第3章 勾股定理（基础+中等+优质类型）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第3章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股数与组成直角三角形的条件 【解惑】下列几组数中，勾股数的是（    ） A．1，2， 3 B．0.6， 0.8， 1 C．3， 4， 5 D．，， 【融会贯通】 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，10 D．8，15，17 2．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 3．一个三角形三边长的比是，这个三角形 （填“是”或“不是”）直角三角形． 类型二、用勾股定理求边长与面积 【解惑】在中，，若，，则的长是（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【融会贯通】 1．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 3．在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 类型三、勾股树与赵爽弦图 【解惑】如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 2．数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为 ． 3．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 类型四、勾股定理与网格问题 【解惑】【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 【融会贯通】 1．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，的面积为 ，边上的高是 ． 3．我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为 ． 类型五、勾股定理与无理数 【解惑】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，数轴上点A表示的数是 ． 3．如图，数轴上点A所表示的实数是 类型六、勾股定理与最值问题 【解惑】如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【融会贯通】 1．如图，在中，，，平分，E是上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 2．如图，为等边三角形，，于点D，点P、点E分别为上的动点，连接，若有最小值，则的长为 ． 3．如图，直角梯形纸片，，，，点、分别在线段、上，将沿翻折，点的落点记为．当落在直角梯形内部时，的最小值等于 ． 类型七、勾股定理(及逆定理)的解决应用 【解惑】在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺尺，将秋千的踏板往前推两步尺时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺即尺．当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．这个秋千的绳索有多长？ 【融会贯通】 1．如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 2．理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)如图1，求的长； (2)如图2，若滑块B向左滑动，求物体C升高的距离． 3．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，．请用学过的知识求出这块空地的面积． 类型八、勾股定理的线段平方关系 【解惑】阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【融会贯通】 1．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长． 2．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 3．如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 类型九、勾股定理的等腰(直角)三角形动点求t 【解惑】如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，，于点D，点M在直线上，且在点B的左侧，，动点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t（秒），回答下列问题： (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)在上取一点Q，使，连接，当与全等时，直接写出t的值______； (3)在点P运动的过程中，当是等腰三角形时，求出t的值． 2．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，______，______； (2)求当为何值时，是直角三角形？说明理由； (3)求当为何值时，是等腰三角形？说明理由． 3．如图，在等边中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，分别连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)当平分时，求的值； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上；此时，四边形的面积为_______； (3)当_______秒时，为直角三角形． 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则 °； (2)如图2，四边形中，，试说明四边形是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 【融会贯通】 1．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 2．定义：在中，若，，，且，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 3．定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是近直角三角形，，则______． (2)如图，在中，，，，若是的平分线． ①求证：为近直角三角形； ②求的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股数与组成直角三角形的条件 【解惑】下列几组数中，勾股数的是（    ） A．1，2， 3 B．0.6， 0.8， 1 C．3， 4， 5 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断．解题时直接根据勾股数的定义进行计算即可． 【详解】A．∵，故不符合题意； B．∵和不是整数，故不符合题意； C．∵，故符合题意； D．∵，故不符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，10 D．8，15，17 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边满足其中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，所以3，4，5作为三角形的边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，所以，，作为三角形的边长不能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，所以6，8，10作为三角形的边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，所以8，15，17作为三角形的边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 【答案】170 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ∴径为， 故答案为：170． 3．一个三角形三边长的比是，这个三角形 （填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】是 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长的比是， ∴设三角形三边长分别为，，，， 又∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：是． 类型二、用勾股定理求边长与面积 【解惑】在中，，若，，则的长是（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 2．如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且， ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ， 即：， ， ， 故答案为：10． 3．在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 【答案】150 【分析】本题考查的是勾股定理，由斜边与一条直角边比是，设斜边是，直角边是，根据勾股定理，得另一条直角边是，根据周长列方程，求得两直角边的长，进而得出三角形面积即可． 【详解】解：设斜边是，直角边是， 根据勾股定理，得另一条直角边是， ∵周长为60， ∴， 解得：， ∴三角形的直角边边长分别是15，20， ∴三角形的面积， 故答案为：150． 类型三、勾股树与赵爽弦图 【解惑】如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 2．数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查“赵爽弦图”，等积图形变换，勾股定理，图形的拼接，设，根据图（1）中间小正方形的与图（2）中小正方形的边长相等，得到，由图（1）中大正方形的周长为 ，则可求出长，利用勾股定理即可求出长度，则题目可解． 【详解】解：如图（2），设， 则图（1）中间小正方形的边长为，图（2）中小正方形的边长为a， ∴，即． ∵ 图（1）中大正方形的周长为， ∴大正方形的边长 由勾股定理可得 即， ， ， ． 故答案为：． 3．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是探究出规律． 根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图①可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图②可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ∴“生长”2025次后，所有正方形的面积和为：． 故答案为：2026． 类型四、勾股定理与网格问题 【解惑】【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定、勾股定理与网格问题，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．根据勾股定理与网格问题、三角形全等的判定画出左下角的正方形中，与全等的格点三角形，同样的方法可得在左上角的正方形中，在右上角的正方形中，在右下角的正方形中，由此即可得答案． 【详解】解：如图，在左下角的正方形中，共有7个格点三角形与全等． 同理，在左上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右下角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 所以可以与全等的格点三角形共有（个）．（不含） 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 2．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，的面积为 ，边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的面积，熟练掌握相关定理和计算公式是解题的关键．观察图形，根据矩形面积个小直角三角形面积即可求解，再利用勾股定理求解的长，最后利用三角形面积公式即可求解边上的高． 【详解】解：观察图形可知， ， 由勾股定理得，， 边上的高是． 故答案为：， ． 3．我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 类型五、勾股定理与无理数 【解惑】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的点表示无理数，利用勾股定理求出，根据点表示的数是求出点表示的数即可． 【详解】解：由图可知，，， ， ， 点表示的数是． 故选： B． 【融会贯通】 1．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 2．如图，，数轴上点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用数轴上的点表示实数，解题的关键是掌握勾股定理及数轴． 根据勾股定理得，然后根据两点之间的距离，求数轴上点表示的数即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， ∴， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 3．如图，数轴上点A所表示的实数是 【答案】 【分析】本题考查数轴与无理数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， 则， ， ∴点A所表示的实数是． 故答案为：． 类型六、勾股定理与最值问题 【解惑】如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴等边的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，平分，E是上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理， 先判断是等边三角形 ，根据等边三角形的性质可知点B，C关于对称，可得，根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵平分， ∴是的垂直平分线， ∴点B，C关于对称， ∴． 根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即， 在中，点F是的中点， ∴，． 根据勾股定理，得， 所以的最小值是6． 故选：B． 2．如图，为等边三角形，，于点D，点P、点E分别为上的动点，连接，若有最小值，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，推出的最小值是的长，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形，于D， ∴点A，C关于对称， ， ∴， ∴的最小值是的长， 当时最小， ∴， 在中， ∵， ， ∴， ， 故答案为． 3．如图，直角梯形纸片，，，，点、分别在线段、上，将沿翻折，点的落点记为．当落在直角梯形内部时，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角梯形的性质、折叠变换以及勾股定理的应用．通过分析折叠后点的位置，利用勾股定理计算的长度，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，当点落在梯形的内部时，，四边形是以为直径的圆内接四边形， ∴只有当直径最大，且点落在上时，最小，此时与点重合， 由题意得：， 由勾股定理得： ∴， ∴． 故答案为：． 类型七、勾股定理(及逆定理)的解决应用 【解惑】在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺尺，将秋千的踏板往前推两步尺时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺即尺．当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．这个秋千的绳索有多长？ 【答案】尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】解：设尺， 依题意，，， ∴ 在中， ， 解得， 故尺 【融会贯通】 1．如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 2．理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)如图1，求的长； (2)如图2，若滑块B向左滑动，求物体C升高的距离． 【答案】(1)的长为 (2)物体C升高 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：，， 故， 由滑块B向左滑动，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：物体C升高． 3．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，．请用学过的知识求出这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：， =， 答：这块空地的面积为． 类型八、勾股定理的线段平方关系 【解惑】阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【答案】探究发现：详见解析；拓展迁移：①直角三角形；② 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识； 【探究发现】如图1，连接，根据等边三角形的性质证明，得，，进而可以得到以、、为边的三角形是钝角三角形； 【拓展迁移】①连接，，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论； ②由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【详解】探究发现：证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 为钝角三角形， 以、、为边的三角形是钝角三角形； 拓展迁移：①以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下： 如图2，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即以、、为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角三角形； ②由①可知，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 正方形的面积为11.5． 【融会贯通】 1．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可； （2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．（或：．） 证明：设与相交于点E． ， ， 由勾股定理得，， ， ． （2）连接，相交于点N，交于点M． ， ，即， 又，， ≌， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（1）得，， ，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键． 2．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【详解】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 3．如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)（i）见解析；（ii），证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、以及勾股定理的应用，解题的关键是通过分析图形中的角度和边长关系，构造或证明全等三角形，将待求线段与已知线段关联，再结合特殊三角形的性质或勾股定理推导数量关系． （1）（i）由等腰直角三角形性质得；利用同角的余角相等，证明；根据判定，从而得出． 由（i）中全等三角形得，结合，推出，进而得；利用等腰直角三角形边长关系，将表示为表示为；在中应用勾股定理，代入边长表达式化简，得出． （2）由等边三角形性质得，利用角度和差证明；根据判定，得，进而推出；利用等边三角形边长关系，将表示为表示为；在中应用余弦定理（或角的三角形边长公式），代入边长表达式化简，得出． 【详解】（1）证明：，， ， 点M是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图1， ，理由如下： 由（1）得，，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ； （2）解：如图2， ，理由如下： 连接，并延长，交于G，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ，，， ， ， ， 在中，，过点N作的垂线，垂足为点（如下图），则,， 在中， ， ， 类型九、勾股定理的等腰(直角)三角形动点求t 【解惑】如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，结合垂直平分线的性质得，利用勾股定理得，即可求得； （3）过点B作于点D，利用等面积法，解得，结合等腰三角形得，依据题意得，且，利用勾股定理得解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：如图， 由题意知，， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，即，解得； （3）解：存在，，理由如下， 过点B作于点D，如图， 则，解得， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得（负值已舍）． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，，于点D，点M在直线上，且在点B的左侧，，动点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t（秒），回答下列问题： (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)在上取一点Q，使，连接，当与全等时，直接写出t的值______； (3)在点P运动的过程中，当是等腰三角形时，求出t的值． 【答案】(1) (2)2或10 (3)或4或或14． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． （1）利用三线合一定理求出的长，进而求出的长，根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，，点在点右侧，则，根据全等三角形对应边相等分别列出方程，解方程即可得到答案； （3）分三种情况讨论：，和，分别求得的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； ∵动点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度从点M沿射线运动， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解：在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，则， ∴， ∴， 解得； 当点P在点D右侧时，则时，， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，与全等； （3）解：当时，点与点重合，则， ∴； 当时， ①当在点的左侧时， ∴； ②当在点的右侧时， ∴； 当时，如图所示，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或4或或14． 2．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，______，______； (2)求当为何值时，是直角三角形？说明理由； (3)求当为何值时，是等腰三角形？说明理由． 【答案】(1)4，6 (2)当为或5时，是直角三角形 (3)当为或3或时，是等腰三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、等腰三角形定义， （1）先求出斜边，再求出结论即可； （2）分两种情况：当时，，或当时，点与点A重合，分别求出结论即可； （3）分三种情况：当时，；当时，作于点H；当时，作于点H，分别根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 当时，，， 故答案为：4，6； （2）解：∵， ∴分两种情况： 当时，， ， ， ， ； 当时，点与点A重合， ， ， 综上所述，当为或5时，是直角三角形； （3）解：分三种情况： 当时，， ； 当时，作于点H， 由（2）知， ， ， ； 当时，作于点H， 设， ， ， 在中， ， 解得：， ， ， 综上所述，当为或3或时，是等腰三角形． 3．如图，在等边中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，分别连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)当平分时，求的值； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上；此时，四边形的面积为_______； (3)当_______秒时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)当时，点在线段的垂直平分线上； (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）求得，根据距离、速度、时间的关系即可求解； （2）根据，列方程求解即可，进而根据即可求解． （3）分和两种情况讨论，根据含度角的直角三角形的性质，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在等边中，平分， 点是的中点， ， ， 的值为； （2）解：根据题意：，，则， 过点作于点，过点作于点 在等边中，，点在线段的垂直平分线上， ，， 根据题意得： ， 解得：， 当时，点在线段的垂直平分线上； ∴，， ∴ 在中， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 此时四边形的面积为 故答案为：． （3）解：当时，为直角三角形， ，即， 解得：； 当时，为直角三角形， ，即， 解得：； 综上，或时，为直角三角形． 故答案为：或． 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则 °； (2)如图2，四边形中，，试说明四边形是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)画图见解析；或或 【分析】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟悉以上图形的性质是解题的关键. （1）由题意得：，再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解，从而可得答案； （2）如图，连接，先证明是等边三角形，可得，则有，再证明，从而根据新定义可得四边形是“等腰四边形”； （3）分三种情况讨论：如图，当，可得；如图，当时，证明为等边三角形，从而可得答案；如图，当时，过点作，过点作，交延长线于点，证明．延长至，使，连接，则，可得为等边三角形，再结合图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故答案为： 45； （2）证明：如图，连接 是等边三角形 即 四边形ABCD是“等腰四边形”； （3）解：如图，当 如图，时 为等边三角形， 如图， 过点作，过点作，交延长线于点， ， ， ， 由平行线间距离处处相等可得： ， ， ， 延长至，使，连接， 则． 为等边三角形， ， 综上： 或 或。 【融会贯通】 1．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 2．定义：在中，若，，，且，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 【答案】(1)等边三角形不是“类勾股三角形”，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出． 【详解】（1）解∶ 等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，，则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； （2）证明：等腰三角形是“类勾股三角形”，，， ， ， 是直角三角形，且． ， ， 的度数为． 3．定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是近直角三角形，，则______． (2)如图，在中，，，，若是的平分线． ①求证：为近直角三角形； ②求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，勾股定理等，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据“近直角三角形”的定义可知，由此可解； （2）①由已知条件证明即可； ②利用勾股定理求出，作于点E，根据角平分线的性质定理可得，根据求出，进而即可求出的长． 【详解】（1）解：是近直角三角形，，， ， ； （2）解：①证明：中，， ， 是的平分线， ， 中，， 为近直角三角形； ②中，，，， ， 如图，作于点E， 是的平分线，，， ， ， ， ， 解得， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $