点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若成为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）直线l2的函数表达式为：y＝；（3）点D的坐标为或(8，﹣14)或 【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：△BEC≌△CDA； （2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明△BOA≌△AED，求出点D的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式； （3）分三种情况：①如图3，∠CPD=90°时，②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，③如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D的坐标． 【详解】（1）如图1所示： ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠ADC=∠CEB=90°， 又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BEC=90°， 又∵∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△CDA和△BEC中，， ∴△CDA≌△BEC（AAS）； （2）如图2，在l2上取D点，使AD=AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E， ∵直线y=x+4与坐标轴交于点A、B， ∴A（-3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， 由（1）得△BOA≌△AED， ∴DE=OA=3，AE=OB=4， ∴OE=7， ∴D（-7，3） 设l2的解析式为y=kx+b，    ∴ 解得 ∴直线l2的函数表达式为：y＝； （3）点D的坐标为或（8，﹣14）或    分三种情况： ①如图3，∠CPD=90°时，过P作MH∥x轴，过D作DH∥y轴，MH和DH交于H，    ∵△CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°， ∴CP=PD， 同理得△CMP≌△PHD（AAS）， ∴DH=PM=6，PH=CM， 设PH=a，则D（6+a，a-8-6）， ∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内． ∴a-8-6=-2（6+a）+2， 解得：a=， ∴D（）； ②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE⊥y轴于E， ∵△CPD是等腰直角三角形， 同理得△AOC≌△CED， ∴OA=CE=6，OC=DE=8， ∴D（8，-14）； ③如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∥x轴，延长AB交MQ于Q，则∠Q=∠DMC=90°， ∵△CDP是等腰直角三角形， 同理得△PQD≌△DMC， ∴PQ=DM，DQ=CM， 设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b， ∴D（6-b，-8-b）， ∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内， ∴-8-b=-2（6-b）+2， 解得：b= ， ∴D（）； 综上，点D的坐标为或（8，﹣14）或 【点睛】本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题． 22．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）证明，得到，即可得到； （2）延长相交于点M，证明，则，解得，，由勾股定理得到，，，得到，证明，则，进一步得到，则； （3）分两种情况：当点P在C的左边和当点P在B的右边，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）延长相交于点M， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 由勾股定理得到，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当点P在C的左边时，如图， 过点P作于点G， ∵， ∴， 设， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得， 由勾股定理可得，， ∴ 解得， ∴ 当点P在B的右边时，如图，过点O作于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键． 23．（24-25九年级上·湖南永州·期末）综合与实践：如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是__________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，连接交于点，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）.如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 例2（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ． 例3（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 例4（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 例5（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，矩形为台球桌面， ，球目前在E点位置,，如果小丁瞄准边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置． (1)求证：； (2)求的长． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 2．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在上的点处，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 4．（24-25九年级下·上海·期中）如图，在边长为a的正方形的一边上任取一点E，作交于点F，如果，，那么用x的代数式表示y为 ． 5．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 6．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在边长为10的正方形中，内接有六个大小相同的正方形，点，，，是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 ． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在等边三角形中，点M，N分别是，上的点，且，， (1)当时，求的长． (2)点M在什么位置时，的长为． 8．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知四边形中，，点P是边上使得的点，当 时，这样的P点只有一个． 11．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 12．（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 13．（24-25九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 14．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）综合与实践 如图，这个图案是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图，通过观察，线段与的数量关系是__________； (2)【问题解决】如图，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（）的条件下，连接交于点，则__________． 16．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：． 17．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 18．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 19．（24-25九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 20．（24-25九年级上·河南开封·期中）感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．   拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 21．（24-25八年级下·广东汕头·期末）[模型建立](一线三等角) （1）如图1，等腰中，直线经过点，过点作于点过点作于点求证：； [模型应用] （2）如图2，直线与坐标轴交于点直线经过点与直线垂直，求直线的函数表达式． （3）如图3，平面直角坐标系内有一点过点作轴于点轴于点点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若成为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 22．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 23．（24-25九年级上·湖南永州·期末）综合与实践：如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是__________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，连接交于点，则_____． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $