第四章 一次函数动点专题讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025秋季初二一次函数动点专题 【复习巩固】 1、 一次函数图象综合大题： （1） 长度、面积问题； （2） 等腰三角形； （3） 直角三角形； （4） 等腰直角三角形； （5） 将军饮马最值问题。 【精准突破】 一、长度问题 例1：（用坐标表示长度）如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． (1)求直线的函数关系式和点的坐标； (2)当时，求点的横坐标和的面积； (3)已知点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 例2：如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、面积问题 例1：（动点在坐标轴上）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2：（动点在一次函数上）如图，直线与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标，点A的坐标为．点是直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）． (1)求k的值； (2)在点P运动的过程中，求出的面积S与x的函数关系式． (3)若的面积为，求此时点P的坐标． 例3：（割补法求面积）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点P在线段上，且，求点P的坐标； (3)当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值． 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； (3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，点P是线段上任意一点，设点P的横坐标为n，请解答下列问题： (1)直接写出直线的函数关系式； (2)连接，设的面积为S，求S与n的函数关系式； (3)当面积是面积的时，求点P的坐标； (4)连接，当线段最短时，求n的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．P是线段上的一动点（点与点不重合），动点从原点出发沿轴正方向运动，过点作直线平行于轴与相交于点．设点的运动距离为，点关于直线的对称点为． (1)点的坐标为______； (2)求为何值时，； (3)连接，若的面积为S，求S与的函数关系式． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点 (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积． (3)在上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 三、直角三角形 例1：如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． （1）求m和b的值； （2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 四、等腰三角形 例1：如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 当的面积为时，求的值； 在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，请直接写出的取值范围． 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C． （1）求直线n的函数表达式； （2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标； （3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式． 3．如图，直线：，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为时，求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点Q的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． (1)求点、、的坐标； (2)求的面积； (3)轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 五、等腰直角三角形 例1：（构造三垂直全等解题）如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线上一点，若是以为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是 ．    例2：如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒． (1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； (2)当秒时，的面积是11，求此时点的坐标； (3)如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【实战演练】 1．如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的解析式和点B的坐标； (2)求的面积（用含n的代数式表示）； (3)当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求点、点、点的坐标，并求出的面积； (2)在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 六、将军饮马最值问题 例1：如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数的表达式； (2)点D是一次函数图象上的一点，且的面积是4，求点D的坐标； (3)点P是y轴上一点，当的值最小时，若存在，点P的坐标是______． 【实战演练】 1．如图，在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度），若点的坐标为，点的坐标为，请按要求解决下列问题：    (1)在图中建立正确的平面直角坐标系； (2)点的坐标为_____________； (3)的面积为_____________； (4)如果的面积为1，且点在轴上，则点的坐标为_____________； (5)如果的周长最小，且点在轴上，则的周长最小值为_____________，点的坐标为_____________． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线垂直于轴上点，直线与直线交于点． (1)直线的解析式为 ，点的坐标为 ； (2)若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； (3)若点是轴上一个动点，当与点、点构成的三角形周长最小时，求点的坐标． (4)若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 七、其它问题 1．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 2．如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴围成的的周长为12，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴的点C处． (1)求k的值； (2)求点C的坐标和直线的解析式． 2025秋季初二一次函数动点专题 【复习巩固】 2、 一次函数图象综合大题： （6） 长度、面积问题； （7） 等腰三角形； （8） 直角三角形； （9） 等腰直角三角形； （10） 将军饮马最值问题。 【精准突破】 一、长度问题 例1：（用坐标表示长度）如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． (1)求直线的函数关系式和点的坐标； (2)当时，求点的横坐标和的面积； (3)已知点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的横坐标为或，的面积为 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出与，确定出直线解析式，与直线联立求出坐标即可； （2）设的横坐标为，代入直线与直线解析式表示出与的纵坐标，进而表示出的长，求出的长，根据求出的值进而求出面积即可； （3）分点在轴上和点在轴上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）直线经过点，，点， ，解得：， 直线解析式为， 联立和并解得：， 点的坐标为； （2），， ， 设点的横坐标为，则点坐标为， 轴， 点坐标为， ， 解得：或18， 当时，； 当时，同理可得：； 综上，的面积为； （3）①当点在轴上时，过作轴于点，设点坐标为， 当点在轴负半轴上时，如图1， ， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，解得， ， 点的坐标为； 当点在轴正半轴上时，如图2， 同理得， ，， ，解得， ， 点的坐标为； ②当点在轴上时，如图3， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， 点，点为直线上一动点， ， ， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，待定系数法求直线解析式，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质． 例2：如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，从而得到，然后根据的面积为3，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵轴，交直线于点， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵的面积为3， ∴，即， 解得：， ∴点的坐标为． 故选：C 二、面积问题 例1：（动点在坐标轴上）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)， (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先求得点和点的坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点的坐标； （3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， 令，则， ， ， 令，则， 解得， ， ， 在中，； （2）解：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （3）解： ， ， 点在轴上，， ， 即， 解得， 点点上方或点下方， 点的坐标为或． 例2：（动点在一次函数上）如图，直线与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标，点A的坐标为．点是直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）． (1)求k的值； (2)在点P运动的过程中，求出的面积S与x的函数关系式． (3)若的面积为，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为(，)或(，) 【分析】（1）直接把点E的坐标代入直线求出k的值即可； （2）过点P作于点D，用x表示出的长（注意分情况讨论），根据三角形的面积公式即可得出结论； （3）把的面积为代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线一次函数解析式中即可得出结论． 【详解】（1）解：把点E的坐标代入直线得， 解得. ∴； （2）过点P作于点D， ∵点是直线上的一个动点， ∴当时，，当时， ∵点A的坐标为， ∴当时，， 当时，， 综上可得：； （3）∵的面积为， ∴当时，， 解得； 将代入，得， ∴P(，)； 当时，， 解得； 将代入，得， ∴P(，)； 综上可得：点P的坐标为(，)或(，)． 【点睛】题目主要考查一次函数与三角形综合问题，包括确定函数解析式，求函数值及相应点的坐标，理解题意，列出相应函数关系式是解题关键． 例3：（割补法求面积）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点P在线段上，且，求点P的坐标； (3)当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值． 【答案】(1)； (2)（，） (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设点P坐标为，根据即可求解； （3）作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A在y轴上，直线过点A， ∴点A坐标为， 将点和点代入直线， 得， 解得， ∴直线AB的函数表达式为； （2）解：设点P坐标为，    令，得， ∴点C坐标为， ∵点，点， ∴，，， ∴， ∵点P在线段上， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点P坐标为； （3）解：设点P纵坐标为， ∵，点P是x轴上方的一个动点， ∴， 解得， 作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，    则的最小值即为的长， ∵点B坐标为， ∴点B′坐标为， ∴， ∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度， ∴s， ∴t的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键． 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； (3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)，的解析式为 (2)或 (3)或或1 【分析】（1）设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，即可求解； （2）设，进而根据题意列出方程，解方程求解即可； （3）根据题意，则或，进而即可求得的值 【详解】（1） 与交于点． 设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，可得， ，， 解得，， 的解析式为 （2）设， ，令，则，令，则 ， 又 的面积是面积的2倍， 即 解得或 或 （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形， 或 当过点C（2,4）时,将点C坐标代入y=kx＋2并解得:k=l, 或或1 【点睛】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，点P是线段上任意一点，设点P的横坐标为n，请解答下列问题： (1)直接写出直线的函数关系式； (2)连接，设的面积为S，求S与n的函数关系式； (3)当面积是面积的时，求点P的坐标； (4)连接，当线段最短时，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 (4) 【分析】（1）由待定系数法求直线的函数关系式即可； （2）由直线的函数关系式得出，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）求出的面积，由（2）的函数关系式即可得点P的坐标； （4）根据垂线段最短得，当时，线段最短，根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，，解得， ∴直线的函数关系式为； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知， ∴，解得， ∴点P的坐标为； （4）解：解：由勾股定理得，， 由题意知，当时，线段最短，如图，    ∵， ∴，解得，， ∴由勾股定理得， 如图，过点P作于D， ∵， ∴，解得， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，垂线段最短的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．P是线段上的一动点（点与点不重合），动点从原点出发沿轴正方向运动，过点作直线平行于轴与相交于点．设点的运动距离为，点关于直线的对称点为． (1)点的坐标为______； (2)求为何值时，； (3)连接，若的面积为S，求S与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称性，求出点M的坐标即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为：，根据，求出直线的解析式为，联立，求出点Q的坐标为，即可得出a的值； （3）分三种情况：当，即点M在点C左侧时，当时，点M与点C重合时，当，即点M在点C右侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为：， 当时，直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴此时点Q的坐标为， ∴此时． （3）解：把代入得：， ∴， 当，即点M在点C左侧时，如图所示： ， ∴； 当时，点M与点C重合，； 当，即点M在点C右侧时，如图所示： ， ∴； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)， (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先求得点和点的坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点的坐标； （3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， 令，则， ， ， 令，则， 解得， ， ， 在中，； （2）解：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （3）解： ， ， 点在轴上，， ， 即， 解得， 点点上方或点下方， 点的坐标为或． 5．如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点 (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积． (3)在上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)在上存在一点，使的面积是面积的，或 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）将代入得到，即可求出的值，得到，设直线的解析式为：，将的坐标代入解析式，得到，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算即可； （3）由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； （3）解： 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 三、直角三角形 例1：如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先利用待定系数法解得直线的关系式；求得点坐标，设点， 当，易得，利用面积公式求解即可； （2）然后设点，分为斜边、为斜边、为斜边三种情况分别进行分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线的关系式为， 可得，解得， ∴直线的关系式为， 令，可得， ∴， 令，可得， 解得，即， ∴，，，， 如下图，设点，    根据题意，， 则有，即点在之间， ∴， 解得， 此时， ∴； （2）由（1）可知，，设点， 如下图，      ∵为直角三角形， ∴①当为斜边时，即有， ∴； ②当为斜边时， ，， 此时可有， 解得； ∴； ③∵， ∴不可能为斜边． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析并解决问题． 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． （1）求m和b的值； （2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m的值是4，b的值是；（2）①5；②存在，4或6 【分析】（1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值； （2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据的面积为12，即可得到t的值；②先写出使得为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题． 【详解】解：（1）∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵函数的图象过点， ∴， 解得， 即m的值是4，b的值是； （2）①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为， ∴， ∵的面积为12， ∴， 解得，． 即当的面积为12时，t的值是5； ②存在，当t＝4或t＝6时，是直角三角形，理由如下： 第一种情况：当时， ∵，， ∴， ∵， 即， 解得，； 第二种情况：当时，， ∵点，点，点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 综上所述，当或时，是直角三角形 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 四、等腰三角形 例1：如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 当的面积为时，求的值； 在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) ；存在，或或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）根据点在直线上求得点坐标再根据点在函数的图象上，可以得到的值； （2）根据题意可得，进而根据三角形面积即可求解；存在，分三种情况讨论求解即可； （3）结合图象分析一次函数与不等式的关系即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 点， ∴函数的图象过点， ，得， 即的值是，的值是； （2）解：①∵函数的图象与轴，轴分别交于点，， ∴点，点， 点的坐标为：， 点， ∵函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为 由题意可得，， 则， 解得：； 存在 点，， ∵函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， ， 设点的坐标为： 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：（舍去）或， 故； 当时， 则， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形； （3）解：当时， 根据图像，可得：； 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，t的值为8或或或12． 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C． （1）求直线n的函数表达式； （2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标； （3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式． 【答案】（1）y＝；（2）C（0，4）；（3）y＝． 【分析】（1）用待定系数法求直线n的函数解析式； （2）根据△ABC的面积为9可求得AC的长，可得出结论； （3）过点B作BD⊥y轴于点D，则CD＝AD＝4，得C（0，6），设直线l的解析式为：y＝kx+b，将B，C代入即可． 【详解】解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b， ∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2），点B（3，2）， ∴，解得：， ∴直线n的函数解析式为：y＝； （2）∵若△ABC的面积为9， ∴9＝， ∴AC＝6， ∵OA＝2， ∵点C在y轴正半轴， ∴C（0，4）； （3）当AB＝BC时，过点B作BD⊥y轴于点D， ∴CD＝AD＝4， ∴C（0，6）， 设直线l的解析式为：y＝kx+b， 将B（3，2），C（0，6）代入得： ， 解得， ∴直线l的解析式为：y＝． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题． 3．如图，直线：，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为时，求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）对于，求出时，，时，则，即可求出A、B的坐标； （2）设直线交y轴于点H，先求出点C的坐标，设直线的表达式为：，则点H的坐标为，根据求出进而得到直线的解析式为，由此求解即可； （3）设点Q的坐标为，利用勾股定理得到，，，再分当时，，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则，令，则， ∴； （2）解：设直线交y轴于点H， ∵点C与点A关于y轴对称． ∴， 设直线的表达式为：， 对于，当时，， ∴点H的坐标为， ∴ ， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）由（2）知，点P的坐标为， 设点Q的坐标为， 由勾股定理得：，，， 当时，， 解得或（舍去）， ∴点Q的坐标为； 当时，， ∴， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，求平方根的方法解方程，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． (1)求点、、的坐标； (2)求的面积； (3)轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或 或 【分析】（1）直线中，分别令、，确定、坐标，运用勾股定理计算，根据折叠性质，，确定的长即可确定点的坐标； （2）证明，根据计算即可； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在中，，， 则． 由折叠的性质，可知：，，， ， 点的坐标为． （2），，，， ． 又， 在和中， ， ， 则； （3）存在，理由： 设点， 由点、、的坐标得：，，， 当时，则， 解得：， 即点的坐标为：； 当或时，同理可得：或， 解得：（舍去）或6或， 即点的坐标为：或或； 综上，点的坐标为：或或 或． 五、等腰直角三角形 例1：（构造三垂直全等解题）如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线上一点，若是以为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是 ．    【答案】 【分析】过P作轴于N，过A作于M，由，可得，即得． 【详解】解：∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∴， 当P为直角顶点时，过P作轴于N，过B作于M， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    例2：如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒． (1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； (2)当秒时，的面积是11，求此时点的坐标； (3)如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握分类讨论思想的运用． （1）如图1，过点作于，由等腰直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2，②当点在轴的负半轴时，如图3，根据三角形的面积差列方程可解答； （3）分三种情况：如图4和图5和图6，作辅助线构建全等三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图1，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ， 连接， 分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当点在轴的负半轴时，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍）； 综上，点的坐标为； （3）解：存在， 分三种情况：①如图4，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时点； ②如图5，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， ， ， ， ， ， ； ③如图6，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， ， ， ， ， ， ； 综上，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为． 【实战演练】 1．如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的解析式和点B的坐标； (2)求的面积（用含n的代数式表示）； (3)当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据求解即可； （3）分以为腰和底边两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线：交y轴于点， ∴， ∴直线为， 当时，， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴D的横坐标为1， 当时，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：根据题意，得， 解得， ∴， ①以为腰时， 当B为直角顶点时，如图，过点C作轴于点H， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点； 当P为直角顶点时，如图，过点C作于点G， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点； ②以为底时，如图，过点C作于点G，作轴于点H， 则，， ∴， ∴， ∴∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴点； 综上，符合题意的点C坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质等知识，正确进行分类讨论是解决第三问的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求点、点、点的坐标，并求出的面积； (2)在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①，；②，， 【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交与点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可； ②分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， ∵直线与交于点C， 联立得方程组：， 解得：， 故点； 则的面积； （2）解：①设点、的坐标分别为、 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为，； ②设、、的坐标分别为、、， 当时，如图：   ，， ，，， ， ，， 即：， 解得：， ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 综上，点的坐标为或或． 六、将军饮马最值问题 例1：如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数的表达式； (2)点D是一次函数图象上的一点，且的面积是4，求点D的坐标； (3)点P是y轴上一点，当的值最小时，若存在，点P的坐标是______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点 ，再代入正比例函数，即可求解； （2）设点 ，先求出，再由的面积是4，可得到，即可求解； （3）取点C关于y轴的对称点，则，可得到点P位于与x轴的交点时，最小，然后求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）当时，， ∴点 ， ∴，即， ∴正比例函数的表达式为 ； （2）设点 ， 当时，， ∴点 ， ∴， ∵的面积是4， ∴ ， 解得：或2， ∴点D的坐标为或 ； （3）存在，理由如下： 如图， 取点C关于y轴的对称点，则, 即点P位于与x轴的交点时，最小， ∵点 ， ∴点， 设直线的解析式为 ， 把点，代入得 ： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 【实战演练】 1．如图，在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度），若点的坐标为，点的坐标为，请按要求解决下列问题：    (1)在图中建立正确的平面直角坐标系； (2)点的坐标为_____________； (3)的面积为_____________； (4)如果的面积为1，且点在轴上，则点的坐标为_____________； (5)如果的周长最小，且点在轴上，则的周长最小值为_____________，点的坐标为_____________． 【答案】(1)见详解 (2) (3)4 (4)或 (5)， 【分析】（1）根据点的坐标，先确定原点的位置，再画出坐标轴即可； （2）结合原点的位置，确定点的坐标即可； （3）利用割补法计算的面积即可； （4）设点坐标为，根据三角形面积公式，可得，求解即可获得答案； （5）作点关于轴的对称点，由对称的性质可得，连接，设交轴于点，根据“两点之间线段最短”可知此时的周长最小；利用待定系数法求得直线的解析式，进而确定点的坐标，再利用勾股定理计算，的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图所示平面坐标系即为所求；    （2）由图可知，点的坐标为， 故答案为：； （3）， 即的面积为4， 故答案为：4； （4）设点坐标为， 根据题意，可得， ∴， ∴， ∴或5， ∴点坐标为或； （5）由（2）可知，点的坐标为， 作点关于轴的对称点，如下图，    则有， 由对称的性质可得，， 连接，设交轴于点， 此时的周长最小， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得 ，解得， ∴直线的解析式为， 令，即有， 解得， ∴点的坐标为， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题．作点关于直线的对称点，关于轴的对称点连接交直线于，交轴于，此时的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接交直线于，交轴于，如图： ，， ， 、、、四点共线， 最小，即周长最小，最小值为的长度， 由知，， ， 周长最小为， 故答案为：． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线垂直于轴上点，直线与直线交于点． (1)直线的解析式为 ，点的坐标为 ； (2)若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； (3)若点是轴上一个动点，当与点、点构成的三角形周长最小时，求点的坐标． (4)若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)，，， 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式、一次函数应用及轴对称的性质， （1）待定系数法求出表达式，再根据一次函数性质求出点的坐标； （2）设点P的坐标为，分两种情况：当点P在直线左侧或当点P在直线右侧时，分别求出即可； （3）设N的坐标为，先求出，，再分类讨论求出即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，则由题意得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线垂直于轴上点，，直线与直线交于点． 当时，， 点的坐标为； （2）连接，如下图， 点在直线上， 设点P的坐标为， 当点P在直线左侧且时， ， ， 解得：， 当时，， ； 当点在直线右侧且时， ， ， ， 解得：， 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，连接， ， 周长为，此时周长最小， 设直线的解析式为，则由题意得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， 点的坐标为； （4）点是直线上一个动点， 设N的坐标为， ， ，， 当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时， 当时，， ， 解得：或， （不合题意舍去）或； 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为，，，． 七、其它问题 1．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴围成的的周长为12，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴的点C处． (1)求k的值； (2)求点C的坐标和直线的解析式． 【答案】(1)k的值为4 (2)；直线的解析式为 【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征表示出，，则利用勾股定理计算出，再根据三角形周长公式列方程求解即可； （2）设，由（1）得，，，先根据折叠的性质得到，，则，从而得到C点坐标为，接着在中利用勾股定理得到，解方程求出t得到D点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）当时，，解得，则， 当时，，则， ∵， ∴， 解得， 即k的值为4； （2）设，由（1）得，，， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴的点C处， ∴，， ∴， ∴C点坐标为， 在中，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $