第2章 特殊三角形（40个高频易错考点训练 共80题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册章节复习培优专项训练（2024新教材）

第2章 特殊三角形（易错题考点集训） 【40个高频易错考点 共80题】 易错考点01：轴对称中的光线反射问题 2 易错考点02：折叠问题 6 易错考点03：车牌号码的镜面对称钟表的镜面对称 7 易错考点04：电子钟示数的镜面对称 8 易错考点05：最短路径问题 9 易错考点06：线段问题（轴对称综合题 12 易错考点07：面积问题（轴对称综合题) 16 易错考点08：角度问题（轴对称综合题 18 易错考点09：作等腰三角形尺规作图） 22 易错考点10：三线合一 23 易错考点11：等腰三角形的性质和判定 27 易错考点12：等边三角形的判定和性质 30 易错考点13：线段垂直平分线的判定 33 易错考点14：斜边的中线等于斜边的一半 38 易错考点15：勾股定理与网格问题 41 易错考点16：勾股定理与折叠问题 44 易错考点17：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 46 易错考点18：利用勾股定理证明线段平方关系 49 易错考点19：勾股定理的证明方法 51 易错考点20：以弦图为背景的计算题 53 易错考点21：用勾股定理构造图形解决问题 55 易错考点22：勾股定理与无理数 57 易错考点23：求梯子勾股定理与无理数理的应用） 59 易错考点24：求旗杆高度（勾股定理的应用） 61 易错考点25：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 63 易错考点26：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 64 易错考点27：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 66 易错考点28：解决航海问题（勾股定理的应用） 68 易错考点29：求河宽（勾股定理的应用） 70 易错考点30：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 71 易错考点31：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 72 易错考点32：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 73 易错考点33：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 76 易错考点34：求最短路径（勾股定理的应用） 79 易错考点35：判断三边能否构成直角三角形 81 易错考点36：在网格中判断直角三角形 82 易错考点37：全等的性质和HL综合(HL) 84 易错考点38：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 86 易错考点39：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 90 易错考点40：角平分线的判定定理 95 易错考点01：轴对称中的光线反射问题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② 【思路引导】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导． （1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出． （2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出． 【规范解答】（1）证明：根据题意，得，， ， ， 即． （2）解：①由（1）可知． 设， ． ，， ； ， 即． ②设，． ，．．． ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 易错考点02：折叠问题 3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的折叠问题，三角形的内角和，全等三角形的性质，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 由翻折得到，推导出，继而求出，则，即可解答． 【规范解答】解：∵分别沿向外翻折至， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【规范解答】解：由折叠知，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 易错考点03：车牌号码的镜面对称钟表的镜面对称 5．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【规范解答】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 易错考点04：电子钟示数的镜面对称 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【规范解答】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 8．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【规范解答】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 易错考点05：最短路径问题 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接，与直线的交点即为点． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求； 连接，利用网格图形作的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， ∴直线即为对称轴； （2）解：如图所示，点即为所求； 连接，交直线于点， 根据轴对称的性质，， 根据两点之间线段最短得， 此时，此时的值最小． 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 (2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 【思路引导】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点,点为所选的位置。 【规范解答】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 【考点剖析】本题考查了两点之间线段最短求点的位置，掌握对称点作法及轴对称性质与两点之间线段最短是解题的关键。 易错考点06：线段问题（轴对称综合题 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知． (1)求证：； (2)过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ①连接，交于点，证明垂直平分； ②是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【思路引导】（1）证明即可； （2）①证明得，证明得N是的中点，，进而得证；②延长交于点Q．证明是的垂直平分线，则P关于的对称点为Q，根据几何关系即可证明． 本题考查了三角形全等的判定性质、垂直平分线的判定与性质、直线平行的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：， ， ； （2）证明：①如图， ， ． ． ． ， ， ． ， ，， ． 又， ， ． 又， ， ， ∴N是的中点，， ∴垂直平分． ②如图，延长交于点Q． 由①知， ， ． ． ， ， ∴是的垂直平分线． ∵O为直线上的点， ， ∴当点O与点E重合时，，此时的值最小， 即当的值最小时，点E与点O重合． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【规范解答】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 易错考点07：面积问题（轴对称综合题) 13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【规范解答】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 14．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【思路引导】（1）取点D，使得，构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形解答即可； （2）取点E，使得，，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形，矩形的面积为，符合题意． （3）根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握网格作图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，取点D，使得， 构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形， 则点D即为所求． （2）解：如图所示，取点E，使得， ，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形， 矩形的面积为，符合题意， 则点E即为所求． （3）解：根据题意，得． 易错考点08：角度问题（轴对称综合题 15．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【答案】/12度 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【规范解答】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【思路引导】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【规范解答】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 易错考点09：作等腰三角形尺规作图） 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作一个等腰三角形，使底边长为，底边上的中线为；（保留作图痕迹，不必写出作图方法和步骤）． 【答案】图见解析 【思路引导】本题考查了作线段、作线段垂直平分线，熟练掌握尺规作图是解题关键．先在射线上截取线段，再作的垂直平分线，交于点，然后在直线上截取，连接，则等腰三角形即为所求． 【规范解答】解：如图，等腰三角形即为所求． ． 18．（25-26八年级上·全国·周测）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，已知，作点P，使，且点P在边AB的高上． (2)如图②，已知线段a，b，以b为腰，a为底画等腰三角形，并作出它的一个底角的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形底边与高的画法，角平分线的画法等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作的垂线，作线段的垂直平分线交垂线于点，点即为所求； （2）作，分别以点，为圆心，b为半径画弧交于点，连接，，就是所求的三角形，再画的角平分线即可. 【规范解答】（1）解：如图①，点即为所求． （2）解：如图②，和射线即为所求． 易错考点10：三线合一 19．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，与相交于点，于点． (1)求证： (2)求证：的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【规范解答】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ， ∴； （2）解：， ， ． ， ． 20．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．      (1)如图1，若，，则的值为_____； (2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 【答案】(1)3 (2)6 (3)a的值为或 【思路引导】本题考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解．能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由，全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由题意可知：，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，； （2）解：如图，①当点Q在边上时，    此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； （3）解：由题意可知：，，， ∴， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 综上所述：当，全等时，a的值为或． 易错考点11：等腰三角形的性质和判定 21．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在等腰中，的面积为40，的垂直平分线分别交边于点E、F，若点为边的中点，点为线段上的动点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】14 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接交于点，连接，利用线段垂直平分线的性质确定出的最小值时点的位置，再利用等腰三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接交于点，连接， ∵垂直平分， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，即为的值， ∵为定值， ∴此时，的周长值最小， ∵，点为边的中点， ∴，， ∵的面积为40， ∴， ∴此时，的周长为：， 故答案为：14． 22．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明．   已知：如图，在中，平分   求证：是等腰三角形．   证明：…… (1)请完成证明过程； (2)小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)中线，见解析 【思路引导】本题考查了关于等腰三角形“三线合一”性质的证明，利用全等三角形进行证明是解题关键． （1）证即可； （2）可过点D作于点E，于点F．证；也可延长至点E，使，连接．证； 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ = 90°． 在和中， ∴； ∴，是等腰三角形． （2）解：中线． 方法1： 如图1，过点D作于点E，于点F． ∵ 平分， ∴，． ∵ D是中点， ∴ ． ∴； ∴ ， ∴是等腰三角形． 方法2： 如图2，延长至点E，使，连接． ∵ D是中点， ∴ ． 在和中， ∴； ∴ ． ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形． 易错考点12：等边三角形的判定和性质 23．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：； (2)若G为中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质及等角的余角相等可得，再根据对顶角相等进行等量代换可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）过点E作，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，据此即可得到． 【规范解答】（1）证明：∵， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作，垂足为F， ， ，， ， ∵G为中点， ， ，， ， ， ． 24．（24-25八年级上·河南·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【思路引导】此题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）根据全等三角形的性质可得，，，再分三种情况求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 易错考点13：线段垂直平分线的判定 25．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：. 迁移应用 如图2，和都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，是的中点，是的中点，在上，是等边三角形，判断与之间数量关系并证明. 拓展创新 如图3，是线段的中点，，在的下方作等边（，，三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，.当的值最小时，直接写出等边边长的最小值. 【答案】问题情境：见解析；迁移应用：，证明见解析；拓展创新边长的最小值为 【思路引导】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． （1）证出．根据证明； （2）在上取点K，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）作，使，连接，，，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点H在线段上时，的值最小．由直角三角形的性质可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）证明：在上取点K，使得，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点，点N为的中点， ∴， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点H在线段上时，的值最小． 此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，是等边三角形，D，E分别为边BC，AC上的点，且，过点D作BE的平行线，使，连接AF，EF． (1)求证：． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)若D，E分别为边CB的延长线和边AC的延长线上的点，其他条件不变（如图②），则的形状是否改变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 (3)的形状没有改变，仍是等边三角形．理由见解析 【思路引导】（1）根据“等边三角形三边相等、三个角都为”以及 “两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”，结合已知可推导出，再借助、，即可解决证明全等的问题． （2）根据等边三角形的性质得，再根据平行线的性质得到，利用全等推导出，最后通过角的转化及等边三角形判定定理，即可解决形状的问题． （3）先结合已知条件及等边三角形的性质得到，则可推导出；由平行的性质及角的关系转化可证出，最后根据等边三角形判定定理即可解决三角形形状是否变化的问题． 【规范解答】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， 在与中， ． （2）证明：是等边三角形，理由如下： 如图①，是等边三角形， ， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形． （3）证明：的形状没有改变，仍是等边三角形，理由如下： 如图②，是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， 即：， ， ， 即，是等边三角形， 综上：的形状没有改变，仍是等边三角形． 【考点剖析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，掌握通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，能得到对应边相等、对应角相等的结论，再结合等边三角形的性质进行推导是解题的关键． 易错考点14：斜边的中线等于斜边的一半 27．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在四边形中，，点为上一点，连接交于点，． (1)证明：是等边三角形； (2)连接交于点，若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路引导】（1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证； （2）连接交于点O，由题意可证是的垂直平分线，由是等边三角形，可得，再由平行线的性质得，利用等腰三角形的判定可得，进而可得的长． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵， ∴是的垂直平分线，即． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 28．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为，其中错误的结论为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路引导】由，，可证明垂直平分，可判断①正确；由，推导出，再根据证明 ，得，，而，则，所以是等边三角形，可判断②正确；设交于点，交于点，则，所以，则，即可证明平分，可判断③正确；求得，由，，求得，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【规范解答】解： 与都是等腰直角三角形，， ，，， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， 故①正确； 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， 故②正确； 设交于点，交于点，则， ， ， ，， 平分， 故③正确； ，平分， ， ，，且，， ，， ， ， 故④错误， 故选：D． 【考点剖析】此题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 易错考点15：勾股定理与网格问题 29．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【规范解答】如图所示，连接，， 在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ， 当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：， 的最小值为：． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（   ） A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】D 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解相关性质定理是解决问题的关键．连接，由，是的中点， 根据直角三角形斜边上的中线性质可得， 证得， 从而得到点在线段的垂直平分线上，即可判断A选项； 设， 根据， 得到， 从而得到， 根据， 得到， 从而得到，  即可判断B选项； 当为中点时，则， 结合， 得到是线段的垂直平分线， 从而得到， 根据，，， 证得， 即可判断C选项；当为中点时，是等边三角形， 易证， ，得到，从而证得，即可判断D选项． 【规范解答】解：如图所示， 连接， ，是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选项B正确，不符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 当为中点时，是等边三角形， ，平分， ， ， ， 又点为的中点， ， ， ， ，， ， ，即， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D ． 易错考点16：勾股定理与折叠问题 31．（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【规范解答】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 32．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，请利用网格线和无刻度的直尺按要求作图． (1)在图1中，画出，使得与全等（只画1个）； (2)在图1中，画出线段的中点O； (3)在图2中，画出的高； (4)在图2中，在延长线上作点F，使得． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4)作图见详解 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形高的定义，线段中点的定义及三角形中线的性质作图． （1）根据全等三角形的性质，利用网格图的特点作出与全等的即可； （2）利用网格图特点作出与线段的水平对称方向的虚线段，并与线段相交于一点，则该点为线段的中点O； （3）选取格点，连接，为的延长线，根据网格可得得到，再根据平行可得，进而可证，再证明，进而可得，此时为的高； （4）利用网格图的特点，找到线段的中点，并过该点作垂线交于网格交点D，连接，此时连接的线段与的延长线交于点F，先算出，进而可得为等腰直角三角形，则． 【规范解答】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示线段的中点O为所求： （3）解：如图所示的高为所求： （4）解：如图所示点F为所求： 易错考点17：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 33．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【思路引导】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【规范解答】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 34．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【规范解答】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 易错考点18：利用勾股定理证明线段平方关系 35．（22-23八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（18-19八年级下·全国·单元测试）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 易错考点19：勾股定理的证明方法 37．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）少0.16千米；（3）6 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，理解题意是解答的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【规范解答】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）由，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 38．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先用两种方法表示出大正方形的面积，根据表示的面积相等证明即可． 【规范解答】解：∵外面大正方形的面积， 里面小正方形的面积4个直角三角形的面积， ∴， ∴． 易错考点20：以弦图为背景的计算题 39．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【规范解答】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 40．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 【答案】D 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【规范解答】解：如图，由题意知，外延的4部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是． 故选：D． 易错考点21：用勾股定理构造图形解决问题 41．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【规范解答】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为，如图所示： 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）解： ，， 又， ， ． 42．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理、列出方程是解题的关键． 设绳索尺，则尺，再根据题意运用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【规范解答】解：设绳索尺，则尺，尺， 根据题意得：， 所以，解得：， 所以绳索的长为尺． 故选C． 易错考点22：勾股定理与无理数 43．（24-25九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【规范解答】解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 44．（2025八年级上·山东·专题练习）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【规范解答】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 易错考点23：求梯子勾股定理与无理数理的应用） 45．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【规范解答】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 46．（23-24八年级下·河南·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【规范解答】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 易错考点24：求旗杆高度（勾股定理的应用） 47．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺尺，将秋千的踏板往前推两步尺时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺即尺．当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．这个秋千的绳索有多长？ 【答案】尺 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【规范解答】解：设尺， 依题意，，， ∴ 在中， ， 解得， 故尺 48．（25-26八年级上·广东·阶段练习）生活与应用 课题 小区遛狗捡球问题 生活情景 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） 情景示意图 问题1 （1）此时，牵狗绳的长为______米； 问题2 （2）子涵将手上的小球扔至3米远的处（米），若她站着不动，将牵狗绳放长至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 【答案】（1）2.5（2）能，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）作于点E，在直角三角形中，由勾股定理求解即可； （2）当C、M重合时，作于点E，如图，则米，求解米，再在直角三角形中，由勾股定理求解，进而求解． 【规范解答】解：（1）作于点E，如图，则米，米， ∵米， ∴米， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴米， 故答案为：2.5； （2）小狗能小球捡回来，理由如下： 当C、M重合时，作于点E，如图，则米，米， ∵米， ∴米， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴小狗能将小球捡回来． 易错考点25：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 49．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理的应用． 根据题意，可得小鼹鼠朝前挖的距离和朝左挖的距离，根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ∴10分钟之后两只小鼹鼠相距． 故选：B． 50．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理解决实际问题，根据题意，画出示意图，如图②所示，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，其中，则．在中，由勾股定理，得．即可求得，从而得到答案，读懂题意，构造直角三角形，由勾股定理求解即可得到答案． 【规范解答】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，，由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了 故答案为：． 易错考点26：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 51．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 52．（24-25八年级下·辽宁·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【思路引导】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【规范解答】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 易错考点27：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 53．（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【规范解答】解：根据题意可得图形： ， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 54．（21-22八年级下·湖北孝感·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【规范解答】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 易错考点28：解决航海问题（勾股定理的应用） 55．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 【答案】巡逻车能拦截住违规车辆 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． 设直线与线段交于点．则，利用勾股定理列方程求得，，进而求得违规车辆和巡逻车到达E处的时间，比较大小可得结论． 【规范解答】解：设直线与线段交于点． 由题意知，，所以违规车辆进入保护区的最短距离是线段的长． 在和中，，， 所以，解得（千米）， 因为违规车辆的速度是72千米/小时， 所以（小时）， 千米，（小时） ，所以巡逻车能拦截住违规车辆．（此题解法不唯一，由勾股数5，12，13得出是直角三角形，再利用面积求解亦可） 56．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 【答案】25 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【规范解答】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 易错考点29：求河宽（勾股定理的应用） 57．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【规范解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 58．（24-25八年级下·湖南·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【规范解答】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 易错考点30：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 59．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 60．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 易错考点31：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 61．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【规范解答】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 62．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【思路引导】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【规范解答】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 易错考点32：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 63．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【思路引导】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【规范解答】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响。 （2）解：如图，以为圆心，为半径画圆，交于， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为30千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 64．（24-25八年级下·全国·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)受台风影响，理由见解析； (2)台风影响海港持续的时间为． 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【规范解答】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以台风影响海港持续的时间为． 易错考点33：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 65．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 66．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置， ，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3)点的位置见解析，米 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明及应用，注意计算的准确性即可； （1）由图可知：梯形的面积，的面积；由推出四边形的面积；即可求解； （2）连接，作，则四边形是矩形，推出，，即可求解； （3）作出的垂直平分线即可确定点，设，则；，即可求解； 【规范解答】（1）解：由图可知：梯形的面积，的面积； ∵， ∴四边形的面积； ∴ ， ∴； （2）解：连接，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ∴两个站点C，D之间的直线距离为米； （3）解：如图所示： 设，则； ∵， ∴，解得：； 即：的长度为米； 易错考点34：求最短路径（勾股定理的应用） 67．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛（即cm），它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食（cm），已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是 （空心钢管壁厚度忽略不计）． 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作点关于右侧管口的对称点，连接， 由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故答案为． 68．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【思路引导】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【规范解答】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 易错考点35：判断三边能否构成直角三角形 69．（24-25八年级上·广东·阶段练习）以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理逆定理逐一计算即可． 【规范解答】A.，故A选项能围成直角三角形； B.，故B选项能围成直角三角形； C.，故C选项不能围成直角三角形； D.，故D选项能围成直角三角形； 故选：C． 70．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在中，， (1)若，，则_____； (2)一个三角形的三边长分别是、、，且，，，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 【答案】(1)9 (2)是，证明见解析 【思路引导】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理逆定理，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：9； （2）解：这个三角形是直角三角形．证明如下： ∵，，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 易错考点36：在网格中判断直角三角形 71．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【规范解答】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 72．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图中画一条线段，使； (2)在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，实数的运算． （1）根据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形，则斜边即为； （2）根据正方形的性质，则只需构造两条分别是和的对角线，即得到一个三边长均为无理数的直角三角形． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； 由勾股定理，得：． （2）解：如图，即为所求； 由勾股定理，得， ∴， ∴为三边均为无理数的直角三角形． 易错考点37：全等的性质和HL综合(HL) 73．（25-26八年级上·湖北·阶段练习）如图，平分． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）过C作于F，根据角平分线的性质得出，根据证明，得出，然后结合邻补角定义即可得证； （2）根据证明，得出，结合已知可求出，根据，可得出，即可求解． 【规范解答】（1）证明：过C作于F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 74．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【规范解答】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 易错考点38：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 75．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由证明，可得结论； （2）由和都是等边三角形，则，得到，证明，得到，进而求解； （3）在上截，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明是等边三角形，可得，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：、、之间存在的数量关系是：．理由如下： 如图，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 证明：在上截，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 76．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 易错考点39：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 77．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【思路引导】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 78．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 易错考点40：角平分线的判定定理 79．（21-22七年级下·湖南·期末）（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质和判定定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据三角形内角和为180度求出，再根据角平分线的定义得出，最后利用三角形内角和定理求解即可； （2）①根据三角形外角的性质得出，，再由角平分线的定义得出，进而求解即可； ②作于E，于F，于G，根据角平分线的性质定理得出，再由角平分线的判定定理证明平分，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线相交于点F， ∴， ∴； （2）解：①在中，， 在中，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ②作于E，于F，于G， ∵的平分线与内角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴平分， ∴． 80．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，，，． (1)如图①，若，写出一个未知角的度数：_____________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路引导】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证明； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高，最后由角平分线的判定即可得证． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （3）证明：如图，过点作于，作于， 由（2）知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴线段为的平分线． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形（易错题考点集训） 【40个高频易错考点 共80题】 易错考点01：轴对称中的光线反射问题 2 易错考点02：折叠问题 3 易错考点03：车牌号码的镜面对称钟表的镜面对称 4 易错考点04：电子钟示数的镜面对称 4 易错考点05：最短路径问题 4 易错考点06：线段问题（轴对称综合题 6 易错考点07：面积问题（轴对称综合题) 7 易错考点08：角度问题（轴对称综合题 8 易错考点09：作等腰三角形尺规作图） 9 易错考点10：三线合一 10 易错考点11：等腰三角形的性质和判定 11 易错考点12：等边三角形的判定和性质 12 易错考点13：线段垂直平分线的判定 13 易错考点14：斜边的中线等于斜边的一半 14 易错考点15：勾股定理与网格问题 15 易错考点16：勾股定理与折叠问题 16 易错考点17：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 17 易错考点18：利用勾股定理证明线段平方关系 18 易错考点19：勾股定理的证明方法 19 易错考点20：以弦图为背景的计算题 20 易错考点21：用勾股定理构造图形解决问题 21 易错考点22：勾股定理与无理数 22 易错考点23：求梯子勾股定理与无理数理的应用） 23 易错考点24：求旗杆高度（勾股定理的应用） 24 易错考点25：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 25 易错考点26：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 26 易错考点27：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 27 易错考点28：解决航海问题（勾股定理的应用） 27 易错考点29：求河宽（勾股定理的应用） 28 易错考点30：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 29 易错考点31：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 30 易错考点32：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 31 易错考点33：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 32 易错考点34：求最短路径（勾股定理的应用） 33 易错考点35：判断三边能否构成直角三角形 34 易错考点36：在网格中判断直角三角形 34 易错考点37：全等的性质和HL综合(HL) 35 易错考点38：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 36 易错考点39：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 37 易错考点40：角平分线的判定定理 39 易错考点01：轴对称中的光线反射问题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 易错考点02：折叠问题 3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是 ． 易错考点03：车牌号码的镜面对称钟表的镜面对称 5．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 易错考点04：电子钟示数的镜面对称 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 易错考点05：最短路径问题 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 易错考点06：线段问题（轴对称综合题 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知． (1)求证：； (2)过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ①连接，交于点，证明垂直平分； ②是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 易错考点07：面积问题（轴对称综合题) 13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 14．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 易错考点08：角度问题（轴对称综合题 15．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 易错考点09：作等腰三角形尺规作图） 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作一个等腰三角形，使底边长为，底边上的中线为；（保留作图痕迹，不必写出作图方法和步骤）． 18．（25-26八年级上·全国·周测）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，已知，作点P，使，且点P在边AB的高上． (2)如图②，已知线段a，b，以b为腰，a为底画等腰三角形，并作出它的一个底角的平分线． 易错考点10：三线合一 19．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，与相交于点，于点． (1)求证： (2)求证：的度数 20．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．      (1)如图1，若，，则的值为_____； (2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 易错考点11：等腰三角形的性质和判定 21．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在等腰中，的面积为40，的垂直平分线分别交边于点E、F，若点为边的中点，点为线段上的动点，连接，则周长的最小值为 ． 22．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明．   已知：如图，在中，平分   求证：是等腰三角形．   证明：…… (1)请完成证明过程； (2)小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 易错考点12：等边三角形的判定和性质 23．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：； (2)若G为中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 24．（24-25八年级上·河南·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 易错考点13：线段垂直平分线的判定 25．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：. 迁移应用 如图2，和都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，是的中点，是的中点，在上，是等边三角形，判断与之间数量关系并证明. 拓展创新 如图3，是线段的中点，，在的下方作等边（，，三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，.当的值最小时，直接写出等边边长的最小值. 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，是等边三角形，D，E分别为边BC，AC上的点，且，过点D作BE的平行线，使，连接AF，EF． (1)求证：． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)若D，E分别为边CB的延长线和边AC的延长线上的点，其他条件不变（如图②），则的形状是否改变？请说明理由． 易错考点14：斜边的中线等于斜边的一半 27．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在四边形中，，点为上一点，连接交于点，． (1)证明：是等边三角形； (2)连接交于点，若．求的长． 28．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为，其中错误的结论为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 易错考点15：勾股定理与网格问题 29．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为 ． 30．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（   ） A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 易错考点16：勾股定理与折叠问题 31．（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 32．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，请利用网格线和无刻度的直尺按要求作图． (1)在图1中，画出，使得与全等（只画1个）； (2)在图1中，画出线段的中点O； (3)在图2中，画出的高； (4)在图2中，在延长线上作点F，使得． 易错考点17：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 33．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 34．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 易错考点18：利用勾股定理证明线段平方关系 35．（22-23八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 36．（18-19八年级下·全国·单元测试）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 易错考点19：勾股定理的证明方法 37．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 38．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 易错考点20：以弦图为背景的计算题 39．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 易错考点21：用勾股定理构造图形解决问题 41．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 42．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 易错考点22：勾股定理与无理数 43．（24-25九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 44．（2025八年级上·山东·专题练习）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 易错考点23：求梯子勾股定理与无理数理的应用） 45．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 46．（23-24八年级下·河南·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 易错考点24：求旗杆高度（勾股定理的应用） 47．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺尺，将秋千的踏板往前推两步尺时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺即尺．当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．这个秋千的绳索有多长？ 48．（25-26八年级上·广东·阶段练习）生活与应用 课题 小区遛狗捡球问题 生活情景 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） 情景示意图 问题1 （1）此时，牵狗绳的长为______米； 问题2 （2）子涵将手上的小球扔至3米远的处（米），若她站着不动，将牵狗绳放长至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 易错考点25：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 49．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（    ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 易错考点26：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 51．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 52．（24-25八年级下·辽宁·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 易错考点27：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 53．（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 54．（21-22八年级下·湖北孝感·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 易错考点28：解决航海问题（勾股定理的应用） 55．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 56．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 易错考点29：求河宽（勾股定理的应用） 57．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·湖南·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 易错考点30：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 59．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 60．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 易错考点31：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 61．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    62．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 易错考点32：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 63．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 64．（24-25八年级下·全国·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 易错考点33：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 65．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 66．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置， ，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 易错考点34：求最短路径（勾股定理的应用） 67．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛（即cm），它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食（cm），已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是 （空心钢管壁厚度忽略不计）． 68．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 易错考点35：判断三边能否构成直角三角形 69．（24-25八年级上·广东·阶段练习）以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 70．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）在中，， (1)若，，则_____； (2)一个三角形的三边长分别是、、，且，，，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 易错考点36：在网格中判断直角三角形 71．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 72．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图中画一条线段，使； (2)在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角． 易错考点37：全等的性质和HL综合(HL) 73．（25-26八年级上·湖北·阶段练习）如图，平分． (1)求证：； (2)若，试求的长． 74．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 易错考点38：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 75．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 76．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 易错考点39：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 77．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 78．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 易错考点40：角平分线的判定定理 79．（21-22七年级下·湖南·期末）（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 80．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，，，． (1)如图①，若，写出一个未知角的度数：_____________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $