精品解析：浙江省七彩阳光新高考研究联盟（杭州市部分高中）2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考 高三数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量在向量方向上投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对，都有，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 智慧农业又称数字农业或信息农业，通过利用人工智能､机器学习､物联网等技术使农业更加智能化，推动了农业生产变革，同时也促进了高校毕业生等青年的就业.某智慧农场计划招聘一批员工，为了制定更为合理的招聘策略，统计了现有的名员工的年龄（岁）的情况，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（ ） A. B. 这名员工的年龄的众数的估计值为 C. 这名员工的年龄的中位数的估计值为 D. 从这名员工中任选两人，两人的年龄都在内的概率为 10. 已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 点到点的最小距离为 C. 存在直线与曲线有3个交点 D. 满足横､纵坐标均为整数的点有且仅有3个 11. 已知正三棱柱外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最小值为 C. 当时，存在点，使得平面 D. 当时，点到直线最小距离为 非选择题部分 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，若，则__________. 13. 已知数列的前项积为，，若数列是公差为1的等差数列，则__________. 14. 已知，若函数图像存在对称轴，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； （2）记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望. 17. 设锐角的内角所对的边分别为，且. （1）若边上的中线长为3，求的面积； （2）若，且，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 定义1：已知向量，我们把称为向量与叉乘积，记作. 定义2：具有某种共同性质的所有曲线的集合叫做曲线系，曲线系通常用含有参数的方程来表示.例如：以定点为圆心的圆系可以记作. 已知离心率，焦点在轴上的椭圆系，记椭圆的左，右顶点分别为，上顶点为，且. （1）求数列的通项公式； （2）为椭圆上的点，斜率为的直线交椭圆于两点. （i）若直线和的斜率均存在，求直线与的斜率之和； （ii）已知为坐标原点，直线与轴交于点，若.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考 高三数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算可得结果. 【详解】，则. 故选：C. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的概念，复数的除法运算及复数模的公式计算可得结果. 【详解】由，则，则. 故选：A. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式和指数不等式，然后利用充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】由可得，由可得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 5. 已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程性质可知，焦点，准线：，为的准线与的对称轴的交点可得，已知为抛物线上的点，代入方程得到，再根据两点间距离公式构建关于的方程求解. 【详解】 由抛物线的性质可知， 焦点，准线：. 又因为为的准线与的对称轴的交点， 所以. 因为位于上，则， 所以，故 根据两点间距离公式： ， 故选：B 6. 已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式得，由点在图象上求得，即得，根据区间零点个数及正弦函数的性质可求参数范围. 【详解】由题设，且， 所以，可得， 所以， 当，则， 依题在上无零点，则在上恒成立， 因为当时，使得的最小值为， 所以要使在上恒成立，需满足，解得 又，故得. 故选：A 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得，构造，利用判断是否单调，得出关于的关系式，最后利用基本不等式得出答案 【详解】令，对求导得. ，恒成立 在上单调递增 整理得， 由在上单调递增知，即 又 故选：D 8. 已知定义在上的函数满足，且对，都有，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件分析函数的性质，把问题转化成在上恒成立，再设，，求导，分析函数单调性，求函数的最小值即可得实数的取值范围. 【详解】因为函数满足，所以. 因为对，都有，所以在上单调递增. 所以. 所以在上恒成立.即在上恒成立. 设，，则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 所以. 故选：B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 智慧农业又称数字农业或信息农业，通过利用人工智能､机器学习､物联网等技术使农业更加智能化，推动了农业生产变革，同时也促进了高校毕业生等青年的就业.某智慧农场计划招聘一批员工，为了制定更为合理的招聘策略，统计了现有的名员工的年龄（岁）的情况，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（ ） A. B. 这名员工的年龄的众数的估计值为 C. 这名员工的年龄的中位数的估计值为 D. 从这名员工中任选两人，两人的年龄都在内的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，分别对选项进行分析. 【详解】根据频率分布直方图的性质：所有矩形的面积之和为1（即频率之和为1）。 已知组距为，则， 即，解得，选项A正确； 频率分布直方图中，众数是最高矩形对应的区间的中点值， 在频率分布直方图中，对应的矩形最高，所以众数的估计值为，选项B错误； 设中位数为，中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等，都为， 前两个矩形的面积和为， 对应的矩形面积为， 因为，所以中位数在内， 则，， 解得：，所以这名员工年龄的中位数的估计值为，选项C正确； 年龄在内的频率为，则人数为人， 从名员工中任选两人，两人的年龄都在内的概率为，选项D错误. 故选：AC. 10. 已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 点到点的最小距离为 C. 存在直线与曲线有3个交点 D. 满足横､纵坐标均为整数的点有且仅有3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A检验是否在曲线上；B利用两点间距离公式求解，按照、两种情况分类讨论即可；C先联立方程组，再按照、两种情况分类讨论根的个数即可；D按照、两种情况求出曲线的方程，找出半圆上的整数点，以及利用反证法求证双曲线上不存在整数点即可. 【详解】点为曲线上的动点，则， 点关于轴对称的点为，满足， 则曲线关于轴对称，故A正确； 点到点的距离为 当时，，当时，； 当时，，当时，， 当时，变为，故存在， 因，故点到点的最小距离为，故B正确； 联立得，， 当时，，即①，， 当时，，即②， 欲使直线与曲线有3个交点，则①式有2个根，②式有1个根， 则要求，两根之积非负，两根之和为正， 则，，，得， 此时②式的唯一根，不符合题意，故C错误； 因，则，， 上的整数点有； 假设上的整数点为，则， 因均为整数，则或， 得或，均不符合题意，故上不存在整数点， 则满足横､纵坐标均为整数的点有且仅有3个，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最小值为 C. 当时，存在点，使得平面 D. 当时，点到直线的最小距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用外接球的性质求出各线段长度，考虑动点轨迹，将选项转换成等价命题，必要时建立空间直角坐标系求解 【详解】 设正三棱柱的边长为，外接球球心为，所以， 又因为，因此，由于等圆中相等圆心角所对的弦相等， 所以. 下底面中，的边上的中线，重心在线段上，且是其一个三等分点. 易知，根据勾股定理得， 解得，即正三棱柱的边长为. 在中，由余弦定理得， 求得，故.所以A选项正确. 上底面中，的边上的中线为.当时，动点在线段上运动. 要使的值最小，我们可以将二面角摊开成平面，如图： 由于两点间线段最短，故当为与交点时，最小， 最小值为.所以B选项错误. 中点为，中点为，中点为，与相交于. 为的重心，为的中线，故三点共线. 而平面，所以平面. 当时，点在线段上运动.取，即与重合.由于是正方形，所以. 因为，，是平面平面内的两条相交直线， 所以平面，而，所以平面，故. 因为平面，平面，所以平面. 即当时，平面.选项C正确. 当时，即动点在线段上运动. 要求到直线距离最短，即要到平面距离. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ,,,. ，，. 设平面的法向量. 故，取，则. 到平面的距离为.选项D正确. 故选：ACD 非选择题部分 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定的取值范围，利用两角和的余弦公式求，再利用同角三角函数的基本关系求，进而可得. 【详解】∵，∴，∴. 因为， 所以. 所以. 故答案为： 13. 已知数列的前项积为，，若数列是公差为1的等差数列，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而，结合为数列的前项积即可求解. 【详解】由题知. ∵数列是公差为1的等差数列， ∴，∴. ∴. 故答案为：. 14. 已知，若函数的图像存在对称轴，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求函数的定义域，由定义域得对称轴，再由得到的值. 【详解】由，得，且. 当时，定义域为；当时，定义域为. 又因为函数的图像存在对称轴，所以对称轴只能是，得. 又， 所以在定义域内恒成立，得，即. 故答案为：2. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据三角形中位线的性质构造线线平行，进而得到四边形是平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理得到结论. （2）先证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 如图： 取中点，连接，， 因为为中点，所以且. 又底面为平行四边形，且为中点，所以，且. 所以且，所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为是边长为4的等边三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接，在中，，，， 由余弦定理可得：， 所以,所以，所以是等腰直角三角形，. 所以两两垂直. 以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，令得. 所以. 即为直线与平面所成角的正弦值. 16. 人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； （2）记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案； （2）求出的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案. 【小问1详解】 设事件“小明以获得比赛胜利”， “第二局比赛中小明获胜”， 若小明以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况， 所以， ， ，即在小明以获得比赛胜利的条件下，在第二局比赛中小明获胜的概率为. 【小问2详解】 由题意的所有取值为0,1,2. ， ， ； 的分布列为 0 1 2 的期望为. 17. 设锐角的内角所对的边分别为，且. （1）若边上的中线长为3，求的面积； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用，平方可得，再结合余弦定理，可求的值，最后利用三角形的面积公式求三角形的面积. （2）已知条件结合正余弦定理，可求得，再根据三角形的性质确定的符号，开方可得的值. 【小问1详解】 如图： 取的中点，则. 因为，所以， 所以； 又根据余弦定理得：. 所以， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理可知：， 根据正弦定理，. 又. 所以. 又，，所以，所以. 又因为为锐角三角形，所以，所以. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出斜率，结合切点坐标求得切线方程； （2）令，将问题转化为证明，利用导数和基本不等式求解的最大值可证结果； （3）令，将问题转化为恒成立，同样利用导数和基本不等式求得从而得到结果. 【小问1详解】 当时，， ，则， 又，所以有，化简得， 故曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 要证明时，，即证明， 令，求导得， 由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以存在，使得，即，可得， 两边取对数得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以 ， 由基本不等式（当且仅当时取等号），则， 因为，所以，即. 【小问3详解】 由于恒成立，即对恒成立， 令，求导得. 由（2）可知， ，从而，解得. 所以实数的取值范围是. 19. 定义1：已知向量，我们把称为向量与的叉乘积，记作. 定义2：具有某种共同性质的所有曲线的集合叫做曲线系，曲线系通常用含有参数的方程来表示.例如：以定点为圆心的圆系可以记作. 已知离心率，焦点在轴上的椭圆系，记椭圆的左，右顶点分别为，上顶点为，且. （1）求数列的通项公式； （2）为椭圆上的点，斜率为的直线交椭圆于两点. （i）若直线和的斜率均存在，求直线与的斜率之和； （ii）已知为坐标原点，直线与轴交于点，若.证明：. 【答案】（1） （2）（i）0；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得数列的递推关系，根据可得首项，结合等比数列的通项公式可得答案； （2）（i）联立方程，写出韦达定理，结合斜率和的表达式进行化简，最终可得斜率和为0； （ii）根据得出，进而可得，利用放缩法，结合等比数列求和公式可证结论. 【小问1详解】 当时，，所以, ,; 因为，所以，即. 因为离心率，所以，即，所以. 由可得，即数列是等比数列，所以. 【小问2详解】 （i）设直线，； 由（1）可得，联立，得， 因为为椭圆上的点，所以. . （ii）证明：由（i）可知，所以， ， 因为，所以， 整理得，解得， 因直线与轴交于点，所以，即； 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $