专题2.5.2 圆与圆的位置关系重点题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 目录 考点1 圆与圆的位置关系 0 题型1 判定圆与圆的位置关系 2 题型2 根据圆与圆的位置关系求参 2 考点2 圆与圆的公切线 3 题型3 求两圆的公切线条数 4 题型4 根据公切线条数求参数范围 5 题型5 求公切线的长和方程 5 考点3 圆与圆的公共弦 6 题型6 求相交圆的公共弦方程 7 题型7 求相交圆的公共弦长 7 题型8 圆系方程的应用 8 考点1 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 两圆相交，由两个公共点； 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点外离 二、圆与圆的位置关系的判定方法 几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆与圆的圆心距为，则有 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交； 当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 题型1 判定圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）圆 和圆 的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．内切 D．外切 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 3．（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 4．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆与圆的位置关系为（    ）． A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 5．（多选题）（25-26高二上·江西·阶段练习）圆 与圆 的位置关系可能是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．内切 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 题型2 根据圆与圆的位置关系求参 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆（）和，动圆M与圆，圆均相切，，则a的值为 ． 2．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点2 圆与圆的公切线 1、 两圆的公切线 与两圆相切的直线，可分为外公切线与内公切线 2、 两圆公切线位置情况 位置关系 公切线条数 图示 外离 4      外切 3    相交 2      内切 1    内含 0    3、 求两圆公切线方程 （1） 判定两圆的位置关系，先确定公切线条数 （2） 先判断公切线的斜率是否存在，若存在则设公切线方程,根据圆心到直线距离等于半径得到方程组，求出即可 题型3 求两圆的公切线条数 1．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）圆：与圆：公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 3．（25-26高二上·江西·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆 的公切线条数是 ． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 题型4 根据公切线条数求参数范围 1．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知点，到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 6．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型5 求公切线的长和方程 1．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 3．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 4．（2025·山东·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 5．（多选题）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆和圆，下列说法正确的是（   ） A．两圆相内切 B．两圆相外切 C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线 考点3 圆与圆的公共弦 一、两圆相交弦长 （1）公共弦所在的直线方程 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 二、圆系方程 若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为 题型6 求相交圆的公共弦方程 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系，如果相交并求出公共弦所在直线方程. 2．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知圆与圆相交，则公共弦所在的直线方程为 ． 4．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 题型7 求相交圆的公共弦长 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）两圆与的公共弦长等于 . 2．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 6．（多选题）（25-26高二上·全国·期中）已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 题型8 圆系方程的应用 1．（多选题）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 2．（多选题）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 3．（2025高三·全国·专题练习）求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 目录 考点1 圆与圆的位置关系 0 题型1 判定圆与圆的位置关系 2 题型2 根据圆与圆的位置关系求参 4 考点2 圆与圆的公切线 6 题型3 求两圆的公切线条数 7 题型4 根据公切线条数求参数范围 9 题型5 求公切线的长和方程 11 考点3 圆与圆的公共弦 15 题型6 求相交圆的公共弦方程 15 题型7 求相交圆的公共弦长 17 题型8 圆系方程的应用 21 考点1 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 两圆相交，由两个公共点； 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点外离 二、圆与圆的位置关系的判定方法 几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆与圆的圆心距为，则有 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交； 当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 题型1 判定圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）圆 和圆 的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】求出两圆心距，与半径之差的绝对值，半径之和比较大小即可判断. 【详解】圆 ，，圆心分别为，，半径分别为，.因为，，，因为，所以两圆相交. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】根据条件求出 的圆心 ，再根据 圆心的距离即可判断. 【详解】圆的方程为， 依题意，， 因为圆心与关于直线对称， 所以，又，，，， ，所以两个圆相交； 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】B 【分析】根据两圆圆心之间的距离与半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆圆心之间的距离为，故， 所以两圆相交. 故选：B 4．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆与圆的位置关系为（    ）． A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 5．（多选题）（25-26高二上·江西·阶段练习）圆 与圆 的位置关系可能是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】BCD 【分析】先求出圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆，圆的圆心分别为，，则. 圆，圆的半径分别为1，，且， 当时，，此时两圆相离， 当 ，此时两圆外切， 当时，，此时两圆相交， 当时，，此时两圆内切， 综上，这两个圆的位置关系不可能是内含. 故选：BCD. 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 题型2 根据圆与圆的位置关系求参 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆（）和，动圆M与圆，圆均相切，，则a的值为 ． 【答案】17或19 【分析】先由条件判断出圆与内含，根据动圆M内切于圆，分别讨论圆内切、外切于动圆M求得，结合，即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由，得，所以圆内含于圆， 设圆M的半径为r， 若动圆M内切于圆，与圆外切（），则， ，则，， 由，得，因此a＝17； 若动圆M内切于圆，圆内切于动圆M时，则， ，则，， 由，得，得a＝19. 所以a＝17或19. 故答案为：17或19． 2．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆外切，得，则， 所以. 故选：C 3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：C. 4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的定义、两圆相交的性质进行求解即可. 【详解】，圆心，半径为， 设动点到点的距离为6的轨迹为圆，圆心为， 因为圆上总存在两个点到点的距离为6， 所以圆与圆相交， 于是有， 解得，或， 故选：C 5．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用相关点法求出PA的中点的轨迹方程，由题意，圆与圆有公共点，利用两圆位置关系的判断方法即可求得参数a的范围. 【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为， 则有：， 由①，②可得， 代入③ ，可得， 即， 又线段PA中点也在圆O上，即两圆有公共点， 所以， 解得，即. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆 与圆有两个交点，由两圆的位置关系求解即可. 【详解】由题知圆的标准方程为， 圆与圆有两个交点， 故， 解得. 故选：C. 考点2 圆与圆的公切线 1、 两圆的公切线 与两圆相切的直线，可分为外公切线与内公切线 2、 两圆公切线位置情况 位置关系 公切线条数 图示 外离 4      外切 3    相交 2      内切 1    内含 0    3、 求两圆公切线方程 （1） 判定两圆的位置关系，先确定公切线条数 （2） 先判断公切线的斜率是否存在，若存在则设公切线方程,根据圆心到直线距离等于半径得到方程组，求出即可 题型3 求两圆的公切线条数 1．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）圆：与圆：公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出两圆圆心距离和半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线的条数. 【详解】由圆，得圆心，半径； 由圆，得，即圆心，半径. 两圆圆心距， 所以，即两圆相交，所以两圆公切线有2条. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】先判断圆的位置关系，由圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以两圆相离，所以圆与圆公切线条数有4条. 故选：A 3．（25-26高二上·江西·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程为，则圆心和半径分别为 圆的圆心和半径为， 此时圆心距，可知两圆内含，无公切线，故公切线条数为0. 故选：A. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3， 而圆心距为5，故两圆外切， 所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 5．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆 的公切线条数是 ． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为 ，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 【点睛】知识点点睛：两圆的位置关系与公切线条数的关系 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 题型4 根据公切线条数求参数范围 1．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线，可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式，即可得答案. 【详解】圆，整理得， 则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2， 因为两圆恰有三条公切线， 所以两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为， 所以，解得. 所以的最大值为. 故选：D 4．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知点，到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】符合题意的直线分别与圆和圆相切，进而可得两圆相交，可求得的范围. 【详解】以为圆心，2为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为. 若符合题设的直线恰有2条，则上述两圆相交. 又，所以. 可得，所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 6．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 题型5 求公切线的长和方程 1．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 3．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 4．（2025·山东·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 5．（多选题）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 6．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆和圆，下列说法正确的是（   ） A．两圆相内切 B．两圆相外切 C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线 【答案】BCD 【分析】求出圆心距与半径之和比较即可判断A，B选项；分别求出两圆圆心到直线和的距离，与半径比较，即可判断C，D选项. 【详解】由题可得,,,，所以，所以两圆相外切，故A错误，B正确； 对于C选项，圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故C正确； 对于D选项,圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故D正确； 故选：BCD 考点3 圆与圆的公共弦 一、两圆相交弦长 （1）公共弦所在的直线方程 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 二、圆系方程 若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为 题型6 求相交圆的公共弦方程 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系，如果相交并求出公共弦所在直线方程. 【答案】两圆相交，公共弦所在直线方程为 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程后可得两圆圆心及半径，即可通过计算两圆圆心距离与半径之和及半径之差的关系得到两圆位置关系，再利用两圆方程相减即可得公共弦所在方程. 【详解】由题可得，， 则圆圆心为，半径，圆圆心为，半径， 则，，， 有、， ， 故，故圆与圆的位置关系为相交， 将两圆方程相减可得， 化简得，故公共弦所在直线方程为. 2．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公共弦直线方程的求解方式，用两圆联立相减即可. 【详解】联立 两式相减可得. 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知圆与圆相交，则公共弦所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】首先将两圆的方程化为一般方程，接下来只需将两圆的一般方程相减即可得到公共弦所在的直线方程. 【详解】由题意得，把圆，圆的方程都化为一般方程． 圆，① 圆，② 由②①得， 即为所求公共弦所在直线方程． 故答案为：. 4．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】    如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 5．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 题型7 求相交圆的公共弦长 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）两圆与的公共弦长等于 . 【答案】 【分析】由圆的方程求公共弦的方程，得到圆的圆心在公共弦上即可求解. 【详解】由题意，两圆的标准方程为，， 两圆方程相减可得公共弦方程为：， 因为圆心为，半径为， 该圆的圆心在公共弦上，所以公共弦长为该圆的直径. 故答案为： 2．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案. 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C    3．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 6．（多选题）（25-26高二上·全国·期中）已知圆与圆，则（    ） A．过点作圆的切线只有条，则 B．若圆与圆有且只有条公切线，则 C．当时，两圆的一条公切线方程为 D．当时，两圆的公共弦长为 【答案】ABC 【分析】根据切线判断圆与圆的位置关系判断A，B，根据切线条件计算得出公切线判断C，先求出两圆的相交弦所在直线方程再应用几何法计算求出弦长判断D. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B对； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：ABC. 题型8 圆系方程的应用 1．（多选题）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 【答案】ABC 【分析】选项A根据两圆相交于两点，故存在两条公切线；选项B根据两圆的方程相减得出直线的方程；选项C根据点到直线距离公式求出圆心到的距离d，再根据勾股定理求出的长度；选项D根据，将圆系方程变形为标准方程，通过恒成立，证明圆系方程真实存在，但此圆系中不包含圆. 【详解】因为圆和圆：相交于，两点， 所以两圆有两条公切线，故A正确． 圆和圆的方程相减得， 所以直线的方程为，故B正确． 圆心到直线的距离为，所以线段的长为： ，故C正确． 因为，，所以，恒成立， 即过，两点的圆的方程可化为， 而恒成立， 所以方程表示圆系， 但此圆系不包括圆，故D不正确． 故选：ABC． 2．（多选题）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 【答案】AC 【分析】由圆与圆的位置关系判断A； 求出公共弦所在直线方程判断B；利用圆的弦长公式求出弦长判断C；判断方程是否过A、B两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心，半径， 对于A，，圆与圆相交，有两条公切线，A正确； 对于B，圆与圆的方程相减得直线AB的方程：，B错误； 对于C，圆心O到直线AB的距离，则，C正确： 对于D，当时，恒成立， 即该方程恒过A、B两点，方程化为， 而恒成立， 因此方程表示圆， 但此圆系不包括圆M，D错误. 故选：AC 3．（2025高三·全国·专题练习）求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 【答案】 【分析】设过圆两交点的圆为，利用过原点求得，可求圆的方程. 【详解】设过圆两交点的圆方程为， 因为圆过原点，所以，得， 所以． 所以圆的方程为． 【点睛】方法点睛：过两圆交点的圆（公共弦）系方程为．当时，方程为两圆公共弦所在直线方程（等幂线）． 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【分析】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 学科网（北京）股份有限公司 $