2.5.2 圆与圆的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 典例剖析 【考点一 圆与圆的位置关系】 【题型 圆与圆位置关系的判断及求参数】 【归纳总结】圆与圆位置关系的判断 1. 几何法：比较两圆的圆心距与两圆的半径和、半径差的大小关系 【常用方法】 2. 代数法：联立两圆的方程，消元得到一元二次方程，根据该一元二次方程根的情况（利用△）来确定两圆的位置关系 【注意】 利用代数法判断两圆的位置关系时，注意条件的不等价性，即两圆外离，应是两圆外离，两圆外离或内含．同理，两圆外切或内切，两圆相交． 1．圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 【变式】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系． 【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B． 2．圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C （根据位置关系求参） 3．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（    ） A．7 B．3 C．3或7 D．5 【答案】C 【分析】根据两圆内切或外切即可求解. 【详解】， 因为圆与圆有且仅有一个公共点， 所以圆与圆相内切或外切， 所以或， 所以或， 故选：． 4．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值. 【详解】 解：，点的轨迹是以为直径的圆， 又点在圆上，故点是圆与圆的交点， 因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即， 解得：． 的最小值为4． 故选：D． 【练习】已知圆和两点，圆C上若存在点P，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由题意可得在为直径的圆上，转化为两圆有公共点求解. 【详解】，且存在点P，使得， 点的轨迹为， 点在圆上， 两圆有公共点， 两圆圆心分别为，，圆心距为5，半径分别为， ，解得， 故选：D 典例剖析 【考点二 圆与圆相切】 【题型一 两圆的公切线条数】 【归纳总结】两圆公切线条数的判断方法 1. 两圆的公切线：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，分为外公切线和内公切线两种． 2. 两圆公切线条数的判断：根据两圆的位置关系来确定公切线的条数 外离：4条 外切：3条 相交：2条 内切：1条 内含：无 5．设圆，圆，则圆，的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解． 【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线． 故选：B． 6．到点、的距离分别为和的直线有 条． 【答案】 【分析】分析以点为圆心半径为的圆与以点为圆心半径为的两圆的位置关系，求出两圆公切线的条数，即可得出结论. 【详解】到点的距离为3的直线是以为圆心，为半径的圆的切线； 同理，到点的距离为的直线是以为圆心，半径为的圆的切线， 所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线， 而这两圆的圆心距，则， 所以圆和圆外离，因此它们的公切线有条，即满足条件的直线有条. 故答案为：. （求参数） 7．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A．－23 B．－3 C．－12 D．－13 【答案】A 【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果. 【详解】因为圆，圆心为，半径为； 圆可化为，圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切， 因此，即， 解得. 故选：A. 8．圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知两圆的位置关系为外切或相离，进而根据圆心距与半径和的关系求解即可. 【详解】解：将化为标准方程得，即圆心为半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆至少有三条公切线， 所以两圆的位置关系为外切或相离， 所以，即，解得. 故选：D 【题型二 两圆的公切线方程】 【归纳总结】两圆公切线的直线方程的求解思路 1. 确定两圆的位置关系，从而确定公切线的条数 2. 画出大致图象，明确几何关系 3. 根据几何关系列式求解 常用：①切线性质：圆心到切线的距离=圆半径 ②相似三角形长度比例关系 ③切线间隐含的特殊位置关系：平行、垂直、对称等 外离-4条 9．（多选）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出． 【详解】根据题意可知，两圆心关于原点对称， 在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：    显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线； 又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确； 利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为， 又到切线的距离为1，即，解得或； 当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B不正确； 由对称性可知，切线与直线平行， 易知，所以直线的方程为， 可设的方程分别为， 由两平行线间距离公式可得，解得， 即切线的方程分别为，； 整理可得两切线方程为和，故C、D正确； 故选：ACD． 10．已知点，求符合点A，B到直线l的距离分别为1，2的直线方程. 【答案】或或或. 【分析】根据题意可知直线l是圆与圆的公切线，先判断两圆外离，可得直线l有四条，再根据几何性质（相似三角形的性质）和点到直线的距离公式即可求解直线l的方程． 【详解】由题意可知直线l是圆与圆的公切线， 两圆圆心距为，则两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条． 如图，当直线l是两圆的外公切线时， 有，则， 所以，则，即为的中点，则， 设直线l的方程为，则，解得， 此时直线l的方程为或； 如图，当直线l是两圆的内公切线时， 根据对称性，可得，又， 则，所以，则，即， 设直线l的方程为，则，解得， 此时直线l的方程为或． 综上所述，所求直线方程为或或或. 故答案为：（答案不唯一）． 【练习】求圆与圆的公切线所在直线的方程. 【答案】，，，. 【分析】设公切线方程，利用几何法求切线方程. 【详解】由题意得，圆心为，半径，，圆心为，半径， 可知两圆的公切线所在直线的斜率存在， 设公切线所在直线的方程为，即 由，得，得或， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 综上，两圆的公切线所在直线的方程为，，，. 外切-3条 11．已知圆，圆，则的公切线方程为 ． 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 【变式】写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 12．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________. 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或. 故答案为：或或. 【变式】写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 相交-2条 13．下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，由几何关系求出，即可得出. 【详解】根据题意可知，， 如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P， 由几何关系可知，，，， 所以，，，，l的斜率为， 则l的方程为，即， 根据对称可得出另一条公切线方程为. 故选：B． 【练习】写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 内切-1条 14．已知两圆，，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示） 【答案】     内切     【分析】求出两圆的圆心和半径，比较圆心距和半径之和、半径之差的关系即可判断两圆的位置关系， 设公切线方程为：，根据两圆圆心所在直线斜率可得公切线的斜率的值，再由圆心到公切线的距离等于半径求出的值即可求解. 【详解】由圆可得圆心，半径， 由可得， 可得圆心，半径， 因为圆心距，，所以， 所以两圆的位置关系为内切， 设公切线方程为：， 由题意可得， 因为两圆圆心所在直线垂直于公切线， 且，所以代入可得， 经检验不满足，所以， 所以两圆的公切线方程为即. 故答案为：内切；. 【练习】已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 【题型三 公切线长度】 【归纳总结】两圆公切线的长度 1. 两圆的公切线的长度：指公切线与两圆的两个切点之间的线段的长度。 2. 求解思路 （1） 原理：勾股定理 （2） 求解公式：①外公切线 ②内公切线 外离--4条：两两相等 15．圆与圆的一条公切线长为 ． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 外切-3条：外切的2条相等 16．（多选）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为16 D．与的一条公切线斜率为 【答案】BD 【分析】A选项，得到两圆外切，得到公切线条数；C选项，数形结合得到当四点共线时，最大，求出最大值；BD选项，先得到直线的斜率存在，设其与轴交点为，斜率为，作出辅助线，求出且斜率为. 【详解】选项A，由题意可知：的圆心，半径， 的圆心，半径， 因为，所以与外切， 所以与有且仅有3条公切线，故错误； 选项C：因为， 当且仅当四点共线时，等号成立，所以的最大值为10，故错误； 选项BD：当直线的斜率不存在时，直线与分别切于相同的点，不合要求， 显然直线的斜率存在且不为0，根据对称性， 不妨设直线的与轴交点为，斜率为，如图所示， 连接，过作，垂足为， 可知四边形为矩形，且， 在Rt中，可得， 所以， 故直线的斜率，故BD正确. 故选：. 相交-2条：相等 17．圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 【变式】（多选）圆与圆相交于，两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D正确， 故选：ACD 典例剖析 【考点三 两圆相交】 【题型一 相交的公共弦方程】 【归纳总结】两圆相交，公切弦所在直线方程 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦，联立作差得到：即为两圆共线方程 18．已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________. 【答案】 【分析】由两圆相交弦方程为两圆方程相减得到，将已知圆的方程相减即可得结果. 【详解】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到， 所以直线的方程是. 故答案为： 19．已知圆和圆，若点(，)在两圆的公共弦上，求的最小值 ． 【答案】8 【分析】两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，根据P在公共弦上可得a＋b＝2，根据和基本不等式即可求的最小值． 【详解】圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为， ∵点(，)在两圆的公共弦上，∴， ∴ ，当且仅当，即、时等号成立， ∴的最小值为8． 【变式】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围； 【详解】解：由圆，圆， 得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点， 又在直线上，，即. ∴，∴的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用. （切点弦） 20．过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出以为圆心，为半径为圆的方程，再求两个圆的公共弦方程即可. 【详解】根据题意，设，圆的圆心为，半径， 有， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即， 公共弦所在的直线即直线， 则，变形可得； 即直线的方程是； 故选：B. 21．已知圆C的方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出四边形PAOB的面积最小时点的位置，根据圆与圆的交线的求法求得正确答案. 【详解】依题意可知， 所以， 所以最小时，最小，此时， 的斜率为，所以此时直线的斜率为，也即此时直线的方程为， 由解得，则， 以为圆心，半径为的圆的方程为， 即，与两式相减并化简得：. 故选：A    【题型二 公共弦的长度】 【归纳总结】两圆相交，公切弦的弦长求法 1.代数法：联立两圆的方程，求出两交点坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长． 2.几何法：求出公共弦所在直线方程，在其中一圆中求出其圆心到的距离，利用圆的半径，半弦长，弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求公共弦长． 【常用，推荐】 22．圆和圆的公共弦的长为___________． 【答案】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差即可得出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式及垂径定理、勾股定理计算可得； 【详解】解：由圆①，即，所以圆心，半径； 又圆②， ①②得，即公共弦方程为， 圆心到直线的距离, 所以公共弦长为； 故答案为： 【变式】若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________. 【答案】 【分析】两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，根据圆的弦长公式即可求a的值． 【详解】圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程： ， 圆圆心(0，0)到公共弦距离d＝， 则公共弦长度为，解得a＝． 故答案为：． 23．已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 【答案】A 【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计算即可. 【详解】圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆与圆都过点，则，如图所示， 又，∴，由对称性可知，， ，，则四边形的面积. 故选：A 典例剖析 【考点四 与圆有关的最值问题】 【题型 求与圆有关的最值】 【归纳总结】与圆有关的最值（几何最值） 1 → 动直线斜率的最值问题 2 → 动直线截距 3 → 动点到定点距离的平方 24．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则 ①的最大值为_____； ②2y－x的最大值和最小值分别为____________________； ③x2＋y2的最大值和最小值分别为____________________. 【答案】          －2＋，－2－　；     7＋4，7－4　. 【解析】（1）整理方程可知，方程表示以点（2,0）为圆心，为半径的圆，设＝k，进而根据圆心（2,0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值； （2）设y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．进而利用点到直线的距离求得y－x的最小值； （3）x2＋y2是圆上点与原点距离之平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，分别求出可得结果. 【详解】原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆. ①的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±. 所以的最大值为； ②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距， 如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值， 此时＝，解得b＝－2±， 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－； ③x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，x2＋y2的最小值是（2－）2＝7－4. 故答案为：①；②－2＋，－2－；③7＋4，7－4. 【点睛】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想. 25．已知圆关于直线对称，设点，若点Q是圆C上任意一点，则的最小值是______． 【答案】## 【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出，的关系，再求出圆心到直线的距离，即可求出的最小值． 【详解】圆化为，圆的圆心坐标为，半径为． 圆关于直线对称，所以在直线上，可得，即． 圆心到直线的距离为， 的最小值是． 故答案为：． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2.5.2圆与圆的位置关系 典例剖析 【考点一圆与圆的位置关系】 【题型圆与圆位置关系的判断及求参数】 【归纳总结】圆与圆位置关系的判断 1. 儿何法：比较两圆的圆心距与两圆的半径和、半径差的大小关系【常用方法】 2. 代数法：联立两圆的方程，消元得到一元二次方程，根据该一元二次方程根的情况（利用△）来 确定两圆的位置关系 【注意】 利用代数法判断两圆的位置关系时，注意条件的不等价性，即两圆外离中△<0，应是两圆外离一△<0 △<0台两圆外离或内含，同理，两圆外切或内切一△=0，两圆相交台△>0. (判断) 1.圆M:(x-1)2+y2=3与圆N:x2+(y+3)2=7的位置关系是 【变式】已知圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆 C2:(x+2)2+(y-3)2=25'则圆C1与圆C2的位置关系是() A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 第1页 2.圆C1:x2+y2-4y-5=0与圆C2:x2+y2+2ax+a2=1的位置关系不可能为() A.相切 B.相交 C.内含 D.外离 (根据位置关系求参) 3.已知圆c,x-2)}2+y+2)2=rr>0)与圆c2:(x+1)2+y-2)2=4若圆C与圆C2有且 仅有一个公共点，则实数r等于() A.7 B.3 C.3或7 D.5 4.已圆c:(x-3)2+y-42=1和两点A-m0)B(m,0)(m>0小若圆C上存在点P, 使得∠APB=90°，则m的最小值为() A.7 B.6 C.5 D.4 第2页 【练习】已知圆C:(x+3)2+(y+4)2=1和两点A(-a,0),B(a,0)(a>0),圆C上若存在点P,使得 ∠APB=90°，则a的最小值为() A.7 B.6 C.5 D.4 典例剖析 【考点二圆与圆相切】 【题型一两圆的公切线条数】 【归纳总结】两圆公切线条数的判断方法 1. 两圆的公切线：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，分为外公切线和内公切线两种. 2.两圆公切线条数的判断：根据两圆的位置关系来确定公切线的条数 外离：4条外切：3条相交：2条 内切：1条 内含：无 5.设圆C1:x2+y2-2x+4y=4,圆C2:x2+y2+6x-8y=0,则圆C1,C2的公切线有(） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 第3页 6.到点A(-1,2)、B(3,-1)的距离分别为3和1的直线有条. (求参数) 7.若圆C1:(x-2)2+y2=1与圆C2:x2+y2+4x+6y+m=0有且仅有一条公切线，则m= () A.-23 B.-3 C.-12 D.-13 8.圆x2+（y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线，则m的取值范围是 () A.(-∞，-5] B.[5,+om) c.[-5,5] D. (-∞-5]U[5,+o) 第4页 【题型二两圆的公切线方程】 【归纳总结】两圆公切线的直线方程的求解思路 1. 确定两圆的位置关系，从而确定公切线的条数 2. 画出大致图象，明确几何关系 3.根据几何关系列式求解 常用：①切线性质：圆心到切线的距离=圆半径 ②相似三角形长度比例关系 ③切线间隐含的特殊位置关系：平行、垂直、对称等 外离-4条 9.（多选)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列是M, N两圆公切线的直线方程为() A.y=0 B.3x-4y=0 C.x-2y+V5=0D.x-2y-5=0 第5页 10.己知点A(0,0),B(6,0),求符合点A,B到直线1的距离分别为1,2的直线方程. 【练习】求圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+20x+84=0的公切线所在直线的方程. 第6页 外切-3条 11.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=1,求C1C2的公切线方程 【变式】写出与圆x一1)+(y-2)=和圆x-2)+(y-1)=专都相切的一条直线方 程 第7页 12.求与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+(y+3)2=16都相切的直线方程 【变式】求圆C1:(x-1+y2=1与圆C2:(x-4)+(y-4)=16的公切线方程. 第8页 相交-2条 13,下列方程中，圆C1:x2-2x+y2=0与圆C2:4x2+4y2=9的公切线方程是() A.x+5y+3=0B.x+V5y-3=0C.V5x+y+3=0D.5x-y-3=0 【练习】求与圆x2+y2-4=0和x2+y2+6x-8y=0都相切的直线的方程. 第9页 内切-1条 14.已知两圆C1:x2+y2=1,C2:x2+y2-6x-8y-11=0,则两圆的位置关系为 两圆的公切线方程为 【练习】已知圆C1:(x-1)+y2=1,圆C2:(x-4)+y2=16,则两圆公切线的方程为一 第10页