2.5.2圆与圆的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2圆与圆的位置关系 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数、求两圆的交点坐标 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 6．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A 7．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 8．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线方程 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 二、多选题 9．（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【答案】AB 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】利用距离和半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆，则， 圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为， 则，，， 对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确； 对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确； 对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误； 对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误. 故选：AB. 10．（24-25高二上�湖南永州�阶段练习）动点在圆：上，动点在圆：上，下列说法正确的是（   ） A．两个圆心所在的直线斜率为 B．两圆公切线有三条 C．的最小值为0 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【知识点】已知两点求斜率、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，即可判断两圆的位置关系，即可判断B、C、D，由两圆心坐标可求出两圆心所在直线的斜率，即可判断A. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 两个圆心所在的直线的斜率，故A正确； 因为，所以圆与圆相外切， 所以两圆公切线有三条，故B正确； 因为圆与圆相外切，所以当点与点为切点时，最小且最小值为，故C正确； 因为圆与圆相外切，所以两圆无公共弦，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高二上·全国·单元测试）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【答案】3 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 【点睛】知识点点睛：两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 公切线条数 图示 外离 4      外切 3    相交 2      内切 1    内含 0    13．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 14．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆，圆，其中，，若两圆外切，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆外切推出，将其理解为以为圆心，半径为2的圆，而把看成过点与点的直线的斜率，结合图形需使直线与圆有公共点，即可求得其范围. 【详解】圆，则，半径， 圆，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 则点在以为圆心，半径为2的圆上，即在圆上， 令，则表示过点与点的直线的斜率， 则该直线一定过点，且与圆有公共点， 由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在（若斜率不存在，则直线与圆相离）， 设该直线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，则，即 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·山西大同·阶段练习）已知圆与圆，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆与圆的位置关系如何？ 【答案】圆与圆的位置关系是内含. 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心距可求出最短距离，即可判断. 【详解】把两圆的方程化为标准方程，得圆，圆， 则两圆圆心的坐标分别为，，半径分别为，， 所以两圆的圆心距， 所以当时，有最小值，且，此时，所以圆与圆的位置关系是内含. 16．已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、两圆的公共弦长 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再根据已知两圆心得出中点坐标（即所求圆圆心坐标），求出半径后可得圆方程； （2）设直线的方程是，由几何法求弦长，再由弦长相等求得，从而得直线方程． 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线长 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 19．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知圆O：与圆E：内切． (1)直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； (2)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、基本不等式求和的最小值、过圆内定点的弦长最值（范围）、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】（1）根据两圆内切得到，联立与，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出的值； （2）先考虑直线斜率不存在时，，当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补，直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，利用垂径定理得到求出，表达出，利用基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）由题意得， ，故，圆E的半径为， 由于，故在圆E上， 故，所以，其中，解得， 与联立得， 恒成立， 设，则， 故， ，解得； （2）当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在， 此时，， 当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补， 当直线的斜率存在且不为0时，设直线：， 圆心到直线的距离， 故， 由于直线的方程为， 故， 则 ， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【点睛】方法点睛：圆中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 能力提升 1．（多选）（2025�河北�模拟预测）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【知识点】求点关于直线的对称点、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】对于A，由两圆圆心距离加上两半径即可得解判断；对于B，设，直接由坐标计算数量积，再结合一元二次函数性质即可得解判断；对于C，作圆和点N关于l对称的圆和点，由图即可求解最小值判断；对于D，作图观察得到当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为，再求出最大值即可得解. 【详解】由题意可得圆圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为1， 则两圆心距离，即两圆相离， 对于A，由题意可得两圆上的点的距离最大值为，故A正确； 对于B，由题可设，则， 所以当时，取得最小值为，故B错误； 对于C，因为点关于直线对称的点为， 所以点关于直线对称的点为， 所以如图，作圆和点N关于l对称的圆， 则由图可知当对称圆的圆心和对称点以及M、四点共线时可得的最小值为，故C正确； 对于D，如图可知当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为， 而最大值为，故D正确. 故选：ACD 2．（多选）（24-25高二上�江苏镇江�期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【答案】ACD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、直线与圆中的定点定值问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可． 【详解】设点，因为，所以， 整理得，， 即曲线为圆心为，半径为2的圆， 对于A，圆，即， 该圆的圆心为，半径为3， 两圆的圆心距为：， 所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确； 对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为， 所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误； 对于C，设，即， 由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离为2， 由，解得或， 所以的取值范围是：，故C正确； 对于D，设， 则， 化简得，， 依题意，需使， 解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去） 所在存在满足题意，故D正确． 故选：ACD. 3．（25-26高二上�全国�单元测试）已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、判断圆与圆的位置关系 【分析】先得到，设关于直线的对称点为，求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】的圆心为，半径为1. ，圆心为，半径为2． 因为，所以两圆相离，如图所示． 则， 当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立． 设关于直线的对称点为， 连接，与直线交于点，此时， 故即为的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 4．（24-25高二上�安徽合肥�期末）年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：  是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ． 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】利用圆、圆均与圆外切，分别求出圆、圆的方程，直线的方程为，由圆的弦长公式建立方程组，求解即得. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为3. 设圆的标准方程为，圆心为，半径为 因为圆与圆外切，所以，解得， 根据对称性得圆、圆的标准方程分别为，. 直线过点，且与三个圆都相交， 设直线的方程为，且存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： ， 依题意，， 可得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 求出三个圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用弦长相等，结合点到直线距离公式和弦长公式列等式求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2圆与圆的位置关系 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 10．（24-25高二上�湖南永州�阶段练习）动点在圆：上，动点在圆：上，下列说法正确的是（   ） A．两个圆心所在的直线斜率为 B．两圆公切线有三条 C．的最小值为0 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 11．（25-26高二上·全国·单元测试）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 13．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 14．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆，圆，其中，，若两圆外切，则的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·山西大同·阶段练习）已知圆与圆，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆与圆的位置关系如何？ 16．已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 19．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知圆O：与圆E：内切． (1)直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； (2)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 能力提升 1．（多选）（2025�河北�模拟预测）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 2．（多选）（24-25高二上�江苏镇江�期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 3．（25-26高二上�全国�单元测试）已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 4．（24-25高二上�安徽合肥�期末）年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：  是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2圆与圆的位置关系 题型1 圆与圆的位置关系 4 考点1 圆与圆的位置关系的判断 4 考点2 由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值范围 6 考点3 由圆与圆的位置关系求圆的方程 9 题型2 两圆的公共弦问题 12 题型3 两圆的公切线问题 16 考点1 求两圆公切线的方程 16 考点2 求两圆公切线长 19 题型4 与两圆位置关系有关的最值问题 21 知识点一 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含,如图所示. 2．圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法.由两圆的圆心距与半径长,的关系来判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 的关系 (2)代数法.设圆圆. 对于方程组消去,得到一个二元一次方程,然后将其代入其中一个圆的方程,得到一个一元二次方程.利用判别式判断两圆的位置关系如下： ⇔方程有两个不同的实数解⇔两圆相交； ⇔方程有两个相同的实数解⇔两圆相切(外切或内切)； ⇔方程没有实数解⇔两圆相离(外离或内含). 知识点二 两圆的公切线 1．两圆的公切线的定义 (1)两圆的公切线是指与两圆相切的直线,可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线的位置的种情况(如图所示) ： ①两圆外离时,有条公切线,分别是条外公切线,条内公切线； ②两圆外切时,有条公切线,分别是条外公切线,条内公切线； ③两圆相交时,有条公切线,都是外公切线； ④两圆内切时,有条公切线； ⑤两圆内含时,无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系. 2．两圆的公切线方程的确定 (1)当公切线的斜率存在时,可设公切线的方程为,由公切线的意义(两圆公共的切线)可知,两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径长,这样得到关于和的方程组,解这个方程组得到的值,即可写出公切线的方程. (2)当公切线的斜率不存在时,要注意运用数形结合的方法,观察并写出公切线的方程. 知识点三 两圆的公共弦 1．两圆相交时公共弦所在直线的方程 两圆相交时,有一条公共弦,如图所示. 设圆 圆 ①-②,得 若圆与圆相交,则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点,则点满足与,所以 即点适合直线方程,故在③所对应的直线上,③表示过两圆与交点的直线,即公共弦所在的直线的方程. 2．两圆相交时公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,由勾股定理求出公共弦长. 拓展 圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)同心圆系方程：其中,是定值,是参数. (2)半径相等的圆系方程：,其中是定值,,是参数. (3)过直线与圆交点的圆系方程： (4)过两圆和交点的圆系方程：(其中不含有圆,因此注意检验圆是否满足题意,以防漏解). 当时,方程变为表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在；当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时,此直线为两圆的公切线). 题型1 圆与圆的位置关系 考点1 圆与圆的位置关系的判断 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．两圆可能外离 B．两圆可能相交 C．两圆可能内切 D．两圆可能内含 4．（24-25高二上�江西�阶段练习）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高三下�辽宁�期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点2 由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值范围 6．已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 7．（2025高二上·全国·专题练习）已知两圆和．则当a为何值时，两圆内切． 8．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值． 考点3 由圆与圆的位置关系求圆的方程 9．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 10．与圆外切且与直线相切于点的圆的方程为 . 11．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 . 13．（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 题型2 两圆的公共弦问题 15．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 17．（23-24高二上�天津河西�期中）两相交圆与的公共弦所在的直线方程为 ，以公共弦为直径的圆的方程为 . 18．（多选）（25-26高二上�全国�单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 19．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 20．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 题型3 两圆的公切线问题 考点1 求两圆公切线的方程 21．求圆与的公切线的方程． 22．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 23．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 考点2 求两圆公切线长 24．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 25．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 26．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 题型4 与两圆位置关系有关的最值问题 27．已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 28．（24-25高二上�广东深圳�阶段练习）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 .   29．（24-25高二下�上海宝山�期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 30．已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为 . 31．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 34．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动点，到两圆的切线长分别相等，且，点在圆上，点在圆上，求四边形面积的最小值和最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2圆与圆的位置关系 题型1 圆与圆的位置关系 4 考点1 圆与圆的位置关系的判断 4 考点2 由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值范围 6 考点3 由圆与圆的位置关系求圆的方程 9 题型2 两圆的公共弦问题 12 题型3 两圆的公切线问题 16 考点1 求两圆公切线的方程 16 考点2 求两圆公切线长 19 题型4 与两圆位置关系有关的最值问题 21 知识点一 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含,如图所示. 2．圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法.由两圆的圆心距与半径长,的关系来判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 的关系 (2)代数法.设圆圆. 对于方程组消去,得到一个二元一次方程,然后将其代入其中一个圆的方程,得到一个一元二次方程.利用判别式判断两圆的位置关系如下： ⇔方程有两个不同的实数解⇔两圆相交； ⇔方程有两个相同的实数解⇔两圆相切(外切或内切)； ⇔方程没有实数解⇔两圆相离(外离或内含). 知识点二 两圆的公切线 1．两圆的公切线的定义 (1)两圆的公切线是指与两圆相切的直线,可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线的位置的种情况(如图所示) ： ①两圆外离时,有条公切线,分别是条外公切线,条内公切线； ②两圆外切时,有条公切线,分别是条外公切线,条内公切线； ③两圆相交时,有条公切线,都是外公切线； ④两圆内切时,有条公切线； ⑤两圆内含时,无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系. 2．两圆的公切线方程的确定 (1)当公切线的斜率存在时,可设公切线的方程为,由公切线的意义(两圆公共的切线)可知,两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径长,这样得到关于和的方程组,解这个方程组得到的值,即可写出公切线的方程. (2)当公切线的斜率不存在时,要注意运用数形结合的方法,观察并写出公切线的方程. 知识点三 两圆的公共弦 1．两圆相交时公共弦所在直线的方程 两圆相交时,有一条公共弦,如图所示. 设圆 圆 ①-②,得 若圆与圆相交,则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点,则点满足与,所以 即点适合直线方程,故在③所对应的直线上,③表示过两圆与交点的直线,即公共弦所在的直线的方程. 2．两圆相交时公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,由勾股定理求出公共弦长. 拓展 圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)同心圆系方程：其中,是定值,是参数. (2)半径相等的圆系方程：,其中是定值,,是参数. (3)过直线与圆交点的圆系方程： (4)过两圆和交点的圆系方程：(其中不含有圆,因此注意检验圆是否满足题意,以防漏解). 当时,方程变为表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在；当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时,此直线为两圆的公切线). 题型1 圆与圆的位置关系 考点1 圆与圆的位置关系的判断 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 3．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．两圆可能外离 B．两圆可能相交 C．两圆可能内切 D．两圆可能内含 【答案】ABC 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 则，， 当即时，，两圆外离； 当即时，，两圆相交； 当即时，，两圆内切； 当即时，，两圆外切； 综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，可以外切，不能内含. 故选：ABC. 4．（24-25高二上�江西�阶段练习）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】圆的公切线条数 【分析】判断出两圆的位置关系即可得出圆，的公切线条数. 【详解】由已知得，圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为，故， 而，故圆，相交，有两条公切线. 故选：. 5．（24-25高三下�辽宁�期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 考点2 由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值范围 6．已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)时，两圆外切；时，两圆内切． (2) (3) (4) 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径，根据两圆相切的性质，可解出满足条件的实数a的值； （2）根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （3）根据两圆外离的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （4）根据两圆内含的性质，建立关于a的不等式，解之即可. 【详解】（1）将圆、圆的方程配方后可得 ，， 圆心，，半径，． ． 当，即时，两圆外切； 当，即时，两圆内切． （2）当，即时，两圆相交，的取值范围为． （3）当，即时，两圆外离，的取值范围为． （4）当，即时，两圆内含，的取值范围为． 7．（2025高二上·全国·专题练习）已知两圆和．则当a为何值时，两圆内切． 【答案】或． 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】本题考查的是两个圆的位置关系，需要先分别求出两圆半径和圆心距，然后比较大小. 【详解】，， 所以，圆心距. 当，即时，两圆内切， 此时或． 8．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据题意先根据圆心在直线l上并且与坐标轴相切求出圆心坐标和半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程. （2）讨论两圆内切和外切的情况，利用两圆相切圆心距与两圆半径的关系可得到关于a的关系式，进而求出a的值. 【详解】（1）由圆与两坐标轴都相切可知，圆的圆心在直线或上， 又直线与直线平行，所以圆心在直线上． 联立，可得圆心，半径， 所以圆的标准方程为． （2）由题意：， 可得圆心，半径， 所以． 当两圆外切时，，解得， 当两圆内切时，，解得． 综上，的值为或． 考点3 由圆与圆的位置关系求圆的方程 9．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 10．与圆外切且与直线相切于点的圆的方程为 . 【答案】或 【知识点】已知直线垂直求参数、过圆上一点的圆的切线方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】设所求圆的方程为，再根据两圆外切以及直线与圆相切列方程，解方程，进而得解. 【详解】将圆化为标准式为，即圆心为（1,0），半径为1. 设所求圆的方程为. 则由题意知，①        ，② ，③ 由①②③得，，或，，， 即所求圆的方程为或. 【点睛】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了两圆的位置关系，考查了直线与圆的位置关系；当两圆外切时，圆心距等于两个圆的半径之和，当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于这个圆的半径，且圆心和切点连线与切线垂直. 11．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、求圆的一般方程 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由，得，由，得，由，得，画出曲线的图像，利用对称性可设，即，解出即可. 【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上， 设圆的标准方程为，则，解得， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 题型2 两圆的公共弦问题 15．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 16．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 17．（23-24高二上�天津河西�期中）两相交圆与的公共弦所在的直线方程为 ，以公共弦为直径的圆的方程为 . 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、求圆的一般方程 【分析】将两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程；设所求圆的方程为：，得圆心，代入直线，求解即可. 【详解】解：将与的方程相减，得， 即两圆的公共弦所在直线方程为：； 因为不在直线上， 所以设所求圆的方程为：， 即：， 其圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得， 故所求方程为， 即. 故答案为：； 18．（多选）（25-26高二上�全国�单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 【答案】AD 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程，由此可判断AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断C，数形结合找到P到直线AB的距离最大的情况即可判断D. 【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误， 由， 易知，半径， 则点到直线的距离， 故弦长；故C正确， 当，并在如图所示位置时， P到直线AB的距离最大，为； 故选：AD. 19．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围、两圆的公共弦长 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 20．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【知识点】求两圆的交点坐标、两圆的公共弦长 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 题型3 两圆的公切线问题 考点1 求两圆公切线的方程 21．求圆与的公切线的方程． 【答案】或或或 【知识点】已知点到直线距离求参数、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】分类讨论公切线的斜率不存在，根据点到直线的距离公式结合切线的性质可得，运算求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以， 所以圆与圆相离，所以有4条公切线，如图所示．    当公切线的斜率不存在时，直线是两圆的一条公切线． 当公切线的斜率存在时，设公切线方程为， 到直线的距离为， 到直线的距离为， 所以， 所以或，整理得或， 当时，，解得， 所以公切线方程为3x＋4y＋10＝0； 当时，， 所以，整理得，解得或， 当时，，公切线方程为； 当时，，公切线方程为； 综上所述：公切线的方程为或或或． 22．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 23．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 考点2 求两圆公切线长 24．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】圆的公切线长、判断圆与圆的位置关系 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 25．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【知识点】圆的公切线长 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 26．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【知识点】圆的公切线长、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 题型4 与两圆位置关系有关的最值问题 27．已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用两圆的圆心距及圆的性质计算即可. 【详解】因为，，所以，且两圆的半径分别为，即两圆外离， 所以的最小值为. 故选：B 28．（24-25高二上�广东深圳�阶段练习）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 . 【答案】7 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求点关于直线的对称点 【分析】将求的最大值转化为求的最大值问题，利用对称性，结合图形求解即可. 【详解】解析：由点，分别是圆，圆上的动点， 可知：， 所以，， 设关于轴的对称点为，则， 当，，三点共线时，取最大，最大值为， 所以. 故答案为：7    29．（24-25高二下�上海宝山�期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径、将军饮马问题求最值 【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 30．已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据题意易求出点的轨迹为圆，轨迹方程为，再根据两圆的位置关系即可求出的最小值． 【详解】设，由可得，，化简得，，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为，点Q在圆上，两圆的圆心距为，所以两圆相离，故的最小值为． 故答案为：． 31．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的公切线条数 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 32．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】画出图形可知两圆外离，直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的公切线斜率，故只需求出直线的斜率即可. 【详解】圆M：，可得圆心为，半径为， 圆，可得圆心为，半径为，易知两圆外离， 则直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的公切线斜率． 如图所示，，且， 所以，在中，可得， 所以，即直线PQ的斜率的最大值为．    故选：D. 33．（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】ABC 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由于，且为定点，根据隐圆第三定义知点在以为直径的圆上．由此方法一，可建立坐标系，结合圆与圆的位置关系求解；方法二，可利用向量的数量积求解；方法三，设原点为，判断原点为斜边的中点，结合圆的几何性质即可求解. 【详解】方法一：设原点为，则以为直径的圆的方程为，半径为， 圆的圆心为，半径为． 要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， 当时，点既在圆上又在圆上，所以两圆要有公共点， 所以，即， 即，解得，又，所以， 所以的取值可以为12，13，14． 方法二： 圆的圆心为，半径为． 设点，则，， 已知，则，即，所以， 其几何意义是圆上的点到原点的距离．而， 则，所以的取值可以为12，13，14． 方法三：设原点为，因为，且原点为斜边的中点， 连接，则， 当点在上移动时， ，即， 三点共线时取等号, 所以的取值可以为12，13，14． 故选：ABC 34．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动点，到两圆的切线长分别相等，且，点在圆上，点在圆上，求四边形面积的最小值和最大值． 【答案】最小值2，最大值8 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意得到的方程，根据圆与圆的位置关系得到的最值，利用四边形对角线垂直求面积即可. 【详解】，， 则圆心，对应半径，， 因为动点，到两圆的切线长分别相等， 所以在直线上， 即， 如图，，， 又圆心所在直线方程为，所以， 则，，    所以四边形面积的最小值2，最大值8. 2 学科网（北京）股份有限公司 $