精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

江苏省泰州中学2025-2026学年上学期高一年级 第一次质量检测数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，故A正确. 故选：A 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到结果. 【详解】由题意可知，存在量词命题“，使得”的否定形式为全称量词命题“，使得”． 故选：D 3. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 5. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 6. 若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】首先不等式等价于，再讨论的取值，根据解集中有2个整数，即可求解. 【详解】不等式，等价于， 当，即时，不等式的解集为， 若集合中有2个整数，则，得； 若，即时，不等式的解集为， 若集合中有2个整数，则，得； 当，即时，不等式的解集为，不成立； 所以实数m的取值范围是或. 故选：C 7. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】由于，故, 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当即时等号成立， 故， 故选：C 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知，，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】,有则且,分和去掉绝对值号 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案. 【详解】由，得，则且. 当时, = =.当且仅当即 时取等号. 当时, = =.当且仅当即 时取等号. 综上，. 故选：BCD. 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 【答案】BC 【解析】 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 集合，用列举法表示集合___________． 【答案】 【解析】 【分析】由求得，结合条件求得答案. 【详解】由，得，所以，又，且， 的取值为. . 故答案为：. 13. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式恒成立， 所以， 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号是成立的， 所以，所以，即， 解得. 故答案为： 14. 若方程在上有实数根，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：设的实数根为，用，表示，再对所求式子进行两次配方和放缩即可求出最值；解法二：设两根为，由根与系数的关系得，用表示所求式子，再通过配方即可求出最值. 【详解】解法一：不妨设的实数根为，且， 则， 所以 ， 当且仅当时取等号． 故的最小值为． 解法二：设两根为，由根与系数的关系得 ，则． ， 当时，取得最小值． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）100；（2）. 【解析】 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）由平方和公式和立方和公式即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）对两边平方得，所以， 再对两边平方得，所以 所以， 则. 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）求出集合，再利用必要不充分条件定义列式求解. 【小问1详解】 当时，，则或， 而， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 17. 已知命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立．命题：关于的不等式有解． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用韦达定理求出的最大值，再由恒成立的不等式建立关系求解. （2）按分类，结合不等式有解求出的范围，再由两个命题一真一假求得范围. 【小问1详解】 由是方程的两个实根，得， 则， 当时，，则当时，， 当命题为真命题时，若对恒成立， 因此，解得或， 所以实数的取值范围是或. 【小问2详解】 当命题为真命题时，关于的不等式有解， 当时，原不等式化为，该不等式一定有解，则； 当时，，该不等式一定有解，则； 当时，，解得，因此当命题是真命题时，， 由命题与命题有且仅有一个为真命题，得真假，或假真， 当真假时，则；当假真时，则， 所以当命题与命题有且仅有一个为真时，实数的取值范围是. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 19. 定义区间的长度均为，其中． （1）求不等式的解集区间的长度； （2）若不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数的范围； （3）若实数，求满足不等式解集的各区间长度之和． 【答案】（1）6 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）求出的解集，根据区间长度定义求解； （2）求出的解集为，由题可得是不等式解集的子集，对分类讨论求解； （3）分或和讨论，求出不等式的解，根据区间的定义求解. 【小问1详解】 由，得， 所以的解集为， 故解集区间的长度为. 【小问2详解】 由，即，得，此不等式解集区间长度为6， 又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6， 设的解集为，则， 由，得， 当时，显然成立； 当时，， 由，得或， 所以或； 当时，， 由，得即，所以； 综上，实数的范围是. 【小问3详解】 ①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ， 设的两根为， 此时原不等式的解集为，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，此时解集的区间长度为. 综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2025-2026学年上学期高一年级 第一次质量检测数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 5. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 6. 若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 已知，，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 集合，用列举法表示集合___________． 13. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 14. 若方程在上有实数根，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 17. 已知命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立．命题：关于的不等式有解． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 19. 定义区间的长度均为，其中． （1）求不等式的解集区间的长度； （2）若不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数的范围； （3）若实数，求满足不等式解集的各区间长度之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $