专题01 反比例函数的图象和性质（5大题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

专题01 反比例函数的图象和性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据反比例函数的定义求参数 1 题型二 比较反比例函数值或自变量的大小 2 题型三、判断反比例函数的图象和性质 4 题型四、根据反比例函数图象和性质求参数 7 题型五、反比例函数的图象和性质综合 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据反比例函数的定义求参数 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，也可以写成或．解题的关键是牢记反比例函数的定义．根据反比例函数的定义可得且，由此求的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：1． 2．（25-26九年级上·湖南娄底·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2025九年级上·北京·专题练习）已知 是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义列出方程求解． 【详解】解：根据题意，， 解得， 又，即， 所以． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）当 时，是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，根据反比例函数的性质得，且，即可求出． 【详解】解：∵是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限， ∴，且， 解得， 故答案为：2． 题型二 比较反比例函数值或自变量的大小 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，，都在反比例函数的图像上，那么、、的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，将，，代入，分别求得，，，再比较大小，即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图像上， ∴，，， ∴， 故答案为：． 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质、比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知 是反比例函数的图像上三点，且，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特征和函数的增减性是解答此题的关键． 先根据反比例函数的系数判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据，判断出，，的大小即可． 【详解】解：∵ ∴函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴点、在第三象限内，点在第一象限， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知点，，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，，的大小关系用“”连接为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 题型三、判断反比例函数的图象和性质 10．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键．利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可． 【详解】解：反比例函数，， 故点一定在反比例函数上，图象位于第一、第三象限，故A、B选项正确，不符合题意； 由，得在每个象限内，随的增大而减小， 当时，恰好在第三象限内， 故随的增大而减小； 故C选项正确，不符合题意； 根据题意，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， 当时，，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 11．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）关于反比例函数的描述错误的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数， ∴当时，，即该函数图象过点，故选项A正确，不符合题意； 该函数图象在第二、四象限，故选项B正确，不符合题意； 当时，，故选项C错误，符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限内 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．若点都在该函数的图象上，且，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由可得比例系数是，图象分布在第二、第四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 故A、B、D都是错误的， C是正确的， 故选：C． 13．（24-25九年级上·云南保山·期末）对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值． 【详解】解：A选项，∵， ∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确； C选项，∵该函数图象位于第一、三象限， ∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误； B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， 又∵，则， 又∵，则， ∴，故该选项正确； D选项，设点P的坐标为函数， ∴，是定值，故该选项正确． 故选：C ． 题型四、根据反比例函数图象和性质求参数 14．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义以及其性质，掌握这些是解题的关键． 根据反比例函数定义以及图象位置建立关于m的方程和不等式，求解后代回解析式即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， 所以表达式为：． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，其中，且． (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性结合反比例函数的性质即可得出，再由的取值范围即可得出结论； （2）分反比例函数单调递减和单调递增两种情况考虑，根据最大值与最小值的差是，可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵随的增大而增大， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． （2）当时，在的范围内，y随x的增大而增大， ，解得，不符合题意，舍去； 当时，在的范围内，y随x的增大而减小， ，解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据反比例函数的性质找出的取值范围；（2）分情况考虑，找出关于的方程． 18．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点P在直线上．顶点Q在函数的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为，则 ，k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键． 根据题意可知Q点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出，根据点Q的坐标求出k值即可． 【详解】解：点Q的横坐标为， ∴， ∴， 直线， ∴， 四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 点Q在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：，； 题型五、反比例函数的图象和性质综合 19．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （2）解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·广东·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大 (3)点不在这个函数的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题； （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 即， 解得， y与x之间的函数表达式为； （2）在反比例函数中，， 这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； （3）将代入中， 可得， 点不在这个函数的图象上． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数表达式； (2)若将该反比例函数的图象先向左平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及平移、对称变换后解析式的变化规律，正确理解平移变换和对称变换是本题解题的关键． （1）将A点代入，求出，然后求出B点坐标，将A，B坐标代入，求解析式； （2）向左平移3个单位，用代替x，沿y轴翻折，用代替x，即可得到新的表达式． 【详解】（1）解：将点代入解析式得：， ， 在上， ， ，即， ∵，均在上， ， 解得：， ∴； 综上所述，； （2）解：将向左平移3个单位长度得到：， 再沿y轴翻折得到：. 22．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，点A在反比例函数的图像上，轴于点，点A坐标为 (1)试求反比例函数解析式； (2)求的面积 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了求反比例函数解析式． （1）把点代入反比例函数，求出k的值即可； （2）根据三角形面积计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）∵点， ∴，， ∴． 23．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如其函数图像形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”，，函数图像如下图所示，根据图像对函数的图像和性质进行了探究。 (1)绘制函数图像： 列表：下表是x与y的几组对应值 x … 1 2 3 … y … 2 2 … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将．图像补充完整： (2)观察发现： ①写出函数的一条性质______ ②函数图像与直线有______个交点， 所以对应的方程有______个实数根． (3)分析思考： ①方程的的解为______ ②不等式，x的取值范围为______ 【答案】(1)图象见解析 (2)①关于y轴对称， ②2,2 (3)① ②或 【分析】本题主要考查了画函数图象，函数图象的性质，函数与方程，函数与不等式， 对于（1），观察表格，描点，连线可得图象； 对于（2），①根据图象的对称性可得答案；②画出图象可得交点个数，再结合函数图象交点个数与该方程的解的关系解答； 对于（3），①求出方程的解，再根据方程的特点可得答案； ②先求出方程的解，再观察图象可得答案. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：①通过观察图象可得的图象关于y轴对称； 故答案为：关于y轴对称； ②如图所示，函数图象与直线有两个交点，即方程有两个实数根， 故答案为：2，2； （3）解：①∵的解， ∴方程的解是方程的解向右平移1个单位， 即； 故答案为：； ②当时，结合表格，由下图象可得解， ∴不等式的解集是或. 故答案为：或. 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如果函数是反比例函数，那么的值是（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，其一般形式可表示为，因此，函数为反比例函数时，需满足的指数为，且系数不为零，进一步可得答案. 【详解】解：∵函数为反比例函数，则的指数必须为，即， 解得：， 故选：C 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，即． 将代入代数式，得：． 故选：D 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小． ， ，， ， 故选B． 5．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）已知反比例函数，下列结论中，错误的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．关于x轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 利用反比例函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．当时，，该选项正确，不符合题意； B． 由得，其图象位于第一、三象限，该选项正确，不符合题意； C． 由得，当时，y随x的增大而减小，该选项正确，不符合题意； D． 反比例函数关于原点对称，该选项错误，符合题意． 故选D． 6．（2025·吉林长春·模拟预测）已知点和点均在反比例函数（k是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与之间的关系 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的中心对称性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限，点在第四象限， ∴，， ∵点关于原点的对称点， ∵, ∴， ∵函数在第四象限是增函数， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 二、填空题 7．（25-26九年级上·湖南娄底·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知是反比例函数，则函数的图像在第 象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键． 先根据反比例函数定义，列方程且，求出，得到函数，再由，得出图像在第二、四象限． 【详解】因为是反比例函数， 所以． 解得． 又因为，满足条件． 所以反比例函数的表达式为， 因为，当时，函数的图像在第二、四象限． 综上，函数的图像在第二、四象限． 故答案为：二、四． 9．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）对于反比例函数，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，求出当时，对应的自变量的值，再根据反比例函数时，在每个象限内，y随x的增大而增大即可确定． 【详解】解：当时，， 又∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， 故当时，x的取值范围是． 故答案为：． 10．（2025九年级·四川成都·专题练习）点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小． 判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期末）对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， 该函数的图象在第一、三象限， 故①正确，符合题意； 当时，，即函数的图象经过点， 故②正确，符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而减小， 故③错误，不符合题意； 当时，，当时，， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图像上，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 过作轴，过作轴于，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过作轴，过作轴， ∵ ∴， ∵， ， ， ， ， 顶点，分别在反比例函数与的图象上， ，，即， ． 故答案为：2． 三、解答题 13．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求a的值． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解析式，计算即可． （2）计算对应的函数值，根据函数的增减性，确定函数值的范围即可． 本题考查了图象过点，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， 把点代入， 得， 解得． （2）解：当时，； 当时，． ∴在时，随的增大而减小， 当时， ． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 15．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的图像经过第一、三象限可得，由此即可得； （2）根据反比例函数的增减性可得，再结合即可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． （2）解：对于反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∵这个函数的图像经过第一象限内的两点、且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． 16．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 17．（24-25八年级下·浙江·开学考试）已知反比例函数的图像经过点． (1)如果正比例函数的图像与上述函数的图像没有公共点，那么的取值范围是什么？ (2)如果函数图像上三点的坐标分别是、、，且有，试判断、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式及比较函数值的大小；需注意的知识点为：若反比例函数的比例系数小于0，在同一象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限内，第二象限的点的函数值大． （1）易得反比例函数的比例系数，若与正比例函数没有公共点，则两个函数的比例系数异号； （2）在同一象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限内，第二象限的点的函数值大． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数解析式为，图像在二、四象限， 而与没有公共点，所以的图像在一、三象限， 故有； （2）解：∵函数图像在二、四象限.且在每一象限内，函数随x的增大而增大， ∴而由，得 ， 又由 0<，得 ， 故有  ． 18．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式和点A的坐标； (2)点M是第一象限内的点，且在该反比例函数的图象上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）把代入得到，再利用待定系数法代入反比例函数中即可求解； （2）先求出点C的坐标，再联立一次函数与反比例函数得到点A的坐标，进而可求出和，再根据三角形面积公式可求出点M的纵坐标，即可求解点M的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， ∴， ∴把代入得：， ∴反比例函数解析式为； 由得：， 解得，， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 19．（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 20．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）在函数的学习中，我们经历了从“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现：①当_____时，随的增大而_____（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为_____； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)见解析 (2)①或，增大；② (3)或 【分析】本题考查了描点法画函数图象、中心对称图形、图象法解不等式，正确画出函数图象是解题的关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）观察图象即可解答； （3）当时，即，整理得到，再结合（1）中的图象即可解答． 【详解】（1）解：函数图象如图： （2）解：①当或时，随的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； 故答案为：①或，增大；②； （3）解：当时，即， 整理得：， 由（1）中图象得，当或时，有， 当时，的取值范围是：或． 故答案为：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01反比例函数的图象和性质 月录 A题型建模·专项突破 题型一、根据反比例函数的定义求参数… 题型二比较反比例函数值或自变量的大小… .2 题型三、判断反比例函数的图象和性质 4 题型四、根据反比例函数图象和性质求参数… 7 题型五、反比例函数的图象和性质综合… 9 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、根据反比例函数的定义求参数 1.(25,26九年级上山东阶段练习》已知函数y-是y关于的反比例函数，则m= 2.(25-26九年级上湖南娄底阶段练习)若函数y=(k-1)x+是反比例函数，则k= 3.(2025九年级上北京.专题练习)己知y=(a-1)x-2是反比例函数，则a= 4.(24-25八年级下·全国单元测试)当m=_时，y=(m-1x3m是反比例函数，且它的图像经过第一、 三象限。 题型二比较反比例函数值或自变量的大小 5.(25-26九年级上陕西西安阶段练习)已知点(-2，，(15，(3，都在反比例函数y=12的图像上， 那么、、⅓的大小关系为】 (用“<”连接) 6.(2025候西咸阳模拟预测)若点4(a,),8(2a+1,)均在反比例函数y=（m￥0，x<0)的图象上，且 乃>y2,则a的取值范围是 7.(2425八年级下江苏宿迁期末)在函数y=-口-2(a为常数)的图象上有三点(X,y小、(xy,小、 (x,y3),且x<x3<0<x,则y、、的大小关系是一（用“<”表示）. 8.(24-25八年级下江苏无锡阶段练习)已知P(y),P(,)P(G,)是反比例函数y=6的图像上三点， 且片<<0<⅓，则x,为，x的大小关系是 9.(24-25九年级上广东河源阶段练习)已知点A(x,,B(x,)，C(x,y都在反比例函数y=a+1 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (a是常数)的图象上，且y<<0<,则x,x,x的大小关系用“<”连接为 题型三、判断反比例函数的图象和性质 10.（25-26九年级上山东阶段练习)已知反比例函数y=3,则下列描述不正确的是() A.图象必经过点(-1，-3) B.图象位于第一、第三象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当x>1时，y<3 11.(25-26九年级上辽宁阶段练习)关于反比例函数y=-的描述错误的是() 5 A.图象必经过点-1,5 B.图象位于第二、第四象限 C.当x>-1时，y>5 D.当x>0时，y随x的增大而增大 12.(24-25九年级上山东济南阶段练习)对于反比例函数y=-2024, 下列说法正确的是() A.图象分布在第一、三象限内 B.图象经过点(1,2024 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.若点A(x,,Bx2,y都在该函数的图象上，且x<x2,则>y》2 13.(2425九年级上云南保山期末)对于反比例函数y=+】,下列说法错误的是() A.函数图象位于第一、三象限 B.若A-1,),B(1,y2),C(2,y)是图象上三个点，则y<<y C.函数值y随x的增大而增大 D.P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q,则△OPQ的面积是定值 题型四、根据反比例函数图象和性质求参数 14.(25-26九年级上北京阶段练习)已知反比例函数y=-3,当x<0时，y随x的增大而增大，则的 取值范围是 15.(24-25九年级下江苏泰州阶段练习)若反比例函数y=a-3的图像有一支位于第三象限，则a的取值 范围是 16.(2025九年级上全国专题练习)已知函数y=(m+1)x2m-5是反比例函数，且图象在第二、四象限内， 则反比例函数的表达式为 17.(25-26九年级上全国课后作业)已知反比例函数y=人，其中k>-2,且k≠0,1≤x≤2. 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为 18.(24-25九年级上·安微宿州·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形PQMN的顶点P在直线y=2x上. 顶点Q在函数y=《(k>0,>0)的图象上，M、N两点在x轴上.若点Q的横坐标为3V3,则MN=一 k的值为」 M 题型五、反比例函数的图象和性质综合 19.(2425九年级下贵州资阳阶段练习)已知反比例函数y:2&》的图象所在的每个象限内，y 随x的增大而增大 (1)求k的取值范围： (2)若点(-1,5)在该函数的图象上，求k的值， 20.(24-25九年级上广东期末)已知反比例函数y=k的图象经过点(-2,5). (1)求y与x之间的函数表达式； (②)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ 3)判断点P(。-D是否在这个函数的图象上，说明理由 21.(24-25八年级下江苏南京期末)已知，一次函数y=kx+b与反比例函数5=二的图象交于A2,3), B(m,-1两点 ()求反比例函数和一次函数表达式： (2)若将该反比例函数的图象先向左平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 2.(24-25八年级上湖南常德期末)如图，点A在反比例函数y=《(k≠0)的图像上，4B⊥y轴于点B, 点A坐标为2,4) 3/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B y= ()试求反比例函数解析式： (2)求△AB0的面积 23.(2425九年级上福建福州阶段练习)y=x+L是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如y=ax+b其 函数图像形状酷似双勾，故称对勾函数”，也称勾勾函数”、“海鸥函数”，y=X+,函数图像如下图所示， 根据y=x+二图像对函数y=x+的图像和性质进行了探究。 D -5-4-3-2-1回-12345x 0绘制函数图像：y=冈+问 列表：下表是x与y的几组对应值 1 1 1 -3 2 -1 2 3 2 3 3 10 5 10 10 5 5 5 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 描点： 根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线： 用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将y=+订： 图像补充完整： (2)观察发现： ①写出函数”=+丙的一条性质 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②函数图像与直线y=2有个交点， 所以对应的方程+ -2=0有 个实数根。 (3)分析思考： O方程的x-+K- -2=0的解为 1-乏<0，x的取值范围为 ②不等式+时2 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25八年级下·江苏徐州阶段练习)如果函数y=xm-2是反比例函数，那么m的值是() A.2 B.-1 C.1 D.0 2.(24-25八年级下江苏扬州期末)若点Aa,b)在反比例函数y=3的图象上，则代数式b-4的值为() 1 A.0 B.-2 C.2 D.-1 3.(25-26九年级上安徽合肥阶段练习)反比例函数y=m+2 的图象在每一个象限内，y都随x的增大而 增大，则m的取值范围是() A.m>2 B.m>0 C.m>-2 D.m<-2 4.(25-26九年级上陕西西安阶段练习)反比例函数y=m+1的图象上3个点的坐标分别为 x (-2,)(2,y2),3,),则yyy3的大小关系为() A.<2<y3 B.1<3<y2 C.3<2<y D.3<y<y2 5.(25-26九年级上山东东营阶段练习)已知反比例函数y=4,下列结论中，错误的是() A.其图象经过点(-4，-1) B.其图象位于第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.关于x轴对称 6.(2025吉林长春模拟预测)已知点A(-2,y)和点B(m,)均在反比例函数y=(k是常数，k<0)的 图象上，若m>3,则下列结论正确的是() A.当<-1 B.4=-1 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C. 丛>-1 2 D.无法确定为与-1之间的关系 二、填空题 7.(25-26九年级上湖南娄底阶段练习)若函数y=(k-1x2是反比例函数，则k= 8.(24-25九年级上广东广州期中)已知y=(m+1)x+2是反比例函数，则函数的图像在第 象限. 9.《2425八年级下浙江衢州期末)对于反比例函数y=10,当y≥4时，x的取值范围是 10.(2025九年级四川成都专题练习)点M(,和点N(x,在反比例函数y=-2k+3(k为常数) x 的图象上，若x<0<x2,则片，，0的大小关系为 11.(24-25八年级下江苏南京期末)对于反比例函数y=6,以下四个结论：①函数的图象在第一、三象 限；②函数的图象经过点-2，-3)；③y随x的增大而减小；④当x>-3时，y<-2.其中所有正确结论的序 号是 12.(24-25九年级上·福建福州阶段练习)如图，RtaA0B中，∠AOB=90°，顶点A,B分别在反比例函数 y=x>0与y=-4x<0)的图像上，则B的值为 4 x OA 三、解答题 13.(24-25八年级下河南新乡期中)已知反比例函数y=18的图象经过点4(a,-6). (1)求a的值. (2)当-6<x<-2时，求y的取值范围。 14.（25-26九年级上河北石家庄·开学考试)已知y=(m-2)xm-5. (I)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (②)当m为何值时，y是x的反比例函数？当y=8时，求x的值. 15.(2324九年级上陕西成阳期末)已知反比例函数y=《二6的图像经过第一、三象限。 (1)求k的取值范围： 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若a>0,此函数的图象经过第一象限内的两点(a+5,)、(2a+1,y2)且y<2,直接写出a的取值范围. 16.(24-25八年级下河南新乡期中)已知反比例函数y=k- ,k为常数，k≠1. ()若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若k=17,试判断点B(8,2),C(4,5)是否在这个函数图象上，并说明理由. 17.(2425八年级下浙江开学考试)已知反比例函数y=的图像经过点4-1,2). （①如果正比例函数y=x的图像与上述函数y-上的图像没有公共点，那么，的取值花围是什么？ 2)如果函数y=《图像上三点的坐标分别是(x,y小、(x,y)、(,y,且有x<<0<,试判断、 、⅓的大小 18.(24-25九年级上陕西铜川期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y,=x-3的图象与反比例函数 片=(k>0)的图象交于A、Bb,-5)两点，与x轴交于点C. (1)求反比例函数的解析式和点A的坐标： (2)点M是第一象限内的点，且在该反比例函数的图象上，若SAMOC=3SA4oc,求点M的坐标 2 19.(2025宁夏固原·三模)小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y= 的图 象与性质.其探究过程如下： 6 5 4 3 2 -4-3-2-10 1 23456 6 (1)绘制函数图像 719 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -3 -2 -1 1 1 2 2 2 2 2 y 3 入 -4 m -2 3 ①列表： 下表是x与y的几组对应值，其中m= ②描点：根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出各点： ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整. (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ② 2 (3)运用图象和函数性质，当-2< <0时，写出自变量x的取值范围。 20.(24-25九年级上·江西鹰潭阶段练习)在函数的学习中，我们经历了从“函数表达式-画函数图象-利用函 数图象研究函数性质利用图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数y=- 4 的图象 x-1 性质。 (1)根据题意，列表如下： -3 -1 0 2 3 1 2 -4-2-1 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； yA O (2)观察图象，发现：①当 时，y随x的增大而 （填“增大”或“减少”)； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 ； (3)函数y=- +2的图象可由函数y=-4的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数 4 x-1 x-1 y、4 x-1 +2图象，直接写出当y之-2时，x的取值范围是 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9/9