第二单元 轴对称和平移 （解决问题讲义）数学北师大版五年级上册

第二单元 轴对称和平移 1.对称轴的画法及数量： ----画法步骤：找出图形中两组对应点，连接对应点并作垂直平分线即为对称轴； ----判断数量：观察图形沿不同直线折叠后能否完全重合，记录所有符合条件的直线数量； ----关键要点：对称轴是直线（需用虚线表示），注意正多边形对称轴数量等于边数（如正方形4条）。 2.补全轴对称图形： ----步骤1：确定已知图形的关键点和对称轴位置； ----步骤2：分别作出各关键点关于对称轴的对称点（对称点到对称轴距离相等）； ----步骤3：按原图形顺序连接对称点，完成轴对称图形补全。 3.作平移后的图形： ----步骤1：明确平移方向（上下左右）和距离（格数）； ----步骤2：找出原图形所有顶点，按要求方向和距离平移各顶点； ----步骤3：依次连接平移后的顶点，标注平移后的图形。 4.运用平移、对称设计图案： ----设计流程：选择基础图形→确定变换方式（平移/对称/组合）→制定变换参数（平移距离/对称轴位置）→重复操作生成连续图案； ----设计技巧：对称保证左右/上下一致，平移形成重复纹样，组合使用可创造复杂图案（如墙纸、地砖纹样）。 类型1 对称轴的画法及数量： 典型例题1：下表中的图形各有几条对称轴？折一折，画一画，把结果填在表内。 图形 对称轴条数/条 【答案】2；4；0；无数；1；1；画图见详解 【分析】一个图形如果沿一条直线折叠后，两侧能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线称为对称轴。 长方形有2条对称轴，分别是过对边中点的两条直线；正方形有4条对称轴，分别是对边中点连线和对角线；平行四边形没有对称轴；圆有无数条对称轴；等腰梯形有1条对称轴，即通过两个底边中点的连线；等腰三角形有1条对称轴，即顶点到底边中点的连线。 【详解】 图形 对称轴条数/条 2 4 0 无数 1 1 变式训练：画出下列轴对称图形的所有对称轴并填一填。 共（    ）条     共（    ）条      共（    ）条      共（    ）条         共（    ）条 【答案】见详解 【分析】判断一个图形有几条对称轴，就是看这个图形沿着哪几条直线对折后，折痕两侧的部分能够完全重合。有几条这样的直线就有几条对称轴。 【详解】如图所示： 类型2 补全轴对称图形： 典型例题2：怎样移动图B，使三个图形组成一个轴对称图形？ 【答案】B先向下平移3格，再向左平移1格。 【分析】把一个平面图形沿一条直线对折，折痕两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线是轴对称图形的对称轴。图形的平移可以看成关键点的平移。关键点向哪个方位平移了几格，图形就向哪个方向平移了几格，平移后整个图形以C中间竖直的直线为对称轴，据此解答。 【详解】把B先向下平移3格，再向左平移1格，此时三个图形组成一个轴对称图形。 （答案不唯一） 变式训练：想一想，如何把“p”变成“q”？ 【答案】以“P”的右面某条直线为对称轴，作“P”的轴对称图形即可得到“q”，如图： 【分析】从作“P”的轴对称图形的角度去解答即可。 【详解】以“P”的右面某条直线为对称轴，作“P”的轴对称图形即可得到“q”，作图如下： 【点睛】注意画轴对称图形时，要先找到顶点，再找到各点关于对称轴的对称点，最后描点连线即可。 类型3 作平移后的图像： 典型例题3：把下图拼成一个轴对称图形，说一说，画一画，该如何进行平移？ 【答案】见详解 【分析】决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。这是一个青蛙图案，据此先确定头部两只眼睛的位置，再确定平移方向和平移格数即可。 【详解】左上角的半个青蛙头先向右平移2格，再向下平移2格或先向下平移2格，再向右平移2个；右下角的半个青蛙头先向上平移2格，再向左平移2格，或先向左平移2格，再向上平移2格，就可以得到一个轴对称图形。 如下图： 变式训练：填一填，画一画。（每个小方格边长为1厘米） （1）小船图向 平移了 格。 （2）画出梯形A先向上平移4格，再向左平移3格后的图形。 （3）以虚线为对称轴，画出图形的另一半，使它成为轴对称图形。 【答案】（1）下；5 （2）（3）图见解答 【分析】（1）先确定要平移图形的关键点，再确定平移的方向，然后确定移动的长度（格子数）即可； （2）根据平移的特征，把梯形A的各顶点分别先向上平移4格，再向左平移3格，依次连接即可得到平移后的图形； （3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出对应点，然后顺次连接各点即可。 【详解】（1）小船图向向下平移了5格。 （2）（3） 作图如下： 类型4 运用平移、对称设计图案： 典型例题4：下图是几名同学设计的班徽。 请你用轴对称或平移的知识，为自己的班级设计班徽。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】如果一个图形沿某条直线对折后两边能完全重合，那么这个图形是轴对称图形；平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离。据此可以先画一个平行四边形，然后以它的一条边为对称轴画出它的另一半，这是一本书的样子，代表求知；下面同样先画一片叶子，再画出轴对称图形的另一半，形成一棵幼苗，代表同学们。据此解答。 【详解】 变式训练：运用平移的方法在下面方格纸上继续画下去。    【答案】见详解 【分析】平移是指在平面内将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的运动叫做图形的平移运动。据此解答即可。 【详解】如图：   （答案不唯一） 【点睛】本题主要考查平移和旋转的意义，在实际当中的运用。 A夯实基础 1．将长方形纸对折后画上图案（如图），再沿阴影部分剪下打开，得到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这是一个关于轴对称图形的问题。长方形纸对折后画图，沿阴影剪下，展开后得到的图形应该是轴对称图形，对称轴是对折线。需要根据对折后画的图案，想象展开后的形状。 【详解】图形沿阴影部分剪下打开，得到的图形是。 故答案为：A 2．被誉为“中华民间艺术一绝”的剪纸被列为世界非物质文化遗产。在下面几幅剪纸图案中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。这条直线叫做对称轴，据此确定各选项图形对称轴的数量即可。 【详解】 A．，有1条对称轴； B．，有1条对称轴； C．，有4条对称轴； D．，有6条对称轴。 对称轴最多的是。 故答案为：D 3．图形平移改变的是图形的（    ）。 A．大小 B．形状 C．位置 D．大小、形状和位置 【答案】C 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移。决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。物体或图形平移后，它们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生了变化。据此解答。 【详解】根据分析得，图形平移后，物体的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生了变化。 故答案为：C 4．如图，图①向( )平移( )格，就和图②重合。 【答案】 右 6 【分析】平移现象中不改变物体的形状，只改变物体位置。先找出平移前后的图形，根据平移的距离和方向确定朝哪个方向平移了几格即可，据此可得出答案。 【详解】图①向右平移6格，就和图②重合。 5．下面哪些图形是轴对称图形？是的在（    ）里画“√”，不是的画“×”。 ( )            ( )             ( )                 ( ) 【答案】 √ √ × × 【分析】一个图形沿着一条直线对折后，分成的两部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【详解】 6． 图①向( )平移了( )格；图②向( )平移了( )格。 【答案】 右 7 上 4 【分析】观察图示，虚线图形为原图，实线图形为平移后的图形，箭头表示移动方向，只需观察图形的一个点，看它与平移后的点之间距离是几格即可。 【详解】由分析可得：图①向右平移了7格；图②向上平移了4格。 B培优拔高 7．画出以下图形的全部对称轴。 【答案】见详解 【分析】将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫作它的对称轴，根据对称轴的定义画出各图形的所有对称轴，对称轴用虚线表示，据此作图。 【详解】作图如下： 8．画出下面图形向右平移6格，再向下平移3格后的图形。 【答案】见详解 【分析】平移图形先要确定图形中的关键点，并将关键点分别沿指定方向移动指定的格数，最后顺次连接移动后的各点。将图形的各个顶点先向右平移6格，再向下平移3格，即可得到平移后图形。 【详解】 9．以虚线为对称轴，画出下面图形的轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴另一边画出图形的关键对称点，依次连接即可。 【详解】 10．（1）画出图形A的对称轴。 （2）以虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形。 （3）画出图形C先向上平移3格，再向右平移4格后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）画对称轴的步骤：找出轴对称图形的任意一组对称点；连结对称点；画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 【详解】 C思维拓展 11．画一画。 （1）在方格纸上画出图A以虚线为对称轴的轴对称图形B。 （2）把图形A向右平移8格得到图形C。 （3）画一个面积是12平方厘米的图形D。（每格边长为1厘米） 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）依据画轴对称图形的画法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形，据此即可画图； （2）把图形A各顶点分别向右平移8格，依次连结即可得到向右平移8格后的图形C。 （3）根据长方形的面积公式：长×宽，由于4×3＝6×2＝12×1＝12，如：可以画长是4格，宽是3格的长方形。 【详解】（1）（2）（3）如下图所示： （第三问答案不唯一） 12．先将下面图形向左平移10格，再以虚线a为对称轴，画出平移后图形的轴对称图形。 【答案】图见详解 【分析】根据平移的特征：把要平移的图形的各个顶点分别向左平移10格，依次连接，即可得到平移后的图形。 根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出平移后的图的关键对称点，依次连接即可。 【详解】如图： 13．按要求画图。 （1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形。 （2）画出图形A先向右平移8格，再向下平移5格后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形A的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到图形A＇。 （2）根据平移的特征，把图形A的各顶点分别先向右平移8格，再向下平移5格，依次连接即可得到平移后的图形A＂。 【详解】如图： 14．看一看，想一想，请把下面的汉字“由”变成“甲”，把数字“5”变成数字“2”。 【答案】见详解 【分析】作轴对称图形的步骤如下：确定已知图形的关键点，如顶点、交点等；分别作出这些关键点关于对称轴的对称点；依次连接这些对称点，就得到了轴对称图形。 以图中的虚线作为对称轴，可以通过作轴对称图形，把下面的汉字“由”变成“甲”，把数字“5”变成数字“2”，据此画图。 【详解】如图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 轴对称和平移 1.对称轴的画法及数量： ----画法步骤：找出图形中两组对应点，连接对应点并作垂直平分线即为对称轴； ----判断数量：观察图形沿不同直线折叠后能否完全重合，记录所有符合条件的直线数量； ----关键要点：对称轴是直线（需用虚线表示），注意正多边形对称轴数量等于边数（如正方形4条）。 2.补全轴对称图形： ----步骤1：确定已知图形的关键点和对称轴位置； ----步骤2：分别作出各关键点关于对称轴的对称点（对称点到对称轴距离相等）； ----步骤3：按原图形顺序连接对称点，完成轴对称图形补全。 3.作平移后的图形： ----步骤1：明确平移方向（上下左右）和距离（格数）； ----步骤2：找出原图形所有顶点，按要求方向和距离平移各顶点； ----步骤3：依次连接平移后的顶点，标注平移后的图形。 4.运用平移、对称设计图案： ----设计流程：选择基础图形→确定变换方式（平移/对称/组合）→制定变换参数（平移距离/对称轴位置）→重复操作生成连续图案； ----设计技巧：对称保证左右/上下一致，平移形成重复纹样，组合使用可创造复杂图案（如墙纸、地砖纹样）。 类型1 对称轴的画法及数量： 典型例题1：下表中的图形各有几条对称轴？折一折，画一画，把结果填在表内。 图形 对称轴条数/条 思路分析： 一个图形如果沿一条直线折叠后，两侧能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线称为对称轴。 长方形有2条对称轴，分别是过对边中点的两条直线；正方形有4条对称轴，分别是对边中点连线和对角线；平行四边形没有对称轴；圆有无数条对称轴；等腰梯形有1条对称轴，即通过两个底边中点的连线；等腰三角形有1条对称轴，即顶点到底边中点的连线。 变式训练：画出下列轴对称图形的所有对称轴并填一填。 共（    ）条     共（    ）条      共（    ）条      共（    ）条         共（    ）条 类型2 补全轴对称图形： 典型例题2：怎样移动图B，使三个图形组成一个轴对称图形？ 思路分析： 把一个平面图形沿一条直线对折，折痕两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线是轴对称图形的对称轴。图形的平移可以看成关键点的平移。关键点向哪个方位平移了几格，图形就向哪个方向平移了几格，平移后整个图形以C中间竖直的直线为对称轴，据此解答。 变式训练：想一想，如何把“p”变成“q”？ 类型3 作平移后的图像： 典型例题3：把下图拼成一个轴对称图形，说一说，画一画，该如何进行平移？ 思路分析： 决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。这是一个青蛙图案，据此先确定头部两只眼睛的位置，再确定平移方向和平移格数即可。 变式训练：填一填，画一画。（每个小方格边长为1厘米） （1）小船图向 平移了 格。 （2）画出梯形A先向上平移4格，再向左平移3格后的图形。 （3）以虚线为对称轴，画出图形的另一半，使它成为轴对称图形。 类型4 运用平移、对称设计图案： 典型例题4：下图是几名同学设计的班徽。 请你用轴对称或平移的知识，为自己的班级设计班徽。 思路分析： 如果一个图形沿某条直线对折后两边能完全重合，那么这个图形是轴对称图形；平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离。据此可以先画一个平行四边形，然后以它的一条边为对称轴画出它的另一半，这是一本书的样子，代表求知；下面同样先画一片叶子，再画出轴对称图形的另一半，形成一棵幼苗，代表同学们。据此解答。 变式训练：运用平移的方法在下面方格纸上继续画下去。    A夯实基础 1．将长方形纸对折后画上图案（如图），再沿阴影部分剪下打开，得到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 2．被誉为“中华民间艺术一绝”的剪纸被列为世界非物质文化遗产。在下面几幅剪纸图案中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 3．图形平移改变的是图形的（    ）。 A．大小 B．形状 C．位置 D．大小、形状和位置 4．如图，图①向( )平移( )格，就和图②重合。 5．下面哪些图形是轴对称图形？是的在（    ）里画“√”，不是的画“×”。 ( )            ( )             ( )                 ( ) 6． 图①向( )平移了( )格；图②向( )平移了( )格。 B培优拔高 7．画出以下图形的全部对称轴。 8．画出下面图形向右平移6格，再向下平移3格后的图形。 9．以虚线为对称轴，画出下面图形的轴对称图形。 10．（1）画出图形A的对称轴。 （2）以虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形。 （3）画出图形C先向上平移3格，再向右平移4格后的图形。 C思维拓展 11．画一画。 （1）在方格纸上画出图A以虚线为对称轴的轴对称图形B。 （2）把图形A向右平移8格得到图形C。 （3）画一个面积是12平方厘米的图形D。（每格边长为1厘米） 12．先将下面图形向左平移10格，再以虚线a为对称轴，画出平移后图形的轴对称图形。 13．按要求画图。 （1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形。 （2）画出图形A先向右平移8格，再向下平移5格后的图形。 14．看一看，想一想，请把下面的汉字“由”变成“甲”，把数字“5”变成数字“2”。 1 学科网（北京）股份有限公司 $