精品解析：河北省保定市高碑店市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期第一次阶段性教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．共有三个大题，24个小题，满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，则该选项不符合题意； B、中未知数的次数是1，则该选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，则该选项符合题意； D、含有2个未知数，则该选项不符合题意； 故选：C． 2. 七巧板是我国古代发明的一款益智玩具．取其中两块等腰直角三角形和一块正方形拼成如图所示的火箭图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，正方形的性质，根据题意，得到，根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 3. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值． 【详解】解：把x=1代入方程有：1＋1−k＝0 k＝2． 故选择：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 4. 如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图．行李箱的正面可看成一个矩形．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，理解矩形的对角线相等是解答关键. 根据矩形的对角线相等来求解. 【详解】解：根据题意可知 行李箱的正面可看成一个矩形．若， 所以. 故选：B. 5. 一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数为m，一次项的系数为n，常数项是1，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是将给定方程化为一般形式，确定二次项系数和一次项系数． 先把方程化为一元二次方程的一般形式），然后确定和的值，最后判断点所在象限． 【详解】解：将方程展开并整理：， 所以二次项的系数，一次项的系数， 则点为， 因为横坐标，纵坐标， 所以该点在第四象限． 故选：D． 6. 如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，四边形均为菱形， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：D 7. 嘉嘉掷一枚质地均匀的骰子，前三次抛掷的点数都是6，那么第四次抛掷的点数还是6的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求概率，熟记概率公式是解题关键． 直接利用简单事件的概率公式求解即可得． 【详解】解：因为掷一枚质地均匀的骰子共有6种等可能的结果， 所以第四次抛掷的点数还是6的概率是． 故选：B． 8. 学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．甲和乙分别准备了如图所示的工具，关于谁能完成判定，下列说法正确的是（ ） A. 甲能，乙不能 B. 乙能，甲不能 C. 他俩都能 D. 他俩都不能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：甲用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形； 乙用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度分别相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形； 故他俩都能判定这张纸片是否矩形． 故选C． 9. 若一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. 2025 C. D. 6075 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴； 故选A． 10. 如图，在 中， 为 的中点，以 为斜边作 ， 为 的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出，根据中点的定义可以求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出． 【详解】解：在 ， 为 的中点．， ， 点 为 的中点， ， 在 中， 为 的中点， ． 故选：B． 11. “这么近，那么美，周末到河北！”河北省某市文旅计划在本市打造一个仿古美食街区域，布局如图所示，该区域长为米，宽为米，美食店铺的总面积为平方米，步行街道的宽相同．设步行街道的宽为米，可得方程，则下列说法正确的是（ ） A. 表示其中一排店铺的宽 B. “”处的内容为 C. “”处的内容为 D. 的值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设步行街道的宽为米，根据美食店铺的总面积为平方米，可得方程，解方程即可求出． 【详解】解：A选项：美食街区域长为米，步行街道的宽为米， 表示一排店铺的长， 故选项错误； B选项：“”应是步行街的宽， “”处的内容为， 故B选项错误； C选项：“”应是步行街的宽， “”处的内容为， 故C选项错误； D选项：设步行街道的宽为米， 根据题意可得方程：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 的值为， 故D选项正确． 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质以及圆的性质，解题的关键是利用轴对称性质确定点的运动轨迹，再根据几何关系求出最小时点的坐标． 根据轴对称性质确定点的轨迹，再结合几何知识求出最小时点的坐标． 【详解】解：因为四边形是正方形，，所以， 因为点关于的对称点为，所以， 即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 要求最小，如图，根据点到圆上一点的距离，当在连线上时，最小， ， ， 过作交于，又， ， ， ， 点的坐标， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若方程的一个根为，则另一个根为________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值，再解原方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 14. 关于x 的一元二次方程没有实数根，请写出一个符合条件的正整数m的值：________． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，得到，求出的范围，进而写出一个符合条件的正整数m的值即可． 【详解】解：由题意一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴符合条件的正整数m的值可以是5； 故答案为：5（答案不唯一） 15. 两个正方形按如图所示的方式叠放在一起，是其中一个正方形的中心，为边上的一点，，，则重叠部分（阴影）的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，连接、，由正方形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，利用全等三角形的性质可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点是正方形的中心， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ，， 重叠部分（阴影）的周长为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，M，N分别为，的中点，点 P 在 上．若四边形为菱形，则菱形的面积为________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理、菱形性质、勾股定理，运用中位线定理、菱形性质、勾股定理求线段长是解题的关键． 先由中位线定理可得长，再由菱形性质可得长及，由勾股定理可得长，由菱形对角线将它分成四个全等的小三角形即可求面积． 【详解】解：如图，连接、，交于点O， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 18. 如图，在矩形中，点 在边上，，过点作，垂足为，． （1）如图，求证：． （2）如图，，．若为的中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）利用矩形的性质可得，，进而得到，，又利用余角性质可得，进而可证，即可求证； （）由可得，即得，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，, ∴， ∵， ∴， 在中，∵为中点， ∴． 19. 如图，这是正面分别印有1，2，3三个数字的三张卡片，卡片大小、形状及背面图案完全相同，现将三张卡片背面朝上放置在桌面上且打乱顺序，每次从中随机选取一张． （1）若选取一张，则抽中的卡片上的数字为偶数的概率为 ． （2）若选取一张后，将卡片背面朝上放回，打乱顺序再重新抽取一张，分别记下两次卡片的数字，按先后顺序组成一个两位数（第一次记下的数字为十位数字，第二次记下的数字为个位数字），用画树状图或列表的方法，求组成的两位数为五月的某一个日期的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，正确列举出所有可能的结果是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）通过列表或画树状图的方法列出所有组成两位数的可能结果，再找出符合五月日期的结果，最后根据概率公式求解． 【小问1详解】 三张卡片上的数字为，其中偶数为2，只有一个． 概率为． 【小问2详解】 列表如下： 第一次 第二次 1 2 3 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 共有种等可能结果，其中属于五月日期的有种， 概率为． 20. 如图，在平行四边形中，P，Q分别是和上的点，，． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （2）周长为 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知菱形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行且相等可证明，，再结合，即可证明四边形为菱形； （2）求出线段的长，根据菱形的周长等于其边长的4倍即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形的周长． 21. 如图，在正方形中，E为对角线上的一点，连接． （1）如图1，连接，求证：． （2）如图2，，交于点F，连接，延长交于点G． ①求证： ②若F 为的中点，，则 ．（用含α的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， E为对角线上的一点， ∴，， 又∵， ∴； （2） ①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据正方形的性质得到，，进而证明； （2）①根据正方形的性质得到，，然后证明出，得到，即可得到； ②根据题意证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵F 为的中点， ∴， 由①得， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 对于两个代数式，记． （1）若 ，求的值． （2）若关于的方程的解为和，求的值． （3）若关于的方程有个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将代入可得一元二次方程，再解方程即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到的值，即可解答； （3）根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 即， ， ． 【小问2详解】 解：将代入得， ， 方程的解为和， ， ． 【小问3详解】 解：将代入并化简得， ， 方程有个相等的实数根， ． ． 故答案为：． 23. 某种物质在1升水中溶解时，会等量地产生A粒子和B粒子（即每溶解的物质，产生的A 粒子和的B 粒子）．已知该物质的溶解平衡常数是4，即1升溶液中A 粒子的数量乘以B 粒子的数量始终等于4（单位：） （1）在1升纯水中（初始无任何粒子）加入该种物质溶解，求平衡时A粒子的数量． 下面是嘉嘉同学的解答过程，请将其补充完整． 解：设平衡时A 粒子的数量为，则B粒子的数量为 ． 由题意，可得方程 ，解得 ． （2）在1升水中已含有粒子的情况下（初始无A 粒子）加入该种物质溶解，求平衡A粒子的数量． 【答案】（1）x；；． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）根据题意得出B粒子的数量为，再根据1升溶液中A 粒子的数量乘以B 粒子的数量始终等于4为等量关系列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）设平衡时粒子的数量为，则粒子的数量为，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵每溶解的物质，产生的A 粒子和的B 粒子， ∴在1升纯水中（初始无任何粒子）加入该种物质溶解，设平衡时A 粒子的数量为，则B粒子的数量为， 由题意，可得方程， 解得：，（负值舍去） 【小问2详解】 解：设平衡时粒子的数量为，则粒子的数量为， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴平衡时粒子的数量为． 24. 【情境】某校综合实践小组成员利用长方形纸片通过剪拼的方式拼成正方形纸片，成员进行的所有操作中纸片不折叠，拼接过程不重叠、无缝隙、无剩余 【操作】嘉嘉和淇淇分别利用两种不同尺寸的长方形纸片剪拼正方形． 如图3，淇淇沿虚线，，裁剪，将该纸片剪成①，②，③，④四块，并按如图4所示的方式拼成与原纸片面积相等的正方形． 如图1，长方形纸片的长为5，宽为4，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按如图2所示的方式拼成与原纸片面积相等的正方形． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）嘉嘉裁剪方式中的长为 ． （2）嘉嘉说：“将图1的纸片沿着，的中点，剪成四块，也可以拼成正方形．请根据嘉琪的说法设计一种方案．在图5上画出裁剪线，写出裁剪中的关键数据，并求出各裁剪线的长． （3）若淇淇剪拼的长方形纸片中，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：如图，在上截取，连接， ∵在长方形中，，点，分别为，的中点， ∴，，， ∴，，． （3）10 【解析】 【分析】本题考查了正方形与长方形的性质、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握正方形与长方形的性质是解题关键． （1）先求出正方形的面积为20，则可得，再根据拼接过程可得，，，然后在中，利用勾股定理求解即可得； （2）在上截取，连接，利用勾股定理求出的长即可得； （3）根据图3和图4可得拼接的正方形的边长为，再根据图3的长方形与图4的正方形的面积相等求解即可得． 【小问1详解】 解：∵长方形的面积为， ∴正方形的面积为20， ∴， 由拼接过程可知，，，，， ∴在中，， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵淇淇剪拼的长方形纸片中，， ∴由图3和图4可知，拼接的正方形的边长为， ∵图3的长方形与图4的正方形的面积相等， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第一次阶段性教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．共有三个大题，24个小题，满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 七巧板是我国古代发明的一款益智玩具．取其中两块等腰直角三角形和一块正方形拼成如图所示的火箭图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -2 4. 如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图．行李箱的正面可看成一个矩形．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定的长 5. 一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数为m，一次项的系数为n，常数项是1，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 嘉嘉掷一枚质地均匀的骰子，前三次抛掷的点数都是6，那么第四次抛掷的点数还是6的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．甲和乙分别准备了如图所示的工具，关于谁能完成判定，下列说法正确的是（ ） A. 甲能，乙不能 B. 乙能，甲不能 C. 他俩都能 D. 他俩都不能 9. 若一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. 2025 C. D. 6075 10. 如图，在 中， 为 的中点，以 为斜边作 ， 为 的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. “这么近，那么美，周末到河北！”河北省某市文旅计划在本市打造一个仿古美食街区域，布局如图所示，该区域长为米，宽为米，美食店铺的总面积为平方米，步行街道的宽相同．设步行街道的宽为米，可得方程，则下列说法正确的是（ ） A. 表示其中一排店铺的宽 B. “”处的内容为 C. “”处的内容为 D. 的值为 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若方程的一个根为，则另一个根为________ 14. 关于x 的一元二次方程没有实数根，请写出一个符合条件的正整数m的值：________． 15. 两个正方形按如图所示的方式叠放在一起，是其中一个正方形的中心，为边上的一点，，，则重叠部分（阴影）的周长为________． 16. 如图，在中，，，M，N分别为，的中点，点 P 在 上．若四边形为菱形，则菱形的面积为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在矩形中，点 在边上，，过点作，垂足为，． （1）如图，求证：． （2）如图，，．若为的中点，求的长． 19. 如图，这是正面分别印有1，2，3三个数字的三张卡片，卡片大小、形状及背面图案完全相同，现将三张卡片背面朝上放置在桌面上且打乱顺序，每次从中随机选取一张． （1）若选取一张，则抽中的卡片上的数字为偶数的概率为 ． （2）若选取一张后，将卡片背面朝上放回，打乱顺序再重新抽取一张，分别记下两次卡片的数字，按先后顺序组成一个两位数（第一次记下的数字为十位数字，第二次记下的数字为个位数字），用画树状图或列表的方法，求组成的两位数为五月的某一个日期的概率． 20. 如图，在平行四边形中，P，Q分别是和上的点，，． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，求四边形的周长． 21. 如图，在正方形中，E为对角线上的一点，连接． （1）如图1，连接，求证：． （2）如图2，，交于点F，连接，延长交于点G． ①求证： ②若F 为的中点，，则 ．（用含α的代数式表示） 22. 对于两个代数式，记． （1）若 ，求的值． （2）若关于的方程的解为和，求的值． （3）若关于的方程有个相等的实数根，则的值为 ． 23. 某种物质在1升水中溶解时，会等量地产生A粒子和B粒子（即每溶解的物质，产生的A 粒子和的B 粒子）．已知该物质的溶解平衡常数是4，即1升溶液中A 粒子的数量乘以B 粒子的数量始终等于4（单位：） （1）在1升纯水中（初始无任何粒子）加入该种物质溶解，求平衡时A粒子的数量． 下面是嘉嘉同学的解答过程，请将其补充完整． 解：设平衡时A 粒子的数量为，则B粒子的数量为 ． 由题意，可得方程 ，解得 ． （2）在1升水中已含有粒子的情况下（初始无A 粒子）加入该种物质溶解，求平衡A粒子的数量． 24. 【情境】某校综合实践小组成员利用长方形纸片通过剪拼的方式拼成正方形纸片，成员进行的所有操作中纸片不折叠，拼接过程不重叠、无缝隙、无剩余 【操作】嘉嘉和淇淇分别利用两种不同尺寸的长方形纸片剪拼正方形． 如图3，淇淇沿虚线，，裁剪，将该纸片剪成①，②，③，④四块，并按如图4所示的方式拼成与原纸片面积相等的正方形． 如图1，长方形纸片的长为5，宽为4，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按如图2所示的方式拼成与原纸片面积相等的正方形． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）嘉嘉裁剪方式中的长为 ． （2）嘉嘉说：“将图1的纸片沿着，的中点，剪成四块，也可以拼成正方形．请根据嘉琪的说法设计一种方案．在图5上画出裁剪线，写出裁剪中的关键数据，并求出各裁剪线的长． （3）若淇淇剪拼的长方形纸片中，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $