专题07 抛物线（期中复习讲义）（知识必备+9大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

专题07 抛物线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及其标准方程 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，掌握定义的转化是关键 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 抛物线的简单性质 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 基础必考点，常在小题中出现 抛物线的焦点弦的性质 抛物线焦点弦的性质 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点弦的坐标及长度的图形求解. 知识点01 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. ·易错点： 抛物线的焦半径公式的使用上出现错误，四个图形的公式使用错误. 知识点03 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 知识点04 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 知识点05 四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点06 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. ·易错点：中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 题型一 抛物线的定义及其辨析（含焦半径公式） 解｜题｜技｜巧 焦半径问题 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A． B． C． D．16 【变式1-2】（24-25高二上·河南·期末）已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（   ） A． B． C．5 D．3 题型二 抛物线的焦点与准线 解｜题｜技｜巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 【典例2-1】（25-26高三上·广西柳州·开学考试）抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高二下·广东·月考）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三 抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 【典例3-1】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3-2】已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． 题型四 抛物线的轨迹方程求法 解｜题｜技｜巧 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 【典例4-1】与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【典例4-2】已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式4-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【变式4-2】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型五 抛物线中的距离最值问题 解｜题｜技｜巧 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 【典例5-1】已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【典例5-2】（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．5 【变式5-1】（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．7 D．9 【变式5-2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 题型六 抛物线在实际问题中的应用 解｜题｜技｜巧 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 【典例6】（23-24高二上·新疆阿克苏·月考）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【变式6-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 题型七 抛物线的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 【典例7-1】抛物线的通径长为（    ） A．8 B．4 C． D． 【典例7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【变式7-1】抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ． 题型八 抛物线的焦点弦性质 答｜题｜模｜板 熟记抛物线的焦点弦性质，对于小题，直接利用性质速解，对于大题，则常联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理解决抛物线的焦点弦问题。 易｜错｜点｜拨 中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 【典例8-1】（24-25高二上·广西百色·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物交于，两点，为抛物的准线，则（ ） A． B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．为等腰三角形 【典例8-2】(多选)（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（24-25高二下·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【变式8-3】设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 题型九 抛物线的光学性质 答｜题｜模｜板 平行与对称轴的光线被抛物线反射后经过抛物线的焦点，再反射后平行与对称轴 转化为过焦点的直线与抛物线的位置关系进行求解. 易｜错｜点｜拨 不容易转化为抛物线过焦点的直线的结论进行求解. 【典例9】（多选）（2025·广东惠州·一模）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（ ） A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上 【变式9-1】（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 【变式9-2】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期末）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A．的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南常德·期中）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（   ） A．5 B．8 C． D． 3．（2025·江苏宿迁·二模）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．20 B．13 C．16 D．34 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 9．(多选)（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 10．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 11．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 12．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 13．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ． 14．已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，. (1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程； (2)求直线的方程. 15．已知抛物线的焦点到准线的距离为2. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 16．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B． C． D．8 18．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 19．（23-24高二上·湖北武汉·月考）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（    ） A．的准线为 B．的最小值为 C．以为直径的圆与轴相切 D．若且，则 20．（多选）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 21．(多选)（2025·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（   ） A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 22．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 23．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，， (1)求抛物线的方程及的坐标； (2)设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 24．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 期中综合拓展练（测试时间：25分钟） 25．(多选)（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 26．(多选)（25-26高二上·全国·期末）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．圆与曲线交于A，B两点，与交于E，G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为14 C．若为曲线上的动点，则的最小值为5 D．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 27.（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A．当时处两条反射光线所在直线的距离为 B．当时的面积为2 C． D． 28．（24-25高三上·北京·阶段练习）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为； ②； ③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为； ④阴影区域的面积大于， 上述结论中所有正确的序号是 ． 29．（23-24高二上·上海宝山·期中）已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 30．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线的焦点为为坐标原点．过作两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点．当垂直于轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值． 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及其标准方程 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，掌握定义的转化是关键 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 抛物线的简单性质 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 基础必考点，常在小题中出现 抛物线的焦点弦的性质 抛物线焦点弦的性质 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点弦的坐标及长度的图形求解. 知识点01 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. ·易错点： 抛物线的焦半径公式的使用上出现错误，四个图形的公式使用错误. 知识点03 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 知识点04 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 知识点05 四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点06 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. ·易错点：中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 题型一 抛物线的定义及其辨析（含焦半径公式） 解｜题｜技｜巧 焦半径问题 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 【典例1-2】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·河南·期末）已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是，所以， 因为点在抛物线上，所以． 故选：C． 题型二 抛物线的焦点与准线 解｜题｜技｜巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 【典例2-1】（25-26高三上·广西柳州·开学考试）抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质及焦点坐标公式计算求解. 【详解】因为抛物线，所以焦点到准线的距离，且焦点在轴的正半轴上，所以焦点坐标为. 故选：A. 【典例2-2】（24-25高二下·广东·月考）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得，从而抛物线方程为，即可求解. 【详解】由题知，解得，所以抛物线， 则的准线方程为， 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可求得准线方程. 【详解】由，即得，所以即， 所以准线方程为. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标. 【详解】由题已知点到抛物线：的准线的距离为5,则抛物线准线方程为，则焦点为， 故选：A． 题型三 抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 【典例3-1】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由准线方程可设抛物线方程为：，据此可得答案. 【详解】因抛物线的准线方程为，则设抛物线方程为：， 则，则抛物线标准方程为：. 故选：C 【典例3-2】已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为． 故选：C． 【变式3-1】已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4， 故该抛物线的标准方程为或. 故选：D. 【变式3-2】已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解 【详解】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得，所以抛物线的方程是或. 故选：C. 题型四 抛物线的轨迹方程求法 解｜题｜技｜巧 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 【典例4-1】与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 【详解】记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 【典例4-2】已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【详解】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 【变式4-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 题型五 抛物线中的距离最值问题 解｜题｜技｜巧 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 【典例5-1】已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 【典例5-2】（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：， 设点到准线的距离为，则， 如图所示： 当三点共线时，取得最小值， 故选：C 【变式5-1】（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结果. 【详解】记抛物线C的准线为，作于T，如下图所示： 抛物线定义可知，，且，所以 当P，Q，T三点共线时，有最小值， 最小值为． 故选：D 【变式5-2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 【变式5-3】（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故选：D 题型六 抛物线在实际问题中的应用 解｜题｜技｜巧 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 【典例6】（23-24高二上·新疆阿克苏·月考）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程即可得解. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上， 因此，解得， 所以该抛物线的焦点到准线距离为10. 故选：C 【变式6-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 题型七 抛物线的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 【典例7-1】抛物线的通径长为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求得抛物线的标准方程，然后根据通径的知识求得正确答案. 【详解】抛物线，即， 可得，因此通径长为. 故选：C 【典例7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】设与轴的交点为，易知轴．设点，，由菱形的性质得到，即可得到. 【详解】设与轴的交点为，易知轴． 设点，．如图，由于四边形为菱形，，所以，所以．不妨设，则，解得． 在中，，所以菱形的周长为． 故选：D 【变式7-1】抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称， ∴抛物线C的方程为， ∴抛物线C的准线方程是. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】设位于第一象限，由焦半径公式得到方程，求出，得到，从而求出三角形面积. 【详解】不妨设位于第一象限，则，解得， 故，所以的面积为. 故答案为：8 题型八 抛物线的焦点弦性质 答｜题｜模｜板 熟记抛物线的焦点弦性质，对于小题，直接利用性质速解，对于大题，则常联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理解决抛物线的焦点弦问题. 易｜错｜点｜拨 中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 【典例8-1】（24-25高二上·广西百色·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物交于，两点，为抛物的准线，则（ ） A． B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】选项A：直线与轴交点即为抛物线的焦点，可得；选项B：抛物线方程为，联立方程可得，进而可得； 选项C：根据线段的中点与半径相等，可判断；选项D：根据，可判断. 【详解】 对于A，因为过抛物线的焦点，则焦点，，A选项错误； 对于B，抛物线方程为：，与交于两点， 将直线方程代入抛物线方程可得，，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由选项B可知，由方程可得或， 又到的距离等于到准线的距离，且准线方程为， 当时，，则圆的半径为2，又以线段为直径的圆的圆心的横坐标为， 故以线段为直径的圆与轴相切， 当时，，则圆的半径为，又以线段为直径的圆的圆心的横坐标为， 故以线段为直径的圆与轴相切， 故C正确； 对于D，由B得，，解得或， 不妨设，则， 所以，， 所以不是等腰三角形，故D错误； 故选：C 【典例8-2】(多选)（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D.. 【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即，， 直线AB的斜率不可能为0，设其方程为， 联立，消去x，得，， 故，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 则，C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， 又， ，即选项D正确. 故选:BCD 【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可． 【详解】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 【变式8-2】（多选）（24-25高二下·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 【变式8-3】设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 题型九 抛物线的光学性质 答｜题｜模｜板 平行与对称轴的光线被抛物线反射后经过抛物线的焦点，再反射后平行与对称轴 转化为过焦点的直线与抛物线的位置关系进行求解. 易｜错｜点｜拨 不容易转化为抛物线过焦点的直线的结论进行求解. 【典例9】（多选）（2025·广东惠州·一模）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（ ） A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义即可判断选项A；设直线的方程为，联立方程组求解即可判断选项B；由求出，由两点间的距离求解即可判断选项C；直线的方程为，又，联立求解即可判断选项D. 【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确； 设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，则，故B正确； 若点，则，，，故C错误； 直线的方程为，又，即， 令，可得，即， 而直线的方程为，则点在直线上，故D正确. 故选：ABD. 【变式9-1】（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 【变式9-2】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期末）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A．的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 【答案】ABC 【分析】由抛物线准线定义即可判断A；设，与抛物线方程联立并结合韦达定理即可求解判断B；求出点A、B，结合弦长公式即可求解判断C；由直线求出点A坐标，接着由求出点B纵坐标即可判断D. 【详解】对于A，因为抛物线：，所以抛物线C准线方程为，故A正确； 对于B，，故可设，联立， ，，故，故B正确； 对于C，若点，则，则， 故，故C正确； 对于D，由题可得，令得， 所以，又由B可知，故点N在直线上，故D错误； 故选：ABC 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二下·广东·期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 2．（24-25高二下·湖南常德·期中）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】将点代入抛物线，可得，解得， 所以. 故选：A. 3．（2025·江苏宿迁·二模）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的性质得到椭圆的基本量，再求解离心率即可. 【详解】由题意得的焦点为，则，而， 得到，即方程为，得到离心率，故D正确. 故选：D 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 7．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．20 B．13 C．16 D．34 【答案】B 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程，结合题意作图，可得答案. 【详解】由抛物线，则其焦点，准线， 分别过作，垂足分别为，如下图： 由图可得. 故选：B. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 9．(多选)（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 10．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 11．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 12．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程. 【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点. 设，所以，即， 又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：    13．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】解法一：分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式和三角形的面积公式可得出关于、的方程组，即可解得的值； 解法二：设抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，利用抛物线的焦点弦长公式以及面积公式可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】解法一：易知抛物线的焦点为，    若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以，即，① 因为， 即，②． 由①②得，，所以； 解法二：设抛物线的焦点为，直线的倾斜角为， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 因为 ①， ，，解得，， 所以，②， 联立①②可得， 故答案为：. 14．已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，. (1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程解得，即可写出抛物线标准方程和准线方程； （2）联立直线和抛物线方程利用韦达定理和抛物线焦点弦公式解得，求出直线方程. 【详解】（1）由题意将点代入抛物线方程可知，解得. 所以抛物线的标准方程为，焦点， 因此准线方程为. （2）由（1）得直线的方程为. 设，如图所示：    联立直线和抛物线方程，消去得. 易得，且. 由抛物线焦点弦公式可知. 所以，解得或（舍去）. 故直线的方程为. 15．已知抛物线的焦点到准线的距离为2. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求出，即可得解； （2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点在上，代入即可得解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故， 所以的方程为； （2）由（1）知，设，则， 因为，所以，可得， 又点在抛物线上，所以，即， 化简得，则点的轨迹方程为． 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 16．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 17．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据抛物线定义，结合已知条件，求得抛物线方程；再设出直线斜率和方程，联立抛物线方程，结合三角形面积，从而求得直线方程，进而由韦达定理求得结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为． 由抛物线的方程可知，焦点，根据题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，，． 由消去整理得，， 所以，．又， 所以， 解得， 则，， 则． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据三角形面积，结合韦达定理求得直线斜率，同时要注意熟练掌握抛物线焦半径公式，属综合中档题. 18．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，转化为，当且仅当在一条直线上时，取得最小值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为， 又由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 设定点，满足成立，且 即恒成立， 其中，代入两边平方可得： ，解得， 所以定点满足恒成立， 可得， 如图所示，当且仅当在一条直线上时， 此时取得最小值， 即， 设，满足， 所以， ， 当时，等号成立， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可求解. 19．（23-24高二上·湖北武汉·月考）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（    ） A．的准线为 B．的最小值为 C．以为直径的圆与轴相切 D．若且，则 【答案】B 【分析】根据抛物线性质可得的准线为，即A错误；利用抛物线定义由基本不等式可求得B正确；由直线与圆的位置关系可得以为直径的圆与轴相交，即C错误；由可得。利用向量夹角的坐标表示可求得，即D错误. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点可得， 所以，即的准线为，故A错误； 对于B，如下图所示： 设直线的方程为，； 联立直线与抛物线方程可得， 可得； 由抛物线定义可得； 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立；即B正确； 对于C，以为直径的圆的圆心为, 此时圆心到轴的距离为， 而， 所以以为直径的圆与轴相交，即C错误； 对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以； 由即可得，如下图所示： ，所以， 同理可得，可得， 所以，即D错误； 故选：B 【点睛】方法点睛：在求解夹角问题时可利用平面向量的坐标表示，利用数量积的符号确定夹角的大小或取值范围. 20．（多选）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线的方程并得到坐标可判断C，分别计算和的面积可判断D. 【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 21．(多选)（2025·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（   ） A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 【答案】ABD 【分析】直接求抛物线准线方程判断A；直线的斜率不存在时和直线的斜率存在两种情况分别求解，当直线的斜率存在时，设其方程为)，与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由抛物线定义表示出，可判断BC；由判断D． 【详解】如图： 由已知得焦点，准线方程为，A正确； 当直线的斜率不存在时，，其中， 当直线的斜率存在时，设其方程为， 与抛物线方程联立，得， ，， 由抛物线定义知，， 若，则，B正确； ， 所以的最小值为16，C错误； 由 ， 所以为钝角，D正确. 故选：ABD 22．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    23．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，， (1)求抛物线的方程及的坐标； (2)设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入可得，进而求出，即可求解； （2）由（1）知，确定当时点到直线的距离最大，根据两直线的位置关系和直线的点斜式方程求出的方程，联立抛物线方程。利用韦达定理和抛物线的定义求出，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】（1）当轴时，的横坐标均为，代入方程， 得，所以，又，则，解得， 所以抛物线的方程为，； （2）由（1）知，抛物线的准线为，所以，即. 当时，点到直线的距离最大， 又，所以，所以直线的斜率为1， 得直线方程为，即， 由，得，设， 则. 由抛物线的定义知，又， 所以. 24．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 期中综合拓展练（测试时间：25分钟） 25．(多选)（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 26．(多选)（25-26高二上·全国·期末）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．圆与曲线交于A，B两点，与交于E，G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为14 C．若为曲线上的动点，则的最小值为5 D．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确； 对于B，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，周长为，B错误； 对于C，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为， 则，，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，C正确； 对于D，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为， 由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点， 当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，D错误. 故选：AC 27.（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A．当时处两条反射光线所在直线的距离为 B．当时的面积为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用直曲联立，结合韦达定理，向量数量积公式，抛物线定义计算判断即可. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为.设点，，由抛物线光学性质可知，直线过焦点，设直线的方程为. 将其代入抛物线方程，可得，即. 根据韦达定理，，.直线的斜率. 由，，两式相减得： ，则，即直线的斜率. 又，所以. 若，因为从焦点射出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，所以、处两条反射光线所在直线分别平行于轴，它们之间的距离为. . 由，即，得. 则，，所以、处两条反射光线所在直线的距离为，选项A正确. 的面积，，，则，选项B错误. ，，则. 由，，可得，. 所以，选项C正确. 根据抛物线的焦半径公式，，. 由，以及可得：. . 则， . 所以，选项D正确. 故选： 28．（24-25高三上·北京·阶段练习）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为； ②； ③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为； ④阴影区域的面积大于， 上述结论中所有正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于②，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于③，将直线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于④，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故①正确； 对于B，根据①项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即②正确； 对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由，解得，由，解得, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即③错误； 对于④，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为，因， 则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故④正确. 故选：①②④ 29．（23-24高二上·上海宝山·期中）已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义，得，结合图形得最小值； （2）垂心为三条高线的交点，由对称性知关于轴对称，设点，再利用垂直关系建立方程求解坐标. 【详解】（1）由抛物线知焦点，准线， 过作，垂足为，过点作，垂足为，， 由抛物线的定义，， 当且仅当三点共线时取等号，此时， 所以的最小值为. （2）由焦点是的垂心，则， 即关于轴对称，且， 设，由， 得，化简得，解得， 所以点的坐标为或. 30．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线的焦点为为坐标原点．过作两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点．当垂直于轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用抛物线的通径长求出的值，即得抛物线方程； （2）依题设与抛物线方程联立，消元后写出韦达定理，分别求出弦长，以及四边形的面积表示式，利用基本不等式即可求得其范围； （3）分析题意，得出所求旋转体为一个圆台去掉两个分别以圆台上下底面为底面，点为顶点的圆锥余下的几何体，利用体积公式计算化简，再运用基本不等式即可求得体积最小值. 【详解】（1）当轴时， 由得， 抛物线C方程为 （2）设， 依题意，直线的斜率均存在且不为0，设， 将其与联立消元得： 则， 于是，， 因， 则 因，则，同理可得： 则 ，当且仅当时取等号， 即四边形面积的取值范围为 （3） 设A、B关于y轴的对称点分别为，记以等腰梯形绕y轴旋转一周得到圆台体积为， 以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为， 则所求旋转体体积为： 当且仅当，即时等号成立， 此时所求旋转体体积的最小值为． 20 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $