精品解析：贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县第八中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

威宁八中2025年秋季学期高二年级第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据并集的概念进行求解即可. 【详解】因为集合，所以. 因为集合，所以. 所以. 故选：D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 3. 空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由空间向量加法法则得到，由此能求出结果． 详解：由题空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则 故选C. 点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4. 已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】倾斜角为，斜率为，由点斜式得，即. 故选：D. 5. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】直线l方向向量为，平面的一个法向量为， 由直线平面，得，则，即，所以. 故选：C 6. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可知，，，三向量共面，从而不能构成基底. 【详解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时， ，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且， 即，解得. 故选：C 7. 已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 8. 把五个边长为3的正方形按如图的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知在直线下方是面积为的直角三角形，求出直线与的交点，再求出斜率即可求出方程. 【详解】直线将这五个正方形分成面积相等的两部分， 在直线下方是面积为的直角三角形， 所以直线过，所以直线斜率为， 所以直线方程为. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. 2为的一个周期 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意推导周期性判断A，利用周期性判断B，C，D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 则，故， 可得2为的一个周期，故A正确， 对于B，由题意得，故B正确， 对于C，由题意得，故C错误， 对于D，由已知得，， 由题意得，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，已知正方体的棱长为a，E是棱上的动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ， 对于A：， 因为，所以，即，正确；    对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，不正确. 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2025年9月3日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯胜利80周年纪念日.北京天安门广场举行了盛大的阅兵式.阅兵式结束后，某学校组织学生写阅兵观后感，高一、高二、高三年级分别有1000人、800人、600人参加，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为120人的样本，则从高二年级抽取的人数为_____________. 【答案】40 【解析】 【分析】根据题意结合分层抽样的特征运算求解即可. 【详解】因为总人数为，且抽取容量为120人， 所以高二年级抽取的人数为. 故答案为：40. 13. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求，的值，进而求投影向量. 【详解】因为， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线在两坐标轴上的截距，把三角形的面积表示出来，根据题意建立不等式求解即可，注意时的情况分析. 【详解】令，得， 令，得， 所以三角形的面积为：， 又因为，即， 又时，直线过原点，由此与坐标轴不构成三角形，故， 所以实数k的取值范围是：， 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为12，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合辅助角公式分析求解即可； （2）利用余弦定理以及周长，求出的值即可求出三角形的面积. 【小问1详解】 由正弦定理以及得： ， 在中，，所以， 所以，即 ， 所以， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1），又的周长为12， 所以，所以， 由余弦定理得： ， 解得：， 所以的面积为：. 16. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： （1）； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，再由，即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，由，即可证明. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 因为， 所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）知：，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，平面平面. 17. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱的中点. （1）求直线与直线的夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题意得两两互相垂直， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与直线的夹角为， 则. 所以直线与直线的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 所以点到平面的距离为. 18. 已知直线. （1）求直线过定点的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线化简为，可得，即可求解； （2）将直线化简为，从而可得，即可求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式即可求最小值. 【小问1详解】 由直线，则得， 所以，解得，故定点为. 【小问2详解】 由题可得，由直线不经过第四象限， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 依题意直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以，，又因为且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 19. 已知正方体的棱长为2． （1）证明：平面； （2）动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为． ①求的取值范围； ②当最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）① ；②0 【解析】 【分析】（1）解法一：在正方体中，连结，由平面，得到，同理，再利用线面垂直的判定定理证明；解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，由证明； （2）解法一：①取中点，取中点，球心在直线上，根据，得到，延长至，使得，连结，易得，，从而，设，由求解；②当最大时，，得到点与点重合，由为二面角的平面角求解；解法二：①以为原点，的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，取中点，中点，球心在直线上，设，由，求解；②当最大时，点坐标为．，易得平面的一个法向量是，求得平面的一个法向量，再由求解. 【小问1详解】 解法一：如图所示： 在正方体中，连结，则， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可得， 又因为，，平面，所以平面． 解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，，， ，，． 因为，所以． 又因为，平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 解法一：①如图所示： ， 取中点，取中点，依题意得：球心在直线上． 因为，所以， 即， 延长至，使得，连结． 因为，，所以四边形平行四边形，所以，． 同理得：，，所以，，故， 所以点在线段上． 设，则， 则． 易得，则有，所以，故有． 所以，整理得：， 由，得：． 所以，所以的取值范围是． ②当最大时，，，此时点与点重合． 因为，，，，平面， 所以平面． 因为，平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 在中，，，，， 所以，所以二面角的余弦值为0． 解法二：①以为原点，正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系： 取中点，中点，依题意得：球心在直线上． 设， 因为， ， 则，即， 化简得：． 因为，所以． 所以， 故该球半径的取值范围是． ②当最大时，点坐标为．． 由（1）得平面的一个法向量是． 设平面的一个法向量是，，， ，取得：， 因为， 所以二面角的余弦值为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威宁八中2025年秋季学期高二年级第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则 A. B. C. D. 4. 已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 6. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A 0 B. 5 C. 8 D. 9 7. 已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 把五个边长为3的正方形按如图的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. 2为的一个周期 B. C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为a，E是棱上的动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线与所成角范围为 D. 二面角的大小为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2025年9月3日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯胜利80周年纪念日.北京天安门广场举行了盛大的阅兵式.阅兵式结束后，某学校组织学生写阅兵观后感，高一、高二、高三年级分别有1000人、800人、600人参加，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为120人的样本，则从高二年级抽取的人数为_____________. 13. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_____________. 14. 已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是_____________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为12，求的面积. 16. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： （1）； （2）平面平面. 17. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱的中点. （1）求直线与直线的夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 18. 已知直线. （1）求直线过定点坐标； （2）若直线不经过第四象限，求取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 19. 已知正方体的棱长为2． （1）证明：平面； （2）动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为． ①求的取值范围； ②当最大时，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $