精品解析：河南省天立教育集团2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题

河南省天立教育集团2025级秋季第一学月联考 高一年级数学试卷 分值：150 分　考试时间：120 分钟　命题人：黄晓峰 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5 mm黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束， 监考员将答题卡收回. 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列各式中，错误的个数是（ ） ①;②;③;④. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的概念和性质，一一判断，可得答案. 【详解】因为{0}是以0为元素的集合，{0,1,2}的元素是0,1,2,故{0}不是{0,1,2}的元素，故①错误； 是含有两个元素的数集，而是含有一个元素的点集，二者不相等，②错误； 是任何集合的子集，故正确，③正确； 是不含任何元素的集合，是含有元素0的集合，二者不相等，④错误， 故错误的个数是3个， 故选：C 2. 已知集合 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算性质进行求解． 【详解】， ， 则， 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 如果，，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A、B，若，，则，不成立，故AB错误； 对于C，若，，则不成立，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选：D 6. 若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题结合判别式求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故选：B 7. 函数，的值域（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得解. 【详解】解：， 则， 所以函数的值域为. 故选：D. 8. 已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ） A. 36 B. 4 C. 16 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.） 9. 已知全集，集合，，则下列结论正确的（ ） A. B. C. D. 的真子集个数是7 【答案】AD 【解析】 【分析】确定，计算，B错误，，C错误，AD正确，得到答案. 【详解】， 对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，，错误； 对选项D：，真子集个数为，正确； 故选：AD. 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C. “关于的方程有实数根”的充要条件是“” D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 11. 对于任意实数，表示为不超过的极大整数，如，，（ ） A. 若时，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出的整数部分和小数部分，化简各式子，即可得出大小关系，进而得出结论. 【详解】由题意，对于任意实数，表示为不超过的极大整数， 设，其中分别是的整数部分，分别是的小数部分， A项，，故，则，故A正确； B项，，， ， ∴，B正确； C项，，，， ∴，故C错误； D项，， ∴，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定是“，”. 故答案为：， 13. 已知，则的最小值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】把变形为，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为7. 故答案为：7. 14. 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 【答案】 ①. ； ②. ## 【解析】 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知M={x|4x2-4x-15>0}，N={x|x2-5x-6>0}. （1）求M∩N； （2）若U=R，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合集合交集求解即可； （2）根据并集和补集的定义进行求解即可 【小问1详解】 ∵，，或 ∴或， 又∵，，或 ∴或. 故 【小问2详解】 由（1），，. 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求解， （2）利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是 17. 解下列不等式： （1） （2）； （3） 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，得或，故解集为， 当时，得或，故解集为. 【解析】 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式求解集； （2）将分式化为求解集； （3）由题设，讨论参数求对应的解集. 【小问1详解】 由，可得，故解集为； 【小问2详解】 由，则，可得，故解集为； 【小问3详解】 由， 当时，得或，故解集为， 当时，得或，故解集为. 18. 设矩形的周长为，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点，设，的面积为. （1）证明：； （2）设，求的解析式； （3）求的最大值. 【答案】（1） 由题意可得，， 又，故； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）借助全等判定定理即可得证； （2）利用全等三角形性质，设，可得，化简即可得； （3）借助面积公式与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为矩形的周长为，由，则， 设，由，可得， 在直角中，可得， 又由，可得， 则，故， 整理得， 又因为，可得且，解得， 所以的长为，且； 【小问3详解】 由为直角三角形， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为. 19. 设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． （1）若的“元和集”为，求：集合； （2）在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； （3）若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 【答案】（1）当时，，当时，； （2）； （3）或或. 【解析】 【分析】（1）分，，，，讨论，结合定义求的“元和集”由条件列方程求，由此可得结论； （2）由定义可得的“元差集”为，由条件求，再求的真子集个数，由定义可求的“元差集”，讨论结合条件列方程求，再求的真子集个数，相加可得结论； （3）由条件可证明，设，可推出的可能值，讨论结合定义求结论. 【小问1详解】 当时，集合含有个元素的子集为，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为，由已知有， 当时，集合含有个元素的子集有， 不妨设，则， 故集合的“元和集”至少含个元素，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为， 不妨设，的“元和集”为， 则，，，， 相加可得，故， 所以，故， 当时，集合含有个元素的子集为， 集合的“元和集”为，该集合只有个元素，与条件矛盾， 综上， 当时，满足条件的不存在， 当时，， 当时，； 【小问2详解】 当时，，集合的含有个元素的子集有， 不妨设，则集合的“元差集”为， 由已知，，，故， 此时，其真子集有个， 当时，，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 因为，， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 所以所有满足条件的的真子集个数之和， 【小问3详解】 由已知，，都为自然数， 不妨设，则， 因为为元集，且元素之和为，又， 故， 设，则， 因为的“元和集”中最大元素不超过，故， 所以或或或， 当时，，，与条件矛盾， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省天立教育集团2025级秋季第一学月联考 高一年级数学试卷 分值：150 分　考试时间：120 分钟　命题人：黄晓峰 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5 mm黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束， 监考员将答题卡收回. 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列各式中，错误的个数是（ ） ①;②;③;④. A. B. C. D. 2. 已知集合 ， ，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如果，，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，的值域（ ） A. B. C. D. 8. 已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ） A. 36 B. 4 C. 16 D. 9 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.） 9. 已知全集，集合，，则下列结论正确的（ ） A. B. C. D. 的真子集个数是7 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C. “关于的方程有实数根”的充要条件是“” D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 11. 对于任意实数，表示为不超过的极大整数，如，，（ ） A. 若时，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 命题“，”的否定是______． 13. 已知，则的最小值为___________． 14. 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知M={x|4x2-4x-15>0}，N={x|x2-5x-6>0}. （1）求M∩N； （2）若U=R，求. 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 17. 解下列不等式： （1） （2）； （3） 18. 设矩形的周长为，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点，设，的面积为. （1）证明：； （2）设，求的解析式； （3）求的最大值. 19. 设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． （1）若的“元和集”为，求：集合； （2）在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； （3）若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $