专题01 椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题01 椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类 目录 典例详解 类型一、斜率乘积求离心率 类型二、定比分点求离心率 类型三、余弦定理求离心率 类型四、构造齐次方程求离心率 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 压轴专练 类型一、斜率乘积求离心率 【知识归纳】 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 例1．已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是 A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设，则， 即，因为，所以， 则该双曲线的离心率为；故选C. 点睛：在处理圆锥曲线问题或直线和圆锥曲线的位置关系时，往往利用“设而不求”的思想进行处理，如本题中设出点的坐标，但没有求点的坐标，只是利用其横纵坐标间的关系进行求解. 【变式1-1】设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为点，在双曲线上，利用点差法将点代入双曲线做差化简结合题意可得，利用的平方关系可求出离心率. 【详解】设，，则直线的斜率为，直线的斜率为， 即． 因为点，在双曲线上，所以有，， 化简可得：， 所以有，离心率为． 故选：D． 【变式1-2】已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，代入椭圆方程，得到一个等式；代入，得到另一个等式，对比这两个等式求得的值，由此求得离心率的值. 【详解】依题意可知.设，代入椭圆方程得.代入得，即，与对比后可得，所以椭圆离心率为.故选D. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆上任意一点坐标的表示，考查向量数量积的坐标运算以及椭圆离心率的求解.属于中档题.椭圆有三个参数，其中是长半轴，如果焦点在轴上，则左右顶点的坐标就是.焦点所在坐标轴不一样时，顶点的坐标是不同的. 【变式1-3】阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据已知可得，设，得，结合与，可求出的值，根据得的值，即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：由题意可得，所以， 直线与椭圆交于两点，设，则，且①，又， 所以的斜率之积为②， 由①②可得：，即，结合，可得：，所以，则椭圆的离心率为. 故选：A. 类型二、定比分点求离心率 【知识归纳】 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 例2．过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 【变式2-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据勾股定理探索的关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 【变式2-2】已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，设，利用推出N为的中点，继而可得，结合直线的斜率即可推出，再结合双曲线的定义可得的关系，求得答案. 【详解】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，连接， 因为，故，设， 则，而P为的中点，则， 故，即N为的中点， 而O是的中点，故是的中位线，则， 又，故，则为等腰三角形，即得，（c为双曲线的半焦距）； 又直线的斜率为，即，则。（为锐角）， 在中，，故，即， 则， 由双曲线定义知，即得，即， 故，即双曲线E的离心率为3， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用直线的斜率结合图形的几何性质推出线段之间的关系，继而结合双曲线定义可得的关系，求得答案. 类型三、余弦定理求离心率 例3．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 【变式3-1】已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，设，由椭圆的定义可知，的表达式，再由的值，可，在中，可得，可得点为短轴的端点，在中，由余弦定理可得，的关系，即求出椭圆的离心率的值． 【详解】由题意知，圆过椭圆的两个焦点， 因为为圆与椭圆的交点，所以， 因为， 设，可得，， 所以， 所以， 在中，， 即，解得或， 解得或（舍去）， 此时点为椭圆短轴的顶点， 又，解得（负值舍去）， 且，， 在中，由余弦定理可得， 整理可得，所以． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：涉及焦点三角形问题一般是利用椭圆的定义及余弦定理进行处理，本题关键是推导出为短轴顶点. 【变式3-2】如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .    【答案】/ 【分析】设出，利用椭圆定义和图形对称性，借助于求得与的数量关系，接着在中求得，从而得到，最后在中运用余弦定理即可求得. 【详解】设，依题意，，因点在轴上，则，， 又因则，化简得，在中，，故, 在中由余弦定理，,即， 解得：，即，则离心率为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：由椭圆的焦半径想到椭圆定义式，由垂直想到求三边利用勾股定理，由边的数量关系想到设元替换，遇到三角形的边角关系，要考虑能否用正、余弦定理. 【变式3-3】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 类型四、构造齐次方程求离心率 例4．．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得，由，可得，从而得到关于，的齐次式方程，解得即可. 【详解】由题意，，， 过点组平行于的直线方程为， 联立，可得， 则，，由，可得， 即，即， 即， 整理得， 两边同时除以，可得， 又，可得，则． 故选：C． 【变式4-1】已知双曲线的右焦点为，过的直线（为常数）与在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率是（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】先利用直线过右焦点，简化直线方程，设点，分别根据点在双曲线上和建立方程组，通过①化简得出，代入②，化成的齐次式，解方程即得离心率. 【详解】 如图，由直线过右焦点，可得，即直线方程为， 不妨设点，依题意， 由①化简得：，解得或， 因当时，点，显然不合题意，舍去；把代入②，可得：， 化简得：，用代入计算可得：， 即，解得或（舍去），故的离心率是5. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率问题，属于难题. 求圆锥曲线的离心率一般有以下两种方法： （1）直接法：通过求出的值，直接求得； （2）齐次方程法：利用条件构造关于的齐次方程，解方程可得. 【变式4-2】设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及平面向量数量积公式，结合余弦定理解三角形并构造齐次式方程计算离心率即可. 【详解】设， 由已知可得，， 根据椭圆的定义有， 又，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即，整理得， 解方程得或(舍去)， 故选：D. 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 【变式4-3】已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据双曲线定义和勾股定理解得，计算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成关于的齐次方程计算即可. 【详解】设，，， 因为，则，则，解得 又因为，，则为的中点，所以， 则，在直角三角形中，， 即，化简得， 将代入上式得， 则， 化简得，两边同除得， 解得或1（舍去），则. 故选：A.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用双曲线定义和勾股定理表示出相关线段之间关键，最后转化为齐次方程，解出即可. 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 例5．已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，根据椭圆的定义有、，应用余弦定理及得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由为等腰三角形，则有，而， 又，，若，则，， 所以， 在中， 在中， ，即，整理得，则. 故选：D 【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理分别表示出，利用椭圆定义得到的关系，从而得到，在中，由勾股定理得到之间的关系即为离心率. 【详解】 设，则，， 所以，解得， 则，. 在中，，即， 解得. 故选：D. 【变式5-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于，两点，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．其它 【答案】A 【分析】根据等腰三角形分类讨论两边相等，结合等量关系建立等式求解双曲线离心率. 【详解】如图为等腰三角形， ∵直线的倾斜角为60°， ， 当时 ， ， ， ， ∵直线的倾斜角为60°， ， 在三角形中，根据余弦定理得， 整理得， 同除以得， ， 即， 解得，（应舍去）， 当时 ， ， ， ∵直线的倾斜角为60°， ， 在三角形中，根据余弦定理得， 整理得，， 同除以得， ， 即， 解得（应舍去），， ∵双曲线的渐近线方程为， ， 综上所述，该双曲线的离心率为， 故选：A. 【点睛】此题考查求双曲线离心率，关键在于根据双曲线几何性质，寻找等量关系，结合余弦定理，构造齐次式求解离心率，此题易错点在于漏掉考虑渐近线的斜率关系. 【变式5-3】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，为虚轴上的一个端点，且为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由已知可得，，的坐标，分情况讨论直角顶点情况，可得离心率. 【详解】由双曲线， 可得右焦点，则，，， 若表示以为直角顶点的直角三角形时， 则即，所以； 若表示以为直角顶点的直角三角形时， 则，即，则，， ，即， 又，整理得， 则，解得， 综上所述：或， 故选：D． 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 例6．已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设，两条直线的斜率大于零，连结，由题意知，求出，，求出，的斜率，设，，，，利用点差法，转化推出椭圆的离心率即可． 【详解】解：如图，不妨设，两条直线的斜率大于零，连结， 由题意知， 解得，，或，（舍）， 所以，， 在中，因为，所以， 故此时，， 设，，，，则， 两式相减得， 即，即， 因此离心率，所以， 故选：D． 【变式6-1】已知为椭圆的上顶点，B，C在椭圆上，四边形为的平行四边形，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，设，联立椭圆方程求出的坐标，进而得出，再利用，即可求出结果. 【详解】如图，设，因为，所以, 设直线，由，消得到， 所以，，由椭圆的对称性知， 所以，整理得到，所以椭圆的离心率为，    故选：B. 【变式6-2】已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线方程可确定坐标和渐近线方程；分别假设点在和上，由可构造方程组得到关系，由此可得离心率. 【详解】由双曲线方程知：，，渐近线方程为； ①若点在上，可设， 顺次连接构成平行四边形，，即， ，即，不合题意； ②若点在上，可设， 顺次连接构成平行四边形，，即， ，即，； 综上所述：双曲线的离心率. 故选：D. 【变式6-3】如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】做轴于点，得到点的纵坐标，从而得到，然后根据，列出方程，即可得到结果. 【详解】 由题意，做轴于点， 因为四边形是等腰梯形，则， 则点的横坐标为，代入椭圆方程， 可得，即， 因为，则， 由，则， 化简可得，，同时除可得， 即， 对于 当时，，当时，， 在时，方程有根， 且，故应舍，所以. 故选:D 【点睛】解答本题的关键在于得到点的纵坐标，然后根据三角形相似列出方程，得到的关系式. 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 例7．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出的外接圆与内切圆半径，根据构造齐次式，求椭圆的离心率. 【详解】如图： 的外接圆半径：. 设，，所以. 所以. 又，所以. 由得. 又，所以， 又，所以. 故选：B 【变式7-1】已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，， ， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式7-2】已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线的距离公式计算可得，结合，求，进而得到离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：， 即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示， 则，即，即轴，圆的半径为， 则，点到直线的距离为， 整理得且，解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 【变式7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆（与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出，的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上．如图：    设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则， 所以， 所以， 所以，． 又圆与圆的面积之比为9， 所以圆与圆的半径之比为3， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率． 故选：A． 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 例8．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的渐近线方程与抛物联立，求得A的坐标，然后根据的垂心为的焦点，由求解 【详解】解：如图所示： 双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立，解得或， 所以，， 因为的垂心为的焦点， 所以， 即，即， 所以， 故选：A 【变式8-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心.若轴，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设点，根据重心坐标公式得，由轴，得内切圆半径，设利用等面积法求得，然后利用勾股定理求得，即可得解. 【详解】设点在第一象限，两焦点，，其中，. 则重心，即，因为轴， 则I点纵坐标也为， 即内切圆半径. 设，则，则， 解得，则中，边长最大，所以， 由勾股定理有，解得， 故离心率. 故选：C. 【变式8-2】已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 【变式8-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率. 【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，    设点，，则， 因为为的重心，所以， 因为轴，所以点横坐标也为，， 因为为的角平分线， 则有， 又因为，所以可得， 又由角平分线的性质可得，，而 所以得， 所以，， 所以，即， 因为 即，解得，所以答案为A. 【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有： （1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解. （2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合. 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 例9．如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图2中，设球心为，球与相切于点，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得，得出离心率. 【详解】图2中，设球心为，球与相切于点，作出截面如图所示， 由题意知：， ， , 又，，则， 又，则， 则椭圆的离心率为. 故选：A. 【变式9-1】如图，在高为32的圆柱形筒中，放置两个半径均为6的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由丹德林球求出椭圆的长半轴长和半焦距即可求出椭圆的离心率. 【详解】设平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，如图，作出圆柱过椭圆的长轴的截面图， 设长轴AB与两圆的切点是，．连接，记椭圆长轴与交于点C，过C作交圆柱的母线于点，连接，，则，． 所以，，． 根据对称性可知是，的中点，故，则． 易得，故，则椭圆的长半轴长． 由题意得椭圆的焦点为，所以半焦距，则椭圆的离心率为. 故选：D． 【变式9-2】如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线与圆锥的底面圆交于点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设曲线与圆锥的底面圆交于点，, 则,为等边三角形， 设为的中点，取的中点， 过作，交直线于点，过点作轴， 建立如图平面直角坐标系，设双曲线方程为， 得到,又,所以, 则 则，故， 从而求出离心率. 故选：A. 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 例10．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在直角中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 【变式10-1】已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，计算即可得到离心率范围. 【详解】连接，，由题意得，，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，则， 故，即， 故，， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，，使得， 故，所以，即， 所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 【变式10-2】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式； ②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围； ③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围. 【变式10-3】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 例11．已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设，， 由，代入不等式中， 化简，得恒成立， 则有， 解得，而，所以 故选：A 【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可. 【变式11-1】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故选：B. 【变式11-2】已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出根据题意有，利用余弦定理表示出，，结合，求出离心率的取值范围. 【详解】    设，显然， 则， 所以的离心率．由于， 所以，所以的取值范围是； 故选：A 【变式11-3】已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取； 2.根据渐近线的几何意义可得：. 一、单选题 1．已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设出各个点的坐标，注意到，结合，两式相比结合斜率公式即可求解. 【详解】如图所示：    设，则， 而， 又因为， 所以，解得， 所以椭圆离心率为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是发现，由此即可顺利得解. 2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意可得，借助相似三角形的性质可得，即可得，，代入椭圆方程计算即可得离心率. 【详解】不妨设点在轴上方， 由，即有，， 则， 由，即， 故，， 故有，整理可得， 故或（大于1，故舍去）， 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助点的横纵坐标，结合题意得到的，计算出点坐标，再代入椭圆中即可得解. 3．已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知：，，根据勾股定理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，， 设椭圆的右焦点为，连接， 因为，可知点为的中点， 且点为的中点，则∥，， 由椭圆定义可知：， 因为为切点，可知，则， 可得，即， 解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 【点睛】方法点睛：1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2.焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点（不在上）为轴上一点，线段与交于点，，内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出、，结合勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点、、，如下图所示： 由切线长定理可得，，， 所以， ， 因为，则， 由圆的几何性质可得，，故四边形为正方形，且其边长为， 由对称性可知，由椭圆定义可得①， 又因为，即②， 联立①②可得，， 由勾股定理可得，即， 整理可得，即，即，整理可得， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：A. 5．已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设椭圆：，双曲线：，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由，可得，设，利用函数的单调性可得答案. 【详解】不妨设椭圆：，双曲线：， 与的离心率分别为，， 由椭圆的定义，有：，由，故， 由双曲线的定义，有：，故， 因此，两边同时除以，有，故， 由于，故， 所以， 不妨令，， 所以原式等于，在时，单调递减，故. 故选：D. 6．已知双曲线与圆在第二象限相交于点分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据正弦定理得，结合双曲线定义可求，可判断为直角三角形，故可求M点坐标，将M点坐标代入双曲线方程即可求得a与b关系，故而求出离心率的值. 【详解】在中，∵， ∴由正弦定理知，， 又∵，∴，， ∴在中，，，， ∴，∴. 设，则由等面积得：，即， ∵在上，∴， ∵在上， ∴，即，即，即，即，即，即，即， ∴. 故选：C. 7．过原点的直线与双曲线()交于两点，是双曲线的左焦点，过作轴的垂线，交双曲线于两点，若在线段上存在点，使得，则双曲线离心率的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，利用进行转化，根据图像求出最大值，结合题设列出关于a、b的不等式，求出最小值，从而根据求出离心率最小值. 【详解】 如图所示， ， 由图可知，， ∴， 若在线段上存在点，使得， 则 ， . 故选：B. 8．已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率. 【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得 三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，. 故选：B. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M在圆上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形为平行四边形，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的一条渐渐近线方程，设出M点坐标，求出中点坐标B，建立方程进行转化求解即可. 【详解】由题意，设双曲线一条渐近线方程为，因为， 所以点M在圆上，设，则，四边形为平行四边形，令， 则中点坐标为，代入渐近线方程，即， ∵， ∴ 设，则，则 ∵，∴，则，解得， 故选：A 10．已知F1、F2是双曲线E ：( a >0， b >0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，求出离心率. 【详解】因为M为PQ的中点，且，所以△为等腰三角形， 即， 因为， 设，则， 由双曲线定义可知：， 所以，则， 又， 所以， 解得：， 由勾股定理得：， 其中， 在三角形中，由勾股定理得：， 即，解得： 故选：D 二、多选题 11．已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与交于两点，分别为的中点，若，则的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】直线方程联立椭圆方程，表示出点A、B的坐标，利用中点坐标公式表示出点M、N的坐标，由可得，即，解之即可求解. 【详解】由，消元得，结合示意图， 所以， 又，分别是的中点， 所以， 又，所以， 有， 即，则， 所以，即， 则，即，有，由，解得， 即椭圆的离心率的取值范围为. 故选：AD. 12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 13．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设椭圆和双曲线的方程，，分别与圆相交，求出交点，根据交点坐标统一及，可确定的关系，可求椭圆、双曲线的离心率，判定A、B的真假；再根据的关系，取特殊值，可确定的坐标求出的值，判断CD的真假. 【详解】设椭圆：，则，. 由. 又因为点在第一象限，所以. 设双曲线：，则，. 由. 又因为点在第一象限，所以. 由. 由. 由. 所以，故A正确； 又，故B正确； 不妨设，则，，，. 则椭圆：，双曲线：，，则, 因为，所以，故C错误； 因为直线：. 由， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，的关系是不相同的. 14．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是抛物线 B．当时，是离心率为的椭圆 C．当时，是离心率为的双曲线 D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据已知，结合圆的性质、椭圆和双曲线的定义判断点M的轨迹的对应曲线，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：如下图，当，则为圆与正半轴的交点，则是圆的一条弦， 所以必与原点重合，即是一个点，不是抛物线，错；    B：如下图，当，则在线段上，故， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆， 即，故离心率为，对；    C：如下图，当，则在线段两侧的延长线上，且， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 即，故离心率为，对；    D：由上分析，时是定点（原点），不满足； 时，是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，显然不可能与圆O有公共点，不满足； 时，是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 若时，，即双曲线左支与圆O有公共点， 若时，，即双曲线不可能与圆O有公共点， 所以，对. 故选：BCD 三、填空题 15．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 【答案】 【分析】先考虑点为顶点时，求出，再考虑不为顶点时，设，根据得到，进而表达出，根据⊥，得到方程，结合得到，解得，又，解得，求出离心率取值范围. 【详解】设， 若点为右顶点，则，此时点重合， ，由得，故， 若点为左顶点，则，此时点重合， ，由得，无解， 若点是椭圆上下顶点，此时重合，，，不合要求，舍去， 若点不是椭圆顶点时， 由得，其中， 故，解得， 所以， 又⊥，， 故， 即， 整理得①， 因为②，两式联立得， 解得或， 因为，所以（舍去）， 又，解得， 综上， 所以椭圆离心率取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 16．已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】设椭圆，，则． 设椭圆，，则． 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，此时为． 故答案为：． 17．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故答案为： 18．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为.若线段与双曲线交于点，与抛物线交于点，且，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】首先表示出、，再根据向量的坐标运算得到、的坐标，再分别代入双曲线、抛物线方程，即可得到关于、的方程，解得即可. 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的右焦点为， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以， 则，即，所以， 整理得，因为，所以， 所以. 故答案为： 19．如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于 ． 【答案】 【分析】根据题意可设，则，由，可得，作的角平分线，在和中，利用正弦定理建立方程可求，再在中，利用余弦定理即可求. 【详解】设的角平分线交与， ，，设， 则， 又，， 所以，， 又为的角平分线，所以， ，， 在中，， 在中，， 所以， 整理得，，解得（舍去）， 所以， 在中，， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 20．双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，若为正三角形，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义及为正三角形，求得，再在中，由余弦定理化简可得. 【详解】如图3，利用双曲线定义，设，    由得，，， 在中，由余弦定理得， 即，故． 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类 目录 典例详解 类型一、斜率乘积求离心率 类型二、定比分点求离心率 类型三、余弦定理求离心率 类型四、构造齐次方程求离心率 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 压轴专练 类型一、斜率乘积求离心率 【知识归纳】 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 例1．已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是 A．2 B． C． D． 【变式1-1】设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【变式1-3】阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 类型二、定比分点求离心率 【知识归纳】 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 例2．过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式2-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 类型三、余弦定理求离心率 例3．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .    【变式3-3】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 类型四、构造齐次方程求离心率 例4．．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知双曲线的右焦点为，过的直线（为常数）与在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率是（   ） A． B． C． D．5 【变式4-2】设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 例5．已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于，两点，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．其它 【变式5-3】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，为虚轴上的一个端点，且为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（   ） A． B． C．或 D．或 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 例6．已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（      ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知为椭圆的上顶点，B，C在椭圆上，四边形为的平行四边形，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 例7．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式7-2】已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆（与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 例8．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心.若轴，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式8-2】已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【变式8-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 例9．如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在高为32的圆柱形筒中，放置两个半径均为6的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 例10．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 例11．已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点（不在上）为轴上一点，线段与交于点，，内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线与圆在第二象限相交于点分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D．2 7．过原点的直线与双曲线()交于两点，是双曲线的左焦点，过作轴的垂线，交双曲线于两点，若在线段上存在点，使得，则双曲线离心率的最小值是(    ) A． B． C． D． 8．已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M在圆上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形为平行四边形，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知F1、F2是双曲线E ：( a >0， b >0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与交于两点，分别为的中点，若，则的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 13．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 14．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是抛物线 B．当时，是离心率为的椭圆 C．当时，是离心率为的双曲线 D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为 三、填空题 15．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 16．已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 17．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 18．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为.若线段与双曲线交于点，与抛物线交于点，且，，则双曲线的离心率为 . 19．如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于 ． 20．双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，若为正三角形，则该双曲线的离心率为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $