第3章 一元一次不等式（20个高频易错考点训练 共60题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册章节复习培优专项训练（2024新教材）

第3章 一元一次不等式（易错题考点集训） 【20个高频易错考点 共60题】 易错考点01 不等式的性质 1 易错考点02 求一元一次不等式的解集 2 易错考点03 求一元一次不等式的整数解 3 易错考点04 在数轴上表示不等式的解集 4 易错考点05 求一元—次不等式解的最值 5 易错考点06 解 |x|≥a型的不等式 6 易错考点07 用一元一次不等式解决实际问题 8 易错考点08 用一元一次不等式解决几何问题 9 易错考点09 求不等式组的解集 10 易错考点10 解特殊不等式组 11 易错考点11 求一元一次不等式组的整数解 13 易错考点12 由一元一次不等式组的解集求参数 14 易错考点13 由不等式组解集的情况求参数 15 易错考点14 不等式组和方程组结合的问题 16 易错考点15 一元一次不等式组的其他应用 17 易错考点16 不等式组的工程问题 18 易错考点17 不等式组的经济问题 19 易错考点18 不等式组的分配问题 21 易错考点19 不等式组的方案选择问题 23 易错考点20 不等式组的阶梯收费问题 24 易错考点01 不等式的性质 1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点D在边上，下面两个问题中请你选择一个加以证明(写出推理过程)． (1)求证：； (2)若， 试比较与的大小． 解：我选择的是 (填序号) 证明： 3．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 易错考点02 求一元一次不等式的解集 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算题： (1)解方程组：； (2)解不等式． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解不等式和方程组： (1) (2) 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 易错考点03 求一元一次不等式的整数解 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中x是的最大整数解． 8．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 9．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）整式的值为，若的取值范围如图所示，求的负整数值． 易错考点04 在数轴上表示不等式的解集 10．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）解下列一元一次不等式并把它的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）关于x的一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·四川眉山·期末）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 易错考点05 求一元—次不等式解的最值 13．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 14．（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 15．（21-22七年级下·浙江金华·期末）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． (3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？ 易错考点06 解 |x|≥a型的不等式 16．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 17．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 18．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 易错考点07 用一元一次不等式解决实际问题 19．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元． (1)求A型号和B型号每件护目灯的售价； (2)若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？ 20．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）关于x的不等式①与②． (1)若两个不等式的解集相同，求a的值； (2)若不等式②的解都是不等式①的解，求a的取值范围． 21．（2024·广东广州·二模）小丽计划节省部分零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有元，并计划从本月起每月存钱元，直到她至少存有元，设个月后小丽至少有元，则可列出不等式为（ ） A． B． C． D． 易错考点08 用一元一次不等式解决几何问题 22．（20-21七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（    ） A．山 B．山 C．山 D．山 23．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号） 24．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 易错考点09 求不等式组的解集 25．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 26．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 27．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 易错考点10 解特殊不等式组 28．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）（1）解方程组； （2）解不等式组． 29．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 30．（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 易错考点11 求一元一次不等式组的整数解 31．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）解下列关于x的不等式： (1)； (2)． 32．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 33．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 易错考点12 由一元一次不等式组的解集求参数 34．（19-20八年级上·浙江温州·期中）（1）解不等式； （2）解不等式组，并求出所有正整数解． 35．（23-24八年级下·四川成都·期中）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 36．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 易错考点13 由不等式组解集的情况求参数 37．（25-26八年级上·安徽·开学考试）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A． B． C． D．或 38．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 39．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 易错考点14 不等式组和方程组结合的问题 40．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是 （填写序号即可） 易错考点15 一元一次不等式组的其他应用 43．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围． 44．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于的方程组的解满足条件，，求的取值范围． 45．（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)化简： (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 易错考点16 不等式组的工程问题 46．（24-25九年级下·四川德阳·期中）为防控新冠疫情，我区某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温枪的单价比乙品牌额温枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌额温枪的数量是用4000元购买乙品牌额温枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌额温枪的单价； (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的额温枪共80个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌额温枪个，总费用为元，则该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 47．（25-26八年级上·重庆·开学考试）某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，共需费用元；台型空调和台型空调，共需费用元． (1)求型空调和型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购、型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 48．（25-26八年级上·重庆长寿·开学考试）随着“低碳生活，绿色出行”理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建个地下充电桩比新建个地上充电桩多万元，新建个地上充电桩和个地下充电桩共需要万元． (1)求该小区新建个地上充电桩，1个地下充电桩各需要多少万元． (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，设建造个地下充电桩，求出的取值范围． (3)若地上个充电桩占地面积平方米，地下个充电桩占地面积平方米，考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（）的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为平方米，求出的最小值以及取得最小值时的具体方案． 易错考点17 不等式组的经济问题 49．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 50．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积； （2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元． ①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元； ②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用． 51．（2024·河南平顶山·中考模拟）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 易错考点18 不等式组的分配问题 52．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 53．（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 54．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元． (1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？ (2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？ 易错考点19 不等式组的方案选择问题 55．（2025八年级上·全国·专题练习）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本； (2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案． 56．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 57．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 易错考点20 不等式组的阶梯收费问题 58．（2024·湖南·模拟预测）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台． (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 59．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 60．（24-25八年级下·贵州·期末）中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式（易错题考点集训） 【20个高频易错考点 共60题】 易错考点01 不等式的性质 1 易错考点02 求一元一次不等式的解集 3 易错考点03 求一元一次不等式的整数解 6 易错考点04 在数轴上表示不等式的解集 8 易错考点05 求一元—次不等式解的最值 10 易错考点06 解 |x|≥a型的不等式 13 易错考点07 用一元一次不等式解决实际问题 17 易错考点08 用一元一次不等式解决几何问题 19 易错考点09 求不等式组的解集 21 易错考点10 解特殊不等式组 25 易错考点11 求一元一次不等式组的整数解 28 易错考点12 由一元一次不等式组的解集求参数 30 易错考点13 由不等式组解集的情况求参数 35 易错考点14 不等式组和方程组结合的问题 38 易错考点15 一元一次不等式组的其他应用 41 易错考点16 不等式组的工程问题 43 易错考点17 不等式组的经济问题 47 易错考点18 不等式组的分配问题 50 易错考点19 不等式组的方案选择问题 53 易错考点20 不等式组的阶梯收费问题 57 易错考点01 不等式的性质 1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点D在边上，下面两个问题中请你选择一个加以证明(写出推理过程)． (1)求证：； (2)若， 试比较与的大小． 解：我选择的是 (填序号) 证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)，见解析，选择（1）或（2） 【思路引导】本题考查了三角形三边关系，不等式的性质，三角形内角和定理，外角性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由三角形三边关系得到，再根据不等式的性质得到，而，即可证明； （2）先根据三角形的外角性质得到，再由三角形内角和定理以及得到，故，最后由大边对大角求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 3．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、若，则，原不等式不成立； B、若，不能得到，比如，但是，原不等式不一定成立； C、若，则，故，原不等式成立； D、若，则，故原不等式不一定成立； 故选：C． 易错考点02 求一元一次不等式的解集 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算题： (1)解方程组：； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了求二元一次方程组的解，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用代入法运算求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【规范解答】（1） 解：由可得： ， 把代入可得： ， 把代入可得： ， ∴原方程组的解为：； （2） 解： ． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解不等式和方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式以及二元一次方程组． （1）根据求不等式解集的步骤求解即可． （2）整理后，利用加减消元法解方程即可； 【规范解答】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：方程组整理得． 得， 解得， 把代入①式中得， 解得， ∴方程组的解为． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析，②见解析． 【思路引导】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 易错考点03 求一元一次不等式的整数解 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中x是的最大整数解． 【答案】． 【思路引导】本题考查分式的化简求值，平方差公式，提公因式，不等式的整数解，掌握知识点是解题的关键． 先化简分式，然后解不等式，取x的最大整数解代入分式计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 解不等式，得． ∵x是的最大整数解， ∴． 当时，原式． 8．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】(1) (2)整数a的值为：3，4 【思路引导】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【规范解答】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． （2）解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 9．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）整式的值为，若的取值范围如图所示，求的负整数值． 【答案】或 【思路引导】根据不等式的性质，结合数轴表示的不等式解集，构造不等式解答即可． 本题考查了解不等式，不等式的整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【规范解答】解：∵整式的值为， ∴， 根据题意可得：， 解得：， ∴的整数值为． 易错考点04 在数轴上表示不等式的解集 10．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）解下列一元一次不等式并把它的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【思路引导】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1 的步骤进行计算，再将解集表示在数轴上即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1 的步骤进行计算，再将解集表示在数轴上即可． 本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，以及不等式的基本性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得； 将解集表示在数轴上如图所示： （2）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 将解集表示在数轴上如图所示： 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）关于x的一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式组的解集，利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”在数轴上表示出解集． 【规范解答】解：解集在数轴上表示如下： 故选：B． 12．（24-25七年级下·四川眉山·期末）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】；数轴见解析 【思路引导】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【规范解答】解： 它在数轴上的表示如图所示． 易错考点05 求一元—次不等式解的最值 13．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【思路引导】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【规范解答】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 14．（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【思路引导】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【考点剖析】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 15．（21-22七年级下·浙江金华·期末）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． (3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？ 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元 (2)方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶；方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶；方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶． (3)这批消毒液最多可使用5天 【思路引导】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共6000ml，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． （3）设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液，利用使用时间=购买免洗手消毒液的总量÷（全校师生人数×10），即可得出w关于m的关系式，再利用性质及m，均为正整数，即可解决最值问题． 【规范解答】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶． 方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶． 方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶． （3）解：设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液． 依题意得： ∵ ∴w随m的增大而减小 又∵m，均为正整数 ∴当时，w取得最大值，最大值= 答：这批消毒液最多可使用5天． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 易错考点06 解 |x|≥a型的不等式 16．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【思路引导】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【规范解答】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 17．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【思路引导】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【规范解答】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 易错考点07 用一元一次不等式解决实际问题 19．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元． (1)求A型号和B型号每件护目灯的售价； (2)若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？ 【答案】(1)A型号的售价200元，B型号的售价300元 (2)出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件 【思路引导】本题考查二元一次方程（组）的实际应用， （1）设A型号的护目灯的售价x元，B型号的护目灯的售价y元，根据出售1件A型号的护目灯和3件B型号的护目灯共收入1100元，出售2件A型号的护目灯和5件B型号的护目灯共收入1900元，列出方程组进行求解即可； （2）设出售A型号的护目灯a件，则出售B型号的护目灯b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设A型号的售价x元，B型号的售价y元，由题意得 ， 解得， 答：A型号的售价200元，B型号的售价300元； （2）解：设出售A型号a件，则出售B型号b件， 由题意得，化简得， ∵a，b为正整数，且， ∴或或， 答：出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件． 20．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）关于x的不等式①与②． (1)若两个不等式的解集相同，求a的值； (2)若不等式②的解都是不等式①的解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查不等式的解集，解一元一次不等式： （1）解不等式①，②，根据两个不等式的解集相同，得到关于a的方程，解方程即可； （2）根据不等式②的解都是不等式①的解，得到关于a的不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 两个不等式的解集相同， ， 解得； （2）解：由（1）知不等式①的解集为，不等式②的解集为， 不等式②的解都是不等式①的解， ， 解得． 21．（2024·广东广州·二模）小丽计划节省部分零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有元，并计划从本月起每月存钱元，直到她至少存有元，设个月后小丽至少有元，则可列出不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】首先根据小丽每月存30元且存个月可知这段时间小丽共存元，由此根据题意进一步表示出个月后小丽所具有的零花钱，最后结合题意即可得出不等式. 【规范解答】∵小丽每月存30元，且存个月， ∴这段时间小丽共存元， ∵小丽至少要存有元， ∴可列不等式为：， 故选：D. 【考点剖析】本题主要考查了不等式的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键. 易错考点08 用一元一次不等式解决几何问题 22．（20-21七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（    ） A．山 B．山 C．山 D．山 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用，设他们要登的山峰距出发点千米，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设他们要登的山峰距出发点千米， 由题意得，， 解得， ∴他们最远能登上山， 故选：． 23．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查了有理数四则混合运算的应用、一元一次不等式的应用等知识，正确列出运算式子，理解体积之间的关系是解题关键．将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后的体积变化量除以小玻璃球的数量即可得①正确；根据直到放入第个相同的小铁块后，发现有水溢出可得，由此即可得②错误；求出，则可得，由此即可得③正确；求出，，由此即可得④正确． 【规范解答】解：，则①正确； ∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，则②错误； 又∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，即， ∴， ∴， ∴杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出，则③正确； ∵，， ∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，则④正确； 综上，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 24．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【答案】(1)每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元； (2)商家最多可以购买副甲种春联． 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）通过设甲种春联进价为未知数，依据两种春联购进数量相同这一条件，列分式方程求解进价． （2）设购进甲种春联数量，进而表示出乙种春联数量，根据利润不低于给定值的条件，列一元一次不等式求解． 【规范解答】（1）解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； （2）解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 易错考点09 求不等式组的解集 25．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据当时，点在点的右侧运动可得答案； （2）根据当平分的面积时，点是线段的中点可得答案； （3）分类讨论：点在点左侧和点在点的右侧时，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案． 【规范解答】（1）解：当时，， ， 解得， 故答案为：； （2）解：平分的面积， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 点在点左侧时，， 则， 解得； 当点在点的右侧时，， 则， 解得， 综上所述，或时，． 26．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】(1)3 (2)2或3 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键． （1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题 （2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与为积等三角形， ∴．，即， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 27．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【规范解答】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 【考点剖析】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 易错考点10 解特殊不等式组 28．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）（1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解题关键． （1）利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步解答即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【规范解答】解：（1）， 得③， 得，解得， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）， 由得， 由得， ∴不等式组的解集为． 29．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【思路引导】本题考查实数的混合运算，求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集： （1）先进行乘方和开方运算，再进行除法运算，最后算加减； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示出解集如图： 30．（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【规范解答】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 易错考点11 求一元一次不等式组的整数解 31．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）解下列关于x的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)当时，；当时，不等式无解；当时，． 【思路引导】本题考查利用因式分解法解一元二次不等式． （1）将不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正，异号得负”即可转化为一元一次不等式组，求解即可； （2）将不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正，异号得负”即可转化为一元一次不等式组，根据a的取值分类讨论求解即可． 【规范解答】（1）， 不等式化为， ∴或， 解得或． （2）， 不等式化为， ∴或 ∴或， 当，即时，； 当，即时，不等式无解； 当，即时，． 32．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【思路引导】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【规范解答】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【考点剖析】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 33．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【规范解答】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【考点剖析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 易错考点12 由一元一次不等式组的解集求参数 34．（19-20八年级上·浙江温州·期中）（1）解不等式； （2）解不等式组，并求出所有正整数解． 【答案】（）；（），． 【思路引导】本题考查了一元一次不等式和不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式和不等式组的解法是解题的关键． （）根据去分母，去括号，移项，系数化为即可求解； （）分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分得到不等式组的解集，再写出范围内的正整数解即可． 【规范解答】解：（）， 去分母得，， 去括号，移项，整理得，， ∴； （） 解不等式，去括号得， 移项、整理得：， ∴， 解不等式，去分母得：， 去括号得：， 移项、整理得：， ∴， ∴不等式组的解是，正整数解为． 35．（23-24八年级下·四川成都·期中）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，以及解一元一次不等式组和分式方程，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验． 解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含a的式子表示y，利用分式方程有解，且有非负整数解，确定符合条件的整数a，相加即可． 【规范解答】解：解不等式组，得， 不等式组至少有五个整数解， ， 解分式方程，得， ， ， ， ， ， ， ， ，且，a为整数， 又为整数， 可以取，3，5， 所有整数a之和为：． 故选：D． 36．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 易错考点13 由不等式组解集的情况求参数 37．（25-26八年级上·安徽·开学考试）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【思路引导】解每个不等式得出不等式组的解集为，然后由或得到或，分别求出整数解，然后求和即可． 本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力． 【规范解答】解：∵ ∴由，得出， 由，得出， ∴不等式组的解集为， ∵的取值范围是或， ∴或， ∴当时，整数解为，0，1，2，3，和为； 当时，整数解为2，3，和为； 综上所述，的值为5． 故选：A． 38．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【思路引导】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解新定义得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． （1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【规范解答】（1）解：解方程①得：， 解方程②得：， 解方程③得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 39．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【思路引导】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，读懂题意，理解“关联方程”是解决问题的关键． （1）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 易错考点14 不等式组和方程组结合的问题 40．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解分式方程，得出，再求解一元一次不等式组，结合题意可得，或，分别代入求解计算即可． 【规范解答】解：， 去分母：， 解得：，为正整数，且， 解不等式， 可得：， 解不等式：， 可得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 又∵，为正整数，且， ∴或， 若，则， 得， 若，则， 得， ∴所有满足条件的整数的和为：， 故选：D． 41．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型． 根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和． 【规范解答】解：， 不等式组整理得：， 由不等式组至少有4个整数解，则 得到， 解得：， 解方程组， 得， 又关于，的方程组的解为正整数， ∴是正整数，是正整数， 或或者， 解得或或（舍去）， 则或， ∴满足题意的整数的值为 则 所有满足条件的整数的值的和是． 故选：A． 42．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是 （填写序号即可） 【答案】①③ 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组． 根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【规范解答】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当时，，即不等式组无解， ∴②错误， ∵若不等式组有解，即，则， ∴③正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是， ∴④错误， 故答案为：①③． 易错考点15 一元一次不等式组的其他应用 43．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式组，正确计算是关键；先利用加减法求出方程组的解，再根据解满足得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【规范解答】解：， ①＋②得， 解得， ①－②得， 解得， 因为， 所以， 解得． 44．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于的方程组的解满足条件，，求的取值范围． 【答案】 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，利用加减消元法求出方程组的解，进而得到关于的一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可求解，正确计算是解题的关键． 【规范解答】解：， ①②得，， ∴， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为， ∵，， ∴， 解得 解得， ∴的取值范围为． 45．（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)化简： (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）解二元一次方程组求出x和y，根据x为非正数，y为负数，得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围； （2）根据m的取值范围去绝对值即可； （3）由可得，根据解为，利用不等式的基本性质可得，结合（1）中结论可得，进而可得． 【规范解答】（1）解方程组得， ∵为非正数，为负数， ∴，解得； （2）∵， ∴， 则原式； （3）∵， ∴， ∵不等式的解集为，则， ∴， 又∵， ∴， ∴整数的值为 【考点剖析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，去绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质以及一元一次不等式组解集的求法． 易错考点16 不等式组的工程问题 46．（24-25九年级下·四川德阳·期中）为防控新冠疫情，我区某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温枪的单价比乙品牌额温枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌额温枪的数量是用4000元购买乙品牌额温枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌额温枪的单价； (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的额温枪共80个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌额温枪个，总费用为元，则该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)甲160元，乙200元 (2)该校共有两种购买方案：方案一，购买甲品牌额温枪25个，乙品牌额温枪55个；方案二，购买甲品牌额温枪26个，乙品牌额温枪54个，采用方案二可使总费用最低，最低费用是14960元． 【思路引导】本题考查分式方程解决应用题，一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系及不等关系． （1）设甲品牌额温枪的单价为x元，则乙品牌额温枪的单价为元，根据用元购买甲品牌额温枪的数量是用元购买乙品牌额温枪的数量的倍列方程求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍列不等式组求得m的取值，进而计算总费用即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设甲品牌额温枪的单价为x元，则乙品牌额温枪的单价为元， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌额温枪的单价分别为：元，元； （2）解：设购买甲品牌额温枪个，则购买乙品牌额温枪个， 由题意可得，且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为或， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， ∵， ∴该校共有两种购买方案：方案一，购买甲品牌额温枪25个，乙品牌额温枪55个；方案二，购买甲品牌额温枪26个，乙品牌额温枪54个，采用方案二可使总费用最低，最低费用是14960元． 47．（25-26八年级上·重庆·开学考试）某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，共需费用元；台型空调和台型空调，共需费用元． (1)求型空调和型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购、型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)型空调每台需元，型空调每台需元 (2)该校共有三种采购方案： 方案一：采购型空调台，型空调台； 方案二：采购型空调台，型空调台； 方案三：采购型空调台，型空调台 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键． （1）设型空调每台需元，型空调每台需元，根据题意列出方程组解答即可求解； （2）设采购型空调台，则采购型空调台， 根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案． 【规范解答】（1）解：设型空调每台需元，型空调每台需元， 由题意得，， 解得． 答：型空调每台需元，型空调每台需元； （2）解：设采购型空调台，则采购型空调台， 由题意得，， 解得， 为整数， 或或． 该校共有三种采购方案： 方案一：采购型空调台，型空调台； 方案二：采购型空调台，型空调台； 方案三：采购型空调台，型空调台． 48．（25-26八年级上·重庆长寿·开学考试）随着“低碳生活，绿色出行”理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建个地下充电桩比新建个地上充电桩多万元，新建个地上充电桩和个地下充电桩共需要万元． (1)求该小区新建个地上充电桩，1个地下充电桩各需要多少万元． (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，设建造个地下充电桩，求出的取值范围． (3)若地上个充电桩占地面积平方米，地下个充电桩占地面积平方米，考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（）的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为平方米，求出的最小值以及取得最小值时的具体方案． 【答案】(1)小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，新建1个地下充电桩需要0.3万元 (2) (3)的最小值为平方米，建造43个地下充电桩和17个地上充电桩 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）设建造个地下充电桩，则地上充电桩为个，根据题意列出关于的不等式组，求解即可得出m的取值范围． （3）根据题意可知：，结合（2）的取值范围，求解即可． 【规范解答】（1）解：设新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元． 由题意，得 解得． 答：小区新建个地上充电桩需要万元，新建个地下充电桩需要万元 （2）解：设建造个地下充电桩，则地上充电桩为个， 则， ∴． 又∵为整数， ∴整数满足 （3）解：∵地上每个充电桩占地面积为平方米，地下每个充电桩占地面积为平方米， ∴总占地面积：． 由（2）可知， ∴当时，最小值为平方米， 对应方案为建造个地下充电桩和个地上充电桩． 易错考点17 不等式组的经济问题 49．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 50．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积； （2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元． ①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元； ②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用． 【答案】（1）甲每天绿化，乙每天绿化；（2）①甲施工天，乙施天；②甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元 【思路引导】（1）设乙队每天能完成绿化面积xm2，则甲队每天能完成绿化面积1.5xm2，则，解得x＝50，经检验，x＝50是该方程的根，即可得出结果； （2）①设甲施工天，乙施工天，得到 ，计算即可得到答案；②设甲施工天，乙施工天，可得， 由于乙队至多施工天，则，解得．故费用，再进行计算即可得到答案. 【规范解答】解：（1）设乙每天绿化面积为，则甲的绿化面积为，由题意得 ， 解得， 经检验是原分式方程的解， 甲每天绿化，乙每天绿化． （2）①设甲施工天，乙施工天， 解得 甲施工天，乙施天． ②设甲施工天，乙施工天， ， ． 乙队至多施工天， ，解得． 费用． ， 越大费用就越大 且天数不能是小数， 要为偶数， 最小为， 费用为（万元）， 即甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元． 【考点剖析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，一元一次不等式组的应用. 51．（2024·河南平顶山·中考模拟）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 【答案】（1）A队原来平均每天维修课桌60张；（2）6≤2y≤28． 【思路引导】中考中的不等式一般是和方程一块考查的．类型有方案等．一般为利用方程求量，然后用所求的量在自变量取值范围内求解． 【规范解答】解：⑴ 设C队原来平均每天维修课桌x张， 根据题意得：， 解这个方程得：x=30， 经检验x=30是原方程的根且符合题意， 2x=60 答：A队原来平均每天维修课桌60张． ⑵ 设C队提高工效后平均每天多维修课桌x张， 施工2天时，已维修（60+60+30）×2=300（张）， 从第3天起还需维修的张数应为（300+360）=660（张） 根据题意得：3(2x+2x+x+150)≤660≤4(2x+2x+x+150) 解这个不等式组得:3≤x≤14 ∴6≤2x≤28 答：A队提高工效后平均每天多维修的课桌张数的取值范围是：6≤2x≤28 易错考点18 不等式组的分配问题 52．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个 (2)该超市有13种进货方案 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个，根据两种礼盒共获利4600元，列方程，解方程即可； （2）根据超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高，且第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，列出不等组求解即可． 【规范解答】（1）解：设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个 由题意可得：， 解得：， 则（个） 答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个． （2）解：∵、礼盒共100个，礼盒比第一次多购进个， 即礼盒购进个，礼盒购进个， ∵礼盒售价提高10元， ∴利润为（元） ∵礼盒售价提高， ∴（元） 由题意可得： ， ∵为整数 ∴可取共13个整数， 每个对应一个进货方案（即不同的和礼盒数量组合），且均满足条件． ∴该超市有13种进货方案． 53．（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【思路引导】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【规范解答】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 54．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元． (1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？ (2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)20元；25元 (2)3种；方案见解析 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元，根据购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元，再建立方程组解题即可； （2）设购买《我们仨》本，购买《围城》本，根据计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，建立不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元， 由题意得：， 解得：． 答：购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元． （2）解：设购买《我们仨》本，购买《围城》本， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为、、， ∴有种购买方案： ①购买《我们仨》本，购买《围城》本； ②购买《我们仨》本，购买《围城》 本； ③购买《我们仨》本，购买《围城》本． 易错考点19 不等式组的方案选择问题 55．（2025八年级上·全国·专题练习）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本； (2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案． 【答案】(1)甲种30元/本，乙种50元/本 (2)该班共有6种购买方案．分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，进而即可找出方案. 【规范解答】（1）解：设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本． 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为50元/本． （2）解：设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本． 根据题意，得 解得． ∵a为正整数， ∴a的值为10，11，12，13，14，15， ∴该班共有6种购买方案． 分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 56．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 (2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 57．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 易错考点20 不等式组的阶梯收费问题 58．（2024·湖南·模拟预测）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台． (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元； (2)方案①4台A类、8台B类；方案②3台A类、9台B类；方案③2台A类、10台B类． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程组和不等式组是解题的关键． （）设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，根据题意列方程组求解即可； （）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【规范解答】（1）解：设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元， 由题意可得， 解得 答：类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元． （2）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台． 根据题意得 解得． 共有三种购买方案，购买方案如下：①4台A类、8台B类；②3台A类、9台B类；③2台A类、10台B类． 59．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 (2)能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【思路引导】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【规范解答】（1）解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． （2）解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 60．（24-25八年级下·贵州·期末）中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 【答案】(1)的值为 (2)有三种方案：方案一：安排工人人，机器人人；方案二：安排工人人，机器人人；方案三：安排工人人，机器人人 【思路引导】本题考查分式方程和不等式组的应用； （1）根据“一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍”列关于a的分式方程解题即可； （2）设安排工人x人，根据题意列不等式组求出x的取值范围，根据整数解得到方案即可． 【规范解答】（1）解：根据题意列方程得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； 答：的值为． （2）解：设安排工人x人，则： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x可取，，， 故有三种方案： 方案一：安排工人人，机器人人； 方案二：安排工人人，机器人人； 方案三：安排工人人，机器人人． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $