4.4 一次函数的应用（第1课时）课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用，核心讲解用待定系数法确定一次函数表达式。课堂导入通过回顾一次函数定义、图象特征及画法，从“已知两点如何求解析式”的问题切入，衔接旧知与新知，为学生搭建从概念理解到方法应用的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如斜坡下滑速度、弹簧长度变化）为载体，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过“设表达式—列方程—求解—还原”的待定系数法步骤培养数学思维。结合图象与代数运算深化数形结合，总结明确条件（正比例需1个条件，一次函数需2个条件），帮助学生形成模型意识，也为教师提供层次清晰、可操作性强的教学资源。

一次函数的应用 第四章 一次函数 第1课时 北 东 60° 西 南 B A 1.了解两个条件可确定一次函数；一个条件确定正比例函数. 2.能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式； 3.从一次函数“数”的角度入手，转移到“形”，让学生进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力. 4.初步体会函数与方程的联系. 重点 难点 学习目标 若两个变量 x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称 y是x的一次函数；图象是一条直线. 一次函数： 思考 说说一次函数的定义，一次函数的形状. 情境导入 当b<0时，向下平移. 当b>0时，向上平移； 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0，b)，可以由正比例函数y=kx的图象平移|b|个单位长度得到. 常数项b决定了一次函数的图象与y轴交点的位置. 与y轴的交点 上加下减 思考 直线y=kx+b与y=kx有怎样的位置关系呢？ 情境导入 点(0，b)和点 ( ，0)或(1，k+b)连线即可. 如果已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，怎么求出它的解析式呢？ 思考 最快捷、最正确地画出一次函数的图象时，通常在直角坐标系中选取哪两个点？ 情境导入 解：(1)设v=kt， (2)当t=3时，v=2.5×3=7.5 (m/s). (2, 5) v/(m/s) t/s O 1 2 3 4 65 4 3 2 1 (1)请写出v与t的关系式. (2)下滑3 s时物体的速度是多少？ ∴v=2.5t. 将点(2，5)代入得5=2k，k=2.5 ∴下滑3 s时物体的速度是7.5m/s. 图象过原点，所以是正比例函数. 探究 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如右图所示： 探究新知 y=kx k 确定一次函数的表达式呢？ y=kx+b k b 要求出k值，只需要一个点的坐标. 要求出k、b值，需要两组对应变量值(两点的坐标). 想一想 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 探究新知 解：设y=kx+b(k≠0)，根据题意，得： 14.5=b， ① 16=3k+b， ② 将①代入②，得：k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5. 14.5 cm 16 cm 当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5(cm). 即所挂物体的质量为4 kg时弹簧长度为16.5cm. (0，14.5) (3，16) 探究 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 探究新知 设一次函数表达式. 根据已知条件列出方程. 解方程 根据求出的k，b写出表达式. 这种求函数表达式的方法叫做待定系数法. 探究 怎样求一次函数的表达式？ 探究新知 探究 某根蜡烛燃烧前长30cm；燃烧时，剩下的长度y(单位：cm)是燃烧时间(单位：h)的一次函数.当这跟蜡烛燃烧2h时，其长度为12cm. (1)写出y与x之间的关系式； 解： (1)设y=kx+b(k≠0)，根据题意，得： 30=b ① 12=2k+b ② 将①代入②，得：k=-9. 所以y=-9x+30. 探究新知 探究 某根蜡烛燃烧前长30cm；燃烧时，剩下的长度y(单位：cm)是燃烧时间(单位：h)的一次函数.当这跟蜡烛燃烧2h时，其长度为12cm. (2)这跟蜡烛最多能燃烧多长时间？ 解：当y=0时，0=-9x+30； 解得x= . 所以这跟蜡烛最多能燃烧 小时. 探究新知 (2)代：把点的坐标代入一次函数的表达式，列出关于k、b的方程； (1)设：设一次函数表达式y=kx+b或y=kx； (3)解：解方程求出k、b； (4)还原：把k、b的值代入一次函数的表达式. 归纳 求一次函数表达式的步骤： 探究新知 解：把点A、B代入y=kx+b得： 2k+b=0 ① b=2 ② 将②代入①，得：k=-1， 所以这个函数的表达式为 y=-x+2. 把点C代入y=-x+2得：3=-m+2，解得m=-1. 做一做 在直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过三点A(2，0)，B(0，2)，C(m，3)，求这个函数的表达式，并求m的值. 探究新知 解：设直线l对应的正比例函数的关系式为y=kx(k≠0). y x O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 l ∵直线l经过点(-1，3)，∴3=-k ，即k=-3， ∴正比例函数的关系式为y=-3x. 当x=-4时，y=12，则点A(-4，12)在该函数的图象上； 当x=3时，y=-9，则点B(3，-9)也在该函数的图象上. 过原点 (-1，3) -1 -2 -3 例1 如图，直线l是某正比例函数的图象，点A(-4，12)，B(3，-9)是否在该函数的图象上? 应用新知 解：∵一次函数图象与直线y=-x+3平行， ∴设y=-x+b，将点A(2，0)代入得， 0=-2+b，解得：b=2 所以这个函数的表达式为y=-x+2. 图平行，k相同 例2 若一次函数的图象经过点A(2，0)且与直线y=-x+3平行，求其表达式. 应用新知 A -2=-k 2.如图，直线AB对应的函数表达式是( 　) A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=-2x+4 D.y=2x+4 x y o 2 4 A B C 1.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(-1，-2)，则这个正比例函数的关系式为( 　) A. y=2x B. y=-2x C. D. 课堂练习 (1)b=____ ， k=______； (2)当x=30时，y=______；(3)当y=30时，x=______. 2 -18 -42 l x y 3. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空： 课堂练习 解：把点A代入解析式得：1=2×(-1)+b. 解得 b=3，∴一次函数的关系式为y=2x+3. 当x=1时，y=5，则点B(1，5)在该函数的图象上； 当x=-10时，y=-17，则点C(-10，-17)也在该函数的图象上； 当x=10时，y=23≠17，则点D(10，17)不在该函数的图象上. 4.若一次函数y=2x+b的图象经过A(-1，1)，则点B(1，5)，C(-10，-17)，D(10，17)是否在该函数的图象上？ 课堂练习 (2)当y=0时，4x+1=0，解得x= 解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). ∵图象经过点(0，1)，∴b=1. 把点(-1，-3)代入关系式得，-3=-k+1. 解得k=4. ∴一次函数的关系式为y=4x+1. ∴一次函数与x轴的交点坐标为 ( ，0). 5.已知一次函数的图象经过点(0，1)和(-1，-3). (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数与x轴的交点坐标. 课堂练习 总结归纳 $