1.1 数列的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．1　数列的概念 第一课时　数列的概念与通项公式 [素养目标]　1．了解数列的概念及其表示方法．　2．掌握数列的通项公式及应用．　3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．　4．了解数列与函数的关系．　5．培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 一、数列的有关概念 1．数列的概念及一般形式 2．数列的分类 (1)有穷数列：项数有限的数列． (2)无穷数列：项数无限的数列． 理解1　数列的概念与分类 【典例1】　(1)下列说法中不正确的是(　　) A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．1，－3，，－7，－8，10不是一个数列 C．数列0，－1，－2，－4，…是无穷数列 D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列 【解析】　B　选项A，D显然正确；对于选项B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于选项C，数列只给出前四项，后面还有无穷多项，所以是无穷数列． (2)已知下列数列： ①2015，2016，2017，2018，2019，2020，2021； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1，0，－1，…，sin，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1． 其中有穷数列是________，无穷数列是________．(填序号) 【解析】　①⑥为有穷数列，②③④⑤为无穷数列． 【答案】　①⑥　②③④⑤ 数列及其分类的判定方法 判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定顺序排列的数． 1．给出下列数列： ①2016～2023年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列：82，93，105，119，129，130，132，135； ②无穷多个构成数列，，，，…； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…． 其中，有穷数列是________，无穷数列是________． 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列． 答案：①　②③ 二、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 理解2　根据数列的前几项写出通项公式 【典例2】　根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)－3，0，3，6，9，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)2，0，2，0，2，0，…； (4)－，，－，，－，，…． 【解】　(1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…． ∴an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N＋)． (2)a1＝2＋1，a2＝4＋1＝22＋1，a3＝8＋1＝23＋1，a4＝16＋1＝24＋1，…，∴an＝2n＋1(n∈N＋)． (3)a1＝1＋1，a2＝1－1，a3＝1＋1，a4＝1－1，…． ∴an＝1＋(－1)n－1(n∈N＋)． (4)a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，…，∴an＝(－1)n(n∈N＋)． 根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系． 具体可参考以下几个思路： (1)先统一项的结构，如都化成分数，根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号． (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，3，5，7，…； (2)－，－，－，－，…； (3)2，5，10，17，…； (4)－，，－，，…； (5)3，33，333，3333，…； (6)－1，0，－1，0，…． 解：(1)这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，因此它的一个通项公式是an＝2n－1． (2)分别观察这个数列前4项的分子和分母：分子为偶数列：2，4，6，8；分母为1×3，3×5，5×7，7×9；符号均为负．因此它的一个通项公式是an＝－． (3)观察这个数列的前4项，若各项分别减1，则变为1，4，9，16，所以它的一个通项公式为an＝n2＋1． (4)数列前4项的分母分别为2，3，4，5，其分子为1，符号正负相间，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n． (5)联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列的一个通项公式为an＝(10n－1)，即an＝(10n－1)． (6)an＝是此数列的一个通项公式．由于－1＝－－，0＝－＋． 联想到(－1)n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成下列形式an＝． 三、数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以