专题02 反比例函数中k的几何意义（5大题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

专题02 反比例函数中k的几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 6 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 12 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 18 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点． 【详解】解：∵是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为， ∴面积， 故答案为：． 【方法总结】反比例函数中求三角形的面积 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，）的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，连接．若的面积为，则 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数中，过双曲线上一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为的性质，结合已知三角形面积求．本题主要考查反比例函数中的几何意义，即过双曲线上一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为，熟练掌握此几何意义是解题关键． 【详解】解：设点的坐标为 点在反比例函数（，）图象上，且轴 ，，，即 又 解得 故答案为： 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，过点作轴，垂足是点N，如果，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据函数图象在第二象限，可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得， 则， 而， 所以． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】解：如图所示：连接、， ∵轴， ∴， ∴ ， 又∵的面积是5， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键． 4．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是上一点，与该反比例函数的图象交于点．与的面积之差 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，数形结合，熟练掌握反比例函数的性质，设参数求解是解题的关键． 设点，点A的坐标为，则，得出，，根据得出m、n的关系，得出，表示出，，再求出结果即可． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴轴，， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为，点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴ ． 故答案为：8． 5．（24-25八年级下·海南·期末）如图，动点P在函数（x＞0）的图象上，轴于点A，是以为底的等腰三角形，点B在y轴上，则的面积等于 ，当点A的横坐标逐渐增大时，的面积将会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】 4 不变 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是解答本题的关键． 过点作轴于点，设，即可证结果. 【详解】解：过点作轴于点， 设，则 当点的横坐标逐渐增大时，， ∴的面积不变； 故答案为：4；不变. 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 【方法总结】反比例函数中求等腰三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线＞上，连接交于，连接，则图中是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，点，在轴正半轴上（点在点的右边），，分别以，为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点，与边交于点．作轴于点轴于点．若阴影部分的面积等于，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据等边三角形的性质求出点E的坐标为，运用勾股定理得出，则点F的坐标为，得出，解出，再代入，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点E作轴 设，则 ∵以为边作等边三角形，且点E是中点 ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点E的坐标为， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴ ∴， ∴， ∵以为边作等边三角形 ， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∴点F的坐标为 ∵反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F． ∴ 即 解得（负值已舍去） ∴， 故答案为：． 4．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键．分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故答案为：． 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数中系数的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：4． 【方法总结】反比例函数中求平行四边形的面积 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，正确理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据反比例函数k值几何意义进行解答即可． 【详解】解：如图，过点A作轴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，菱形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了反比例函数和菱形的结合，菱形的性质，反比例函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和反比例函数的性质． 过点作轴，交轴于点，的交点为，得出四边形为矩形，利用反比例函数的性质得出，再根据菱形的性质即可求出面积． 【详解】解：如图所示，过点作轴，交轴于点，的交点为， 根据菱形的性质可得，， 又∵， ∴四边形为矩形， 由反比例函数得，， ， ， 故答案为：20． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以设出点和点的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得，然后利用菱形的面积公式求得即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对角线的中点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 菱形的面积． 故答案为：． 4．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了平行四边形的性质． 延长交y轴于E，利用反比例函数向上k的几何意义得出，利用平行四边形的性质得，，，，由点D是边的中点，点D到x轴的距离为2可知B点的纵坐标为4，即，利用三角形面积公式求得，解直角三角形求得，由反比例函数的图象经过点经过边的中点D，求得，进而求得，然后利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：延长交y轴于E，作轴于F，如图， 四边形为平行四边形， ，，，， 轴， ， 点D是边的中点，点D到x轴的距离为2， 点的纵坐标为4， ， ∵， ， ， ， ， ∴，即， ， ∵反比例函数的图象边的中点D， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：36．    5．（24-25九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，3，反比例函数的图象经过A， B 两点，若菱形的面积为，则k的值 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键．设，，根据菱形的面积为，建立方程求出结果即可． 【详解】解：根据题意，设，， ， 菱形的面积为， ， 解得：， 反比例函数在第一象限， ， 故答案为：12． 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 【方法总结】反比例函数中求矩形的面积 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 2．如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 3．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 4．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点，连接，，则当的面积最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质得点的坐标为，则，，可得，，进而根据三角形的面积公式得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解，掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 故答案为： 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，点E为矩形对角线的中点，A、B在x轴的正半轴上，函数的图像恰好经过D、E两点，则矩形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的性质，解题的关键是利用反比例函数的特点和矩形中点的性质来求解． 过作于，由三角形中位线定理可得，设点的横坐标为点坐标为，得出，即可得出，根据图象上的坐标特征得出的横坐标为，继而得出，然后根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：过作于， ∵点是矩形对角线的交点， ∴是的中位线， ， 设点的横坐标为，且点在反比例函数上， ∴点坐标为， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积， 故答案为：8． 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 根据A， B是反比例函数图象上的两点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵A， B是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， 故答案为：8． 【方法总结】反比例函数中求阴影部分的面积 【变式训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O上，且正方形的一组对边与x轴平行．是反比例函数的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积为16，则这个反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形的面积，解得(舍去），所以点坐标为，然后把点坐标代入即可求出. 【详解】解：由题意，得阴影部分的面积为16， 根据反比例函数及正方形的对称性，阴影部分面积应为正方形面积的， ∴正方形面积为，边长为，半边长为， 即 ． 把代入中，得 ∴这个反比例函数的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的对称性和反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数图象的对称性与正方形的性质，熟练掌握反比例函数图像的性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，矩形的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线与交于点D，与交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和2，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，设，则，，根据矩形面积计算公式可得，进而得到，求出点E的坐标，进而求出的长，根据矩形的面积为2，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵轴， ∴，， ∵矩形的面积为1， ∴， ∴， ∴； ∵轴， ∴点E的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵矩形的面积为2， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 3．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，是反比例函数与的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与圆的综合，扇形面积的计算，理解图示，掌握反比例函数图形的性质是关键． 根据题意得到，如图所示，连接，取圆与反比例函数交点，则，根据反比例函数的对称性得到，第一象限的阴影部分与第三象限的阴影部分的和为圆的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数与的一个交点，且点在第一象限， ∴， 解得，， ∴，即， 如图所示，连接，取圆与反比例函数交点， ∴， 根据反比例函数图象关于原点对称得到，点关于点的对称点为点，点关于点的对称点为点， ∴连接，则， ∴， ∴第一象限的阴影部分与第三象限的阴影部分的和为圆的面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，设，先求出，则，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：2． 5．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积 （用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式． （1）设，则，，由轴，轴，得到点E的横坐标为a，点F的纵坐标坐标为b，分别把，代入函数，得，，因此，，根据即可求解； （2）由（1）有，，，可求得，进而得到，把相关数据代入，解方程后进行取舍即可求解． 【详解】解：（1）设 ∵点P是反比例函数（，）图象上一动点， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b， 把代入函数，得， ∴， ∴， 把代入函数，得， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． （2）由（1）有，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴，，， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴． 故答案为： 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质； 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义求出和，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形，，在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，且点、分别在轴、轴的正半轴上，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解答本题的关键． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上， ， 点是的中点， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，根据反比例函数解析式中k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接． 点在上， ； 点在上， ； 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 9．（2025·福建·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，然后根据求解即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 则，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 12．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02反比例函数中k的几何意义 月录 A题型建模·专项突破 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积.1 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积… ..6 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积…12 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积… 18 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积…。 23 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，P是反比例函数y=3图象上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A,则△PA0的面积 为 【方法总结】反比例函数中求三角形的面积 = 【变式训练】 1.(2425九年级下湖南长沙阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=《(k为常数， >0,x>0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B,连接OA.若△OAB的面积为4，则 k= 1/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2.(2425九年级下湖南长沙开学考试)反比例函数y=冬的图象如图所示，点M是该函数图象上一点， 过点M作MN⊥x轴，垂足是点N,如果SAMON=2,则k的值为一· M 3.(24-25九年级上·湖南长沙阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BCx轴， 分别交y=子(x>0,y=x<0)的图像于B,C两点，若ABC的面积是5，则k的值为， :BC∥x轴， .S△4Bc=SABOC, 1 又：ABC的面积是5， 2x7+3*=5. 1 .k=±3， 又：y=(x<0, k=-3. 2/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：-3 4.(24-25九年级下·安徽合肥阶段练习)如图，AOB和△ACD都是等腰直角三角形， 16 ∠AB0=∠ADC=90°，点B是y正半轴上一点，点C是反比例函数y=巴的图象上一点，点D是AB上一点， OA与该反比例函数的图象交于点E.AOB与△ACD的面积之差S。AOB-S。ACD= BE D 5.(24-25八年级下海南期末)如图，动点P在函数y=8(x>0)的图象上，PA1x轴于点A,APAB是 以PA为底的等腰三角形，点B在y轴上，则△PAB的面积等于一，当点A的横坐标逐渐增大时， △PAB的面积将会」 ·（填“变大”、“变小”或“不变”) B 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数y-5的图象经过正△POQ的顶点，则△POQ的面积为. 【方法总结】反比例函数中求等腰三角形的面积 3/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC-x SAOC=k(OA=AC) 【变式训练】 1.如图，点A在反比例函数y=-4第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若OA=AB,则640B 的面积为 1)A A 2.(23-24八年级上·江苏盐城期末)如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线 y=5(x>0)上，连接BC交4D于P,连接OP,则图中S是 B A 3.(2025浙江金华模拟预测)如图，点A,B在x轴正半轴上（点B在点A的右边)，OA=2AB,分别以 OA,AB为边作等边三角形OAC,ABD,反比例函数y=《(k>0)的图象经过AD中点E,与边OC交于点 F.作FM⊥x轴于点M,EN⊥y轴于点N,若阴影部分的面积等于6√3，则k的值为_ D A B 4.如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数y=上(x>0)的图象上，且 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 它们的底边都相等.若△OA,B,△AA,B2,△A2A,B,,△A2o23Ao24B2o24的面积分别为S,S2,S3,…, S2024,则S2024的值 B2 A2 43 A4 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：(24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，平行四边形 OABC的顶点A在反比例函数y=上，顶点B在反比例函数y=三上，点C在x轴的正半轴上，则平行四 边形OABC的面积是 【方法总结】反比例函数中求平行四边形的面积 SOARCD=kl 【变式训练】 1.(2425九年级上吉林期末)如图，反比例函数y=《的图象经过平行四边形ABCD的顶点A,CD在x轴 上，点B在y轴上，S4BCD=16,则实数k的值为一， 5/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 2.(2025·陕西咸阳模拟预测)如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，反比例函数 10 y= (x>O)的图象经过顶点A,菱形的面积为 B 3.(24-25九年级下·辽宁抚顺阶段练习)如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数的图象 y= 角线OB的中点D和顶点C，则菱形0 4.如图，平面直角坐标系中，口OABC的边OA在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数 2 (x>O)的图象经过点C和AB边的中点D,点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 5.(24-25九年级下·辽宁盘锦开学考试)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与 x轴平行，A,B两点的纵坐标分别为6,3，反比例函数y=《(x>0)的图象经过A,B两点，若菱形 ABCD的面积为3V13,则k的值_ 6/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：如图，点A在双曲线y=4上，点B在双曲线y=2上，且AB∥x轴，过AB两点分别作x轴的垂线 交x轴于点D,C,则四边形ABCD的面积为， 【方法总结】反比例函数中求矩形的面积 B S矩形ABOc=| 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系xO中，B是反比例函数y=2(x>0)的图象上的一点，则矩形0ABC的面积 为 2.如图，若点A与点B是反比例函数y=《(k≠O)的图象上的两点，过点A作AM1x轴于点M,AN⊥y 轴于点N,过点B作BG⊥x轴于点G,BH⊥y轴于点H,设矩形OMAN的面积为S,矩形BHOG的面积 为S,则S与S的大小关系为：S S（填“>”，“=”或“<”). 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N G M H 3.如图，过=《(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交y=-1的图象于B,D两点，以AB, 1D为邻边的矩形A8CD的面积是}，则k的值是 y= B 4.(24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC是矩形，且A(-6,0), SE0c-24.反比例函数y=冬的图象与AB,BC交于点D,E,连接DE,DC,则当△DCE的面积最 大时，k的值为。 B 5.(24-25八年级下福建泉州期末)如图，点E为矩形ABCD对角线AC的中点，A、B在x轴的正半轴上， 函数y=4的图像恰好经过D、E两点，则矩形ABCD的面积为 8/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：(2425九年级上贵州黔东南阶段练习)如图所示，A,B是反比例函数y=6图象上的两个点，分别 1 过A,B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S,S2,S3.己知S2=2,则S,+S,的值 是 S2 【方法总结】反比例函数中求阴影部分的面积 D B S. ,=S Sk,-k 【变式训练】 1.(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O上，且正方形的 一组对边与x轴平行.P2a,)是反比例函数y=的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积为16 ,则这个反比例函数的解析式为 2.(24-25九年级上辽宁锦州阶段练习)如图，矩形0ABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=k 与AB交于点D,与BC交于点E,DF⊥x轴于点F,EG⊥y轴于点G,交DF于点H.若矩形OGHF和矩 形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为一 VA 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2025福建漳州模拟预测)如图，P(3a,)是反比例函数y=3与⊙0的一个交点，则图中阴影部分的面 积是 4.(23-24九年级上福建龙岩阶段练习)如图，过y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线 1 交y=-1的图象于B,D两点，以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记 为8,8，，S,若S,+5+5,=,则k的值为 B S S 0 S3 S4 D 5.(24-25九年级上湖南湘西阶段练习)如图，点P是反比例函数y=(k>0,x>0)图象上一动点， 过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=上(k2<0且k,|<k)的图 象于E、F两点， (1)图1中，四边形PEOF的面积S= (用含k、k的式子表示)： (2)图2中，设P点坐标为(2,3).若á0EF的面积为，反比例函数y=的解析式是 图1 图2 10/16