精选母题第5讲：整式的加减的应用 讲义2025-2026学年七年级上学期数学精选母题系列（苏科版2024）

2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第5讲：整式加减的应用 母题1：整式加减解决图形问题 如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． ▋▎名师点拨 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查的是列代数式，整式加减的应用．设与的交点为X，与的交点为Y，则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，可以表示出所有的边长，然后可以表示出六边形的周长和四边形的周长，接着可以求出六边形的周长-四边形的周长的值，即可得出结果． 【详解】解：设与的交点为X，与的交点为Y， 则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∴，，，，，，，， ∴四边形的周长， ∴六边形的周长 ， ∴六边形的周长-四边形的周长 ， ∴只要知道正方形的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差， ∴只要知道正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 1．如图是由边长分别为 4 和 3 的长方形与边长为的正方形拼成的图形． 用含有 x 的代数式表示图中阴影部分的面积并化简后按x的降幂排列． 【答案】 【知识点】列代数式、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列、整式加减的应用 【分析】本题主要考查列代数式以及整式的加减，阴影部分的面积可看作是长方形的面积与正方形的面积之和减去三个三角形的面积，据此可求解． 【详解】解：阴影部分的面积： 2．如图，长为，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)从图可知，每个小长方形较长一边长是 （用含a的代数式表示）； (2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）； (3)若时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长和面积公式． （1）从图可知，每个小长方形较长一边长是大长方形的长小长方形宽的3倍； （2）从图可知，A的长的宽，A的宽的长，依此求出两块阴影A、B的周长和； （3）根据长方形的面积长宽即可表示阴影A、B的面积，再比较代数式的大小． 【详解】（1）解：每个小长方形较长一边长是． （2）解：∵A的长的宽，A的宽的长， ∴A、B的周长和（A的长的宽）（B的长的宽） （A的长的宽）（B的长的宽） ； （3）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 3. 将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的叠放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的长为，宽为，且，． (1)长方形的面积为__________（用含，的式子表示）； (2)求（用含，的式子表示）； (3)当，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加减运算以及代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先用含a和b的式子表示出长，然后求得矩形的面积； （2）根据长方形的面积公式列式，然后再去括号，合并同类项进行化简； （3）将，代入（2）的式子即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：当，时， ． 4. 某中学新校区有一块长为a米，宽为b米的长方形活动区域需要放置花坛，向全校同学征集花坛设计方案．如图是最终选出的两种方案（阴影部分为花坛），方案一中有3个半径为米的圆形花坛，方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的． (1)请分别求出这两种方案中空地的面积； (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大多少平方米？ 【答案】(1)方案一中的空地面积是平方米，方案二中的空地面积是平方米 (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大平方米 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式和整式加减运算的应用，正确运用整式运算法则是解题关键． （1）方案一中的空地面积为长方形面积减去3个圆的面积，方案二中的空地面积是方案一中花坛总面积的，再利用长方形面积公式以及半圆面积求法用字母表示出来即可； （2）根据（1）中的结果，由题意列式整理即可． 【详解】（1）解：已知长方形的长为米，宽为米， 则长方形面积为平方米， 且方案一中有3个半径为米的圆形花坛， 方案一中的空地面积是平方米， 又方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的， 方案二中的空地面积是平方米． （2）解：， 方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大平方米． 母题2：整式加减解决水费问题 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． ▋▎名师点拨 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式及整式加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）①先求出三月份用水量，再列式计算即可得解；②先求出三月份用水量，再列式计算即可得解； （3）由题意知，4月份的用水量少于，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：应交水费（元）； （2）解：① ∵某户居民2，3月份共用水15吨，2月份用水4吨， ∴月份用水（吨）， ∴该用户2，3月份应交水费（元）； ② ∵某户居民2，3月份共用水15吨，某户居民2月份用水a立方米， ∴月份用水吨， 当时，该用户3月份应交水费元； （3）解：由题意知，4月份的用水量少于， ①当时，月份用水量超过 总水费为元 ②当时，月份的用水量不少于，但不超过， 总水费为元 ③当时，月份的用水量超过，但不到， 总水费为元； 综上所述，当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元． 1．我市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 1.5a元 超过的部分 2a元 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为x立方米，当时，则该用户应缴纳的水费__________元（用含a，x的代数式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了30元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)该用户这个月应缴纳53元水费 (2) (3)当时，缴水费元；当时，缴水费元；当时，缴水费元； 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了用代数式表示，整式的加减， （1）根据用水量的费用包括三部分，即的费用，和之间的部分费用，超过的部分的费用，再相加即可； （2）根据（1）中的三部分相加，用含有a，x的代数式表示即可； （3）分三种情况：，，，分别用代数式表示即可． 【详解】（1）解：          （元）     答：该用户这个月应缴纳53元水费． （2）（元）； 故答案为:； （3）甲用户缴纳的水费超过了30元， ①， 甲：． 乙：． 共计：． ②， 甲：． 乙：． 共计：． ③， 甲：． 乙：． 共计：． 答：甲、乙两用户共缴纳的水费： 当时，缴水费元； 当时，缴水费元； 当时，缴水费元. 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表．（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)若某户居民7月份用水，则应缴纳水费________元； (2)若某户居民8月份用水，则该用户8月份应缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示，并化成最简形式） (3)若某户居民9，10月份共用水（10月份用水量多于9月份），设9月份用水，求该户居民9，10月份共缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【答案】(1)10元 (2)元 (3)时，共交水费元，时，共交水费元，时，共交水费36元． 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】（1）根据题意，直接运算，计算结果即可作答； （2）根据题意，得6立方米的部分的费用超出的立方米的费用； （3）分三中情况讨论，时，时，时，分别列式计算． 本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得（元）； 答：该用户7月份应交水费10元； （2）解：根据题意，得（元）， 答：该用户7月份应交水费元； （3）解：∵某户居民9，10月份共用水（10月份用水量多于9月份），设9月份用水， ∴， ∴时，共交水费：（元）； 时，共交水费：（元）； 时，共交水费：（元）， 综上所述：时，共交水费元，时，共交水费元，时，共交水费36元． 3. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）：例：若某户居民1月份用水，应收水费为（元）．请根据表中的内容解答下列问题： 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)若该户居民4，5两个月共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5两个月共交水费多少元？（用含的表示，并化简） 【答案】(1)8 (2)应收水费元 (3)当4月份用水量少于时，两月交水费元；当4月份用水量大于或等于但不超过时，两月共交水费元；③当4月份用水量超过但少于时，两月共交水费元 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，这是分段计费问题，理解题意，注意分类讨论是解题的关键． （1）由于，按照2元的水费计算水费即可； （2）分两段计算水费：的水按照2元计算水费，余下按照4元水费计算水费，再相加并化简即可； （3）因为5月份用水量超过了4月份，所以4月份用水量少于．由于不具体知道4月份的用水量，故分三种情况考虑：①当4月份用水量少于时；②当4月份用水量大于或等于但不超过时；③当4月份用水量超过但少于时；再按照分段计费的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由于，则水费为：（元）； 故答案为：8； （2）解：由于， 则水费为：元； 答：该户居民3月份用水（其中），则应收水费元； （3）解：因为5月份用水量超过了4月份，所以4月份用水量少于． ①当4月份用水量少于时，则5月份用水量超过， 所以4，5两个月共交水费元； ②当4月份用水量大于或等于但不超过时，则5月份用水量不少于但不超过， 所以4、5两个月共交水费元； ③当4月份用水量超过但少于时，则5月份用水量超过但少于， 所以4，5两个月共交水费（元）． 4. 为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表（元/度）： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准 (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【知识点】有理数乘法的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 母题3：整式加减解决销售问题 厦门市某商场文具部的某种钢笔每支售价为25元，A种笔记本每本售价为5元，该商场为促销制定了两种优惠方法： 甲：买1支钢笔赠送1本A种笔记本； 乙：按总金额的9折付款． (1)厦门市某中学七（4）班钢笔书法小组需购买这种钢笔10支，A种笔记本60本，按哪种方法购物更省钱？ (2)厦门市某中学七（5）班钢笔书法小组需购买这种钢笔a支，A种笔记本60本，甲、乙两种优惠方法各需付款多少元（用含a的代数式表示）？有没有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱？若有，请举一个 a的值，并计算说明．（其中a不超过60） ▋▎名师点拨 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、已知式子的值，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，读懂题目信息，理解两种优惠方法的付款方法是解题的关键． （1）分别根据两种促销优惠方法求出购物付款，比较即可． （2）根据两种优惠方法列式整理即可，再取代入计算并比较即可． 【详解】（1）解：甲：（元）； 乙：（元）． 因为，所以按乙种方法购物更省钱． （2）解：甲种优惠方法需付款 （元）， 乙种优惠方法需付款 （元）． 有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱． 当时，甲：（元）， 乙：（元）． 因为， 所以当时，甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱． 1．某文具店销售两种笔记本，A种笔记本每本售价x元，B种笔记本每本售价y元． (1)小明买3本A种笔记本和2本B种笔记本，一共需要花费多少元（用含x、y的代数式表示）？ (2)若，且商店推出 “满20减3元” 的活动，求小明购买上述笔记本实际需要支付的金额； (3)若A种笔记本售价提高2元，B种笔记本售价降低1元，买4本A种笔记本和1本B种笔记本的总费用是否变化？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)18元 (3)总费用变化，理由见解析 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式加减的运用等知识点，正确列出相关代数式成为解题的关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）先求出当时，（1）所得代数式的值，然后再根据优惠方案求得所需支付的费用即可； （3）先根据题意分别表示出调价前后的总费用，然后作差比较即可解答． 【详解】（1）解：3本A种笔记本花费元，2本B种笔记本花费元，总花费为元． 答：一共需要花费元． （2）解：当时，总花费为元； 因 “满20元减3元”，则实际支付元． 答：小明购买上述笔记本实际需要支付18元． （3）解：总费用变化，理由如下： 原费用：4本A种笔记本4x元，1本B种笔记本y元，总费用元； 调价后：A种笔记本每本元，4本花费元； B 种笔记本每本元，1 本花费元； 总费用为元； ∵， ∴调价后总费用比原来多7元，即总费用变化． 2．某商店从批发市场购进50个品牌的排球，进价为每个30元，售价为每个元． (1)若商店将50个排球全部售出，则商店可获总利润为________元（用含的式子表示）； (2)若，且商店决定按售价8折进行出售，那么全部售完后的总利润为多少元？ (3)若商店同时出售、两种品牌的排球，品牌每个售价比品牌多10元，小红准备买三个排球，恰好商店举行优惠活动“买三免一”，即任意买三个排球（、两种品牌皆要购买）则价格最低的一个排球免费，小红有哪几种购买方式？并请列式说明哪种购买方式最优惠？ 【答案】(1) (2)全部售完后的总利润为元； (3)购买方式为：购买个品牌排球，个品牌排球；购买个品牌排球，个品牌排球，购买个品牌排球，个品牌排球，最优惠． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】此题考查了列代数式、求代数式的值、整式加减的应用． （1）根据个数乘以每个的利润即可求出答案； （2）把代入进行求解即可； （3）根据任意买三个排球（、两种品牌皆要购买）得到两种购买方式，求出每种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，元， 故答案为： （2）由题意可得，当时， 元， 即全部售完后的总利润为元； （3）设小红购买个品牌的排球，则购买个品牌的排球， ∵、均为自然数，、两种品牌皆要购买， ∴可以为，， ∴小红有2种购买方案， ∵种排球的售价为每个元，品牌每个售价比品牌多元， ∴B品牌的售价为每个元， 小红购买个排球的2种分式如下： ①购买个品牌排球，个品牌排球，付款为（元）； ②购买个品牌排球，个品牌排球，付款为（元）； ∵， ∴购买个品牌排球，个品牌排球，最优惠． 3．某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日两种产品合计生产袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面袋． 成本（元/袋） 售价（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)每天生产黄小米 袋，两种产品每天的生产成本共 元（结果用含x的式子表示）． (2)用含的式子表示每天获得的利润： （利润售价成本）． (3)当时，求每天的生产成本与每天获得的利润． 【答案】(1)，； (2)； (3)每天的生产成本是元，每天获得的利润是元． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式及整式加减运算的知识，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题关键． （1）每天生产酸枣面袋，则每天生产黄小米袋，然后分别乘以它们的成本即可得到每天生产酸枣面、黄小米的成本，再把两者相加即可得到一天的总成本； （2）用生产的酸枣面、黄小米的袋数分别乘以每袋酸枣面、黄小米的利润即可得到每天生产的酸枣面、黄小米的利润，然后把两者相加即可得到每天获得的利润； （3）把分别代入（1）（2）的代数式，计算得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每日两种产品合计生产袋，设每天生产酸枣面袋， ∴每天生产黄小米袋， ， 每天的生产成本为元， 故答案为：，； （2）解：， 每天获得的利润为元， 故答案为：； （3）解：当时， 每天的生产成本： （元， 每天获得的利润：（元． 答：每天的生产成本是元，每天获得的利润是元． 4．自进入秋季以来，因为天气原因，更多人选择了戴口罩，为了满足市场需求，某厂家生产两种款式的环保口罩，每天共生产个，两种口罩的成本和售价如表： A B 成本（元/个） 5 7 售价（元/个） 8 9 若设每天生产A口罩x个． (1)用含x代数式表示： ①该工厂每天生产B种口罩 个； ②每天生产A种口罩的成本为 元； ③每天生产B种口罩的成本为 元； ④每天生产两种口罩的总成本为 元； (2)用含x的代数式表示该工厂每天获得的总利润，并将所列代数式进行化简（利润售价成本） (3)当时，求该工厂每天获得的总利润． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)，元； (3)（元）． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是能看懂题意和表格，会去括号和合并同类项． （1）①根据题意，用每天生产两种款式的口罩个数减去A种款式的个数即可； ②根据题意，用生产一个A口罩的成本乘以个数即可得出答案； ③根据题意，用生产一个B口罩的成本乘以个数即可得出答案； ④求每天生产的两种口罩的和即可； （2）根据利润售价成本，得出两种口罩的利润，用生产A种口罩获得的利润加上生产B种口罩获得的利润即可得出答案； （3）把代入（2）中得出的代数式，即可得出答案． 【详解】（1）①∵每天生产两种口罩共个，若设每天生产A口罩x个， ∴该工厂每天生产B种口罩为：个． ②∵生产一个A种口罩的成本是5元， ∴每天生产A种口罩的成本是元． ③∵生产一个B种口罩的成本是7元， ∴每天生产B种口罩的成本是元． ④每天生产两种口罩的总成本为：元． （2）由题意得， （元） 该工厂每天获得的总利润为元． （3）当时，（元） 母题4：整式加减解决打车问题 现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ ▋▎名师点拨 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费55元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）； 当时，小明应付车费：（元）． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元， 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 1．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的滴滴公司开展“打滴计费”的实践活动． 【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元，收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 【实践探究】根据以上信息解答下列问题： 老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为元． 【问题解决】 (1)小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元？” (2)小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元？”（用含a、b的代数式表示，并化简）． (3)司机又说：“如果小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样．”你赞同司机的说法吗？请同学们说明理由． 【答案】(1)需付车费13.5元 (2)当时，小明应付费元；当时，小明应付费元 (3)赞同，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查根据实际情境列代数式和进行代数式运算，属于分段计费类问题．解题关键是： 对于不同的行车里程情况（是否超过10公里），准确分析车费的构成（里程费、时长费、远途费的组合）． （1）根据题意车费里程费时长费计算即可； （2）根据题意可分当时和当时，进而问题可求解； （3）由题意分别得出小王和小张下车时所付的车费，然后问题可求解． 【详解】（1）解：（元）， 答：需付车费13.5元． （2）当时，小明应付费元； 当时，小明应付费元． （3）赞同 设小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、分钟， 则小王应付车费， 小张应付车费， 因此，赞同两人车费一样多． 2．网约车是一种便捷的出行工具．某平台网约车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 a元/公里 0.45元/分钟 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收元． (1)当行车里程为8公里，行车时间为7分钟时，在该平台约车需付车费多少元？ (2)若小明乘坐该平台网约车，行车里程为30公里，行车时间为20分钟，则小明应付车费多少元？ (3)小王与小张各自乘坐该平台网约车，行车里程分别为9公里与15公里，受路况情况影响，小王比小张乘车多用了23分钟，小王的行车时间为b分钟，小张比小王付的车费多多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)小张比小王付的车费多元 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算的实际运用，解题关键在于结合题意列出代数式． （1）根据里程为8公里的车费由里程费、时长费两部分构成，列出代数式即可； （2）根据里程为30公里的车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，列出代数式即可； （3）根据题意分别表示出小王所付的车费与小张所付的车费，并算出相差的车费即可． 【详解】（1）解： （元）． 答：在该平台约车需付车费元． （2）解：（元）． 答：小明需付车费元． （3）解：由题意可知，小张乘坐该平台网约车的时间为分钟， 小王所付的车费为元， 小张所付的车费为（元）， （元）． 答：小张比小王付的车费多元． 3．一列高铁客车从成都双流机场站开往峨眉山站，发车时车上有乘客人，经过乐山站时，有的乘客下车了，同时又有一部分乘客上车，这时车上共有乘客人．回答下列问题： (1)从乐山站上车的乘客有多少人？（用含m，n的式子表示） (2)当时，从乐山站上车的乘客有多少人？ 【答案】(1)从乙站上车的乘客有人 (2)从乙站上车的乘客有188人 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，理清高铁上乘客的总人数与上下车乘客人数之间的数量关系是解题的关键． （1）根据“从乙站上车的乘客人数=现在乘客总人数的乘客在乙站下车之后剩下的人数”解答即可； （2）将m和n的值代入（1）中得到的代数式并计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（人）， ∴从乙站上车的乘客有人． （2）解：将时代入，得（人）， ∴当时，求从乙站上车的乘客有188人． 4．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 母题5：整式加减解决打包问题 【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一．若要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题情境】春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的图1、图2、图3三种打包方式，所需打包带的长度分别为（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． 【探究任务】请解决下列问题： (1)用含a、b、c的代数式分别表示； (2)当时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． ▋▎名师点拨 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）根据图形列出代数式即可； （2）利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：； （2）图2中方式最节省打包带． 理由：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． ∴图2中方式最节省打包带． 1．综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 【答案】(1)； (2)小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 (3)小红所用的打包带的长度更短 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当厘米，厘米，厘米时，两种打包方式用的打包带，比较即可得解； （3）求出的值，判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； （2）解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； （3）解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 2．【项目式学习】 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为，，（单位：）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含、，的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二：当时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 【答案】（1），，；（2）乙种方式最节省打包带，说明见解析 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、整式加减运算的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）结合题意，分别利用含、，的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度即可； （2）首先利用整式加减运算法则比较甲、乙种打包方式，然后再比较丙、乙种打包方式，即可获得答案． 【详解】解：（1）甲需要：（厘米）， 乙需要：（厘米）， 丙需要：（厘米）， 即甲需要厘米，乙需要厘米，丙需要厘米； 故答案为：，，； （2）乙种方式节省打包带，证明如下： ， ， ， ， ， 乙种方式比甲节省打包带． ， ， ， ， ， 乙种方式比丙节省打包带． 综上所述，乙种方式最节省打包带． 3．综合与实践 近年来，电商多选择在11月11日促销．某年促销期间，某电商客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的箱子，并发现有如图所示的甲、乙两种打包方式（打包带不计接头处的长），回答下列问题： (1)用含，，的代数式表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要______厘米，乙需要______厘米； (2)当时，求甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度． 【答案】(1)， (2)甲需要460厘米，乙需要440厘米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式加减的应用，正确理解题意列出对应的代数式是解题的关键． （1）根据长方形是周长公式进行求解即可； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：甲需要厘米； 乙需要厘米； 甲需要厘米，乙需要厘米， 故答案为：，； （2）解：当，，时， 甲：， 乙：， 甲需要460厘米，乙需要440厘米． 4．项目式学习 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：，）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a，b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二： ①当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． ②当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． 任务三：在完成任务二时，同学们发现在a，b，c取上面两组数值时，这三种打包方式中，图 所用打包带总是最少，请你自己为a，b，c选一组数值验证同学们的猜想是否正确： （填“是”或“否”）（草稿纸上验证即可，不要求写在答题卡上） 在数学中，我们经常通过观察特例形成猜想．然而，特例不能作为一般结论的证明，要确认一个猜想对于所有情况都成立，必须进行严格的逻辑推理计算或数学证明．请结合上述猜想并用所学知识判断：三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 【答案】任务一：；；；任务二：①甲种打包方式所用的打包带的长度：；乙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式最节省打包带；②甲种打包方式所用的打包带的长度：；乙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式最节省打包带；任务三：丙；是；丙种打包方式最节省，见解析 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握整式加减运算法则． 任务一：根据图形列出代数式即可； 任务二：分别代入a、b、c的值，求出代数式的值即可； 任务三：根据任务二的结果得出这三种打包方式中，图丙所用打包带总是最少，根据整式加减运算法则，分别求出甲与乙所用打包带长度的差值，甲和丙所用打包带的长度差，然后进行判断即可． 【详解】任务一：甲需要； 乙需要； 丙需要； 任务二： ①当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以丙种打包方式最节省打包带； ②当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以丙种打包方式最节省打包带 任务三：这三种打包方式中，图丙所用打包带总是最少； 当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以图丙所用打包带最少，猜想是正确； 丙种打包方式最节省 ， ∵ ∴， ∴， ∴甲比乙省， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：丙种打包方式最节省打包带． 母题6：整式加减解决数字问题 阅读材料：已知一个两位数，十位数字为，个位数字，那么我们可以用表示这个数字．依据上面的材料，回答下题：一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字是． (1)请用含的式子表示这个数； (2)现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数，请用含的式子表示； (3)请用含的式子表示，并回答能被11整除吗？ ▋▎名师点拨 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用，熟练掌握整式的加减法则是解题关键． （1）将百位数字乘以100、十位数字乘以10，再与个数数字相加即可得； （2）先得出百位数字为，十位数字为，个位数字是，再将百位数字乘以100、十位数字乘以10，然后与个数数字相加即可得； （3）根据（1）和（2）的结果，计算整式的加减法即可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）解：由题意得：． （3）解：由题意得： ， 因为是两个不同的三位数， 所以， 所以， 又因为， 所以能被11整除． 1．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 【答案】(1)11 (2)11，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查的是新定义运算，数的整除，有理数的乘法分配律的逆应用，整式的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先分别表示，，再求和，结合乘法的分配律变形可得答案； （2）由题意可得这个四位的完美数为，其中a，b为一位正整数，再表示这个完美数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、b（a、b均为1～9的正整数）组成的两位数，， ∴，， ∴， ∴与的和一定能被11整除， ∴， 故答案为：11； （2）解：． 理由：∵一个四位数，它是“完美数”， ∴这个四位数为，其中a，b为一位正整数， ∴这个四位数为：， ∴这个“完美数”一定能被11整除， ∴． 2．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 3．用数学的眼光观察： 对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． 用数学的思维思考： （1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 请将下面的验证过程补充完整： （    ） （    ） 显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 用数学的语言表达： （2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【答案】（1），，；（2）详见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据整式加减法则，进行填空即可； （2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】（1）解： 显然能被3整除， 因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． （2）解： ． 显然能被9整除， 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除． 4．（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 母题7：整式加减解决距离问题 【思考尝试】很多田径场是由一个长方形和两个半圆组成，记长方形的长为a，宽为b（如图所示），小明学校田径场也是这种形状的，且，，则第一跑道长为__________m． 【理解应用】小明通过查阅资料发现，正规径赛，都是在一个标准田径场的跑道上进行的．已知标准田径场中，，，共有8个跑道，每条跑道宽，求标准田径场中第5跑道的长． 【能力提升】实际上，并不是每所学校都有标准的田径场．比如小明所在的学校，由于场地的限制，每条跑道的宽度只能为．求小明学校进行项目跑步比赛时，相邻两条跑道的起跑线间的距离要为多少？ （注：本题，结果保留一位小数，跑道长指当个跑道内侧白线的长） ▋▎名师点拨 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算，正确理解题意是解题关键. （1）由两条直道的长加上圆的周长即可； （2）先计算第五跑道所在圆的直径，再由两条直道的长加上圆的周长即可； （3）由（1）可得小明学校的跑道标准是，所以要跑2圈，结合第n跑道的直径为：，第跑道的直径为：，再列式计算即可. 【详解】解：（1）由题意可得：； （2）第5跑道的直径为：， 第五跑道长为：． （3）小明学校的跑道标准是，所以要跑2圈， 第n跑道的直径为：，第跑道的直径为：， 第n跑道的长为：，第跑道的长为：， 相邻两条跑道的起跑线距离为：． 1．甲、乙、丙、丁四个车站的位置如图所示，求： (1)丙、丁两站的距离； (2)甲、丁两站的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查整式的加减的实际应用，熟练掌握整式加减的运算法则是解答本题的关键． （1）图中乙、丙的距离为，乙、丁的距离为，则丙、丁两站的距离，化简即可； （2）图中甲、乙的距离为，乙、丁的距离为，则甲、丁两站的距离，化简即可． 【详解】（1）解：根据题意得：乙、丙的距离为，乙、丁的距离为， 则丙、丁两站的距离， 答：丙、丁两站的距离为； （2）解：根据题意得：甲、乙的距离为， 则甲、丁两站的距离． 2．如图，两叠规格相同的杯子整齐地叠放在桌面上． (1)按如图所示叠放时，相邻两个杯子杯口之间的高度相差______； (2)若个杯子按如图所示方式整齐叠放在桌面上． ①求这些杯子的顶部距离桌面的高度；（用含的代数式表示） ②当时，求这些杯子的顶部距离桌面的高度． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】列代数式、图形类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，图形规律，整式的加减的运用，理解题目中的数量关系，掌握代数式的运用，整式的加减运算是解题的关键． （1）根据图示即可求解； （2）①根据题意，可得相邻两个杯子杯口之间的高度差为，可求出一个杯子的高度，由此即可求解；②把代入式子即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，相邻两个杯子杯口之间的高度相差， 故答案为：． （2）解：①由（1）得，相邻两个杯子杯口之间的高度差为， ∴一个杯子的高度为， ∴个杯子按如图所示方式整齐叠放在桌面上， 这些杯子的顶部距离桌面的高度是：； ②当时，这些杯子的顶部距离桌面的高度是：． 3. 连云港是中国紫菜之乡，如图，某紫菜有限公司有和C三个养殖基地，在公路边的同一直线上，两地相距25千米，两地相距60千米，在紫菜生产季节，A基地日产紫菜50吨，B基地日产紫菜10吨，C基地日产紫菜60吨，要在这条公路沿线修建一个紫菜加工厂加工这些紫菜．若从A基地运往C基地方向的运费是每吨每千米1.5元，从C基地运往A基地方向的运费是每吨每千米1元． (1)若把紫菜加工厂建在线段的中点位置，请你计算此时每天的总运费是多少元？ (2)若把加工厂建在两村之间，且距离B村x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费； (3)若把加工厂建在两地之间，且距离A地x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费；请你通过分析比较，紫菜加工厂应该建在何处才能使总运费最低？ 【答案】(1)此时每天的总运费是元 (2)用含x的代数式表示此时的总运费为元 (3)紫菜加工厂应该建在A地才能使总运费最低 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据“总运费从A基地运往C基地方向的运费A基地日产紫菜的吨数A地到紫菜加工厂的距离从A基地运往C基地方向的运费B基地日产紫菜的吨数B地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费C基地日产紫菜的吨数C地到紫菜加工厂的距离”计算即可； （2）将C地到紫菜加工厂的距离用含x的代数式表示出来，再根据“总运费从A基地运往C基地方向的运费A基地日产紫菜的吨数A地到紫菜加工厂的距离从A基地运往C基地方向的运费B基地日产紫菜的吨数B地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费C基地日产紫菜的吨数C地到紫菜加工厂的距离”计算即可； （3）将B地到紫菜加工厂的距离用含x的代数式表示出来，再根据再根据“总运费从A基地运往C基地方向的运费A基地日产紫菜的吨数A地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费B基地日产紫菜的吨数B地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费C基地日产紫菜的吨数C地到紫菜加工厂的距离”计算此时的总运费；通过分析以上两个总运费的代数式即可得出结论． 【详解】（1）（元） 答：此时每天的总运费是6375元． （2）元 答：用含x的代数式表示此时的总运费为元． （3）元， ∴含x的代数式表示此时的总运费为元． 当把加工厂建在两地之间时，总运费为元 ∵x越小，越小， ∴当时，即把加工厂建在B地时，总运费最少，最少为5475元； 当把加工厂建在两地之间时，总运费为元， ∵x越小，越小， ∴当时，即把加工厂建在A地时，总运算最少，最少为5350元． ， ∴紫菜加工厂应该建在A地才能使总运费最低． 4. 如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． (1)如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） (2)在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】图形类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，理解预备知识的说明是解答本题的关键． （1）①根据预备知识1列式计算即可；②根据预备知识2列式计算即可； （2）由（1）中②的计算发现规律求解即可． 【详解】（1）解：①积木①的重心偏离积木②的重心的距离为； ②设积木①质量为m，则积木②的质量为， 则积木①②组合的重心偏移的距离为， 故答案为：①；②． （2）解：设积木①的质量为，根据题意可得积木②、③、④的质量为． 由（1）可得积木①②的组合的最远推动距离为 ． 根据预备知识2可得将积木①②的组合推至最远时， 积木①②③组合的重心偏移的水平距离 ． 根据预备知识可得积木组合的重心偏移的水平距离为时，积木会倒下． 所以积木③的最远推动距离为． 所以积木①②③组合的延伸长度为． 母题8：整式加减解决动点问题 数轴上有两点A、B，A在B左边，原点O是线段上的一点，已知，且，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)______，______，并在如图所示的数轴上面标出A、B两点； (2)用含x的代数式分别表示线段，线段； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． ▋▎名师点拨 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，整式的加减应用，解题关键是能根据题意列出算式． （1）根据题意求出，即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离表示方法求解即可； （3）用含x的式子表示，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵原点是线段上的一点，， ∴ ∴， ∴， ∵在左边，，对应的数分别是、， ∴，， 作图如下： （2）解：∵，，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x， ∴，； （3）解：根据题意得，点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为， ∴； 故的值不变，为． 1．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)①②当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、整式加减的应用 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； ②根据题意得R表示的数是，故，当时，，可得时，为定值59；当时，，故时，为定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：，5； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，理由如下： 根据题意得R表示的数是， ∴， ∴， 当时，， ∴时，为定值59； 当时，， ∴时，为定值； 综上所述，当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为． 2．已知单项式与单项式的和为单项式，且a，b，c满足．    (1)填空：______，______，______； (2)a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在1到2之间运动时（时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度向左运动，同时点B和点C分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，若的值保持不变，求m的值． 【答案】(1)；1；5 (2) (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性、已知同类项求指数中字母或代数式的值、整式加减的应用 【分析】（1）根据同类项的定义以及非负数的性质即可得到结论； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据题求得，再根据的值保持不变，则代数式中含的项的和为0，由此列出的方程便可得解． 【详解】（1）解：∵单项式与单项式的和为单项式， 与是同类项， ， 解得， ， ，， ，，； 故答案为：；1；5； （2）由题意可知，，，， ； （3）根据题意得，， ， ， 若的值保持不变， 则， ． 【点睛】本题考查了同类项，数轴，非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 3. 以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8 (1)写出点A和点B表示的数． (2)写出与B点距离为9.5厘米的点C所表示的数． (3)在数轴上有一点D，其到点A的距离为2，到点B的距离为4，动点P在点A与点B之间，点P所表示的数为x，用x的代数式表示点P到点A、点B、点D距离的和，当x取什么数值时，点P到点A、点B、点D距离的和最小． 【答案】(1)点A表示的数，点B表示的数3． (2)点C所表示的数或． (3)；当时，距离的和最小． 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式加减的应用 【分析】（1）点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8， 点A和点B表示互为相反数，点A在左侧，点B在右侧，点A表示，点B表示3． （2）当点C在点B左侧时，当点C在点B右侧时， C点表示的数是为． （3）点P所表示的数为x，点P到点A、点B、点D距离的和，动点P在点A与点B之间，距离：，距离：，点P到点A、点B、点D距离的和，当时，距离和最小． 【详解】（1）解：∵点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8， ∴， ∵点A和点B表示互为相反数，点A在左侧，点B在右侧， ∴点A表示，点B表示3． （2）解：当点C在点B左侧时， C点表示的数是为， 当点C在点B右侧时， C点表示的数是为， 故答案为：，． （3）解：∵点D到点A的距离为2，到点B的距离为4， ∴点D表示的数是， ∵点P所表示的数为x，点P到点A、点B、点D距离的和，动点P在点A与点B之间 ∴距离：，距离：， 当P在D左侧时：， 当P在D右侧时：， ∴点P到点D距离， ∴点P到点A、点B、点D距离的和， 当时，距离和最小． 【点睛】此题考查了数轴、相反数、数轴上两点间的距离，解题的关键是熟悉掌握两点间的距离是表示两个点的数差的绝对值． 4. 如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、b、c满足．请回答问题： (1)_______，________，_________． (2)点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时，请化简式子：（写出化简过程）． (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则： ①_________，________．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，直接写出结果． 【答案】(1)－1，1，5 (2)|x+2|﹣|x﹣2|＝2x (3)①3t+4，3t+2；②BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性、整式加减的应用 【分析】（1）先求出b，然后根据非负数的性质求出a、c即可； （2）根据点P在0到2之间运动，得到0≤x≤2，由此化简绝对值即可； （3）①先分别表示出t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，则BC＝3t+4，AB＝3t+2；②由①可得BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝3t+4﹣3t﹣2＝2． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴b＝1， ∵（c﹣5）2+|a+b|＝0， ∴c﹣5＝0，a+b＝0 解得a＝﹣1，c＝5； 故答案为：a＝﹣1，b＝1，c＝5； （2）解：∵点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动， ∴0≤x≤2， ∴|x+2|﹣|x﹣2|＝x+2+x﹣2＝2x； （3）解：①∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴BC＝3t+4，AB＝3t+2． 故答案为：3t+4，3t+2；      ②BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下： BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝3t+4﹣3t﹣2＝2． 【点睛】本题考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第5讲：整式加减的应用 母题1：整式加减解决图形问题 如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． ▋▎名师点拨 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查的是列代数式，整式加减的应用．设与的交点为X，与的交点为Y，则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，可以表示出所有的边长，然后可以表示出六边形的周长和四边形的周长，接着可以求出六边形的周长-四边形的周长的值，即可得出结果． 【详解】解：设与的交点为X，与的交点为Y， 则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∴，，，，，，，， ∴四边形的周长， ∴六边形的周长 ， ∴六边形的周长-四边形的周长 ， ∴只要知道正方形的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差， ∴只要知道正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 1．如图是由边长分别为 4 和 3 的长方形与边长为的正方形拼成的图形． 用含有 x 的代数式表示图中阴影部分的面积并化简后按x的降幂排列． 2．如图，长为，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)从图可知，每个小长方形较长一边长是 （用含a的代数式表示）； (2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）； (3)若时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小． 3. 将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的叠放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的长为，宽为，且，． (1)长方形的面积为__________（用含，的式子表示）； (2)求（用含，的式子表示）； (3)当，，求的值． 4. 某中学新校区有一块长为a米，宽为b米的长方形活动区域需要放置花坛，向全校同学征集花坛设计方案．如图是最终选出的两种方案（阴影部分为花坛），方案一中有3个半径为米的圆形花坛，方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的． (1)请分别求出这两种方案中空地的面积； (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大多少平方米？ 母题2：整式加减解决水费问题 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． ▋▎名师点拨 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式及整式加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）①先求出三月份用水量，再列式计算即可得解；②先求出三月份用水量，再列式计算即可得解； （3）由题意知，4月份的用水量少于，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：应交水费（元）； （2）解：① ∵某户居民2，3月份共用水15吨，2月份用水4吨， ∴月份用水（吨）， ∴该用户2，3月份应交水费（元）； ② ∵某户居民2，3月份共用水15吨，某户居民2月份用水a立方米， ∴月份用水吨， 当时，该用户3月份应交水费元； （3）解：由题意知，4月份的用水量少于， ①当时，月份用水量超过 总水费为元 ②当时，月份的用水量不少于，但不超过， 总水费为元 ③当时，月份的用水量超过，但不到， 总水费为元； 综上所述，当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元． 1．我市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 1.5a元 超过的部分 2a元 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为x立方米，当时，则该用户应缴纳的水费__________元（用含a，x的代数式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了30元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）． 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表．（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)若某户居民7月份用水，则应缴纳水费________元； (2)若某户居民8月份用水，则该用户8月份应缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示，并化成最简形式） (3)若某户居民9，10月份共用水（10月份用水量多于9月份），设9月份用水，求该户居民9，10月份共缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 3. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）：例：若某户居民1月份用水，应收水费为（元）．请根据表中的内容解答下列问题： 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)若该户居民4，5两个月共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5两个月共交水费多少元？（用含的表示，并化简） 4. 为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表（元/度）： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准 (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 母题3：整式加减解决销售问题 厦门市某商场文具部的某种钢笔每支售价为25元，A种笔记本每本售价为5元，该商场为促销制定了两种优惠方法： 甲：买1支钢笔赠送1本A种笔记本； 乙：按总金额的9折付款． (1)厦门市某中学七（4）班钢笔书法小组需购买这种钢笔10支，A种笔记本60本，按哪种方法购物更省钱？ (2)厦门市某中学七（5）班钢笔书法小组需购买这种钢笔a支，A种笔记本60本，甲、乙两种优惠方法各需付款多少元（用含a的代数式表示）？有没有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱？若有，请举一个 a的值，并计算说明．（其中a不超过60） ▋▎名师点拨 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、已知式子的值，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，读懂题目信息，理解两种优惠方法的付款方法是解题的关键． （1）分别根据两种促销优惠方法求出购物付款，比较即可． （2）根据两种优惠方法列式整理即可，再取代入计算并比较即可． 【详解】（1）解：甲：（元）； 乙：（元）． 因为，所以按乙种方法购物更省钱． （2）解：甲种优惠方法需付款 （元）， 乙种优惠方法需付款 （元）． 有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱． 当时，甲：（元）， 乙：（元）． 因为， 所以当时，甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱． 1．某文具店销售两种笔记本，A种笔记本每本售价x元，B种笔记本每本售价y元． (1)小明买3本A种笔记本和2本B种笔记本，一共需要花费多少元（用含x、y的代数式表示）？ (2)若，且商店推出 “满20减3元” 的活动，求小明购买上述笔记本实际需要支付的金额； (3)若A种笔记本售价提高2元，B种笔记本售价降低1元，买4本A种笔记本和1本B种笔记本的总费用是否变化？请说明理由． 2．某商店从批发市场购进50个品牌的排球，进价为每个30元，售价为每个元． (1)若商店将50个排球全部售出，则商店可获总利润为________元（用含的式子表示）； (2)若，且商店决定按售价8折进行出售，那么全部售完后的总利润为多少元？ (3)若商店同时出售、两种品牌的排球，品牌每个售价比品牌多10元，小红准备买三个排球，恰好商店举行优惠活动“买三免一”，即任意买三个排球（、两种品牌皆要购买）则价格最低的一个排球免费，小红有哪几种购买方式？并请列式说明哪种购买方式最优惠？ 3．某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日两种产品合计生产袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面袋． 成本（元/袋） 售价（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)每天生产黄小米 袋，两种产品每天的生产成本共 元（结果用含x的式子表示）． (2)用含的式子表示每天获得的利润： （利润售价成本）． (3)当时，求每天的生产成本与每天获得的利润． 4．自进入秋季以来，因为天气原因，更多人选择了戴口罩，为了满足市场需求，某厂家生产两种款式的环保口罩，每天共生产个，两种口罩的成本和售价如表： A B 成本（元/个） 5 7 售价（元/个） 8 9 若设每天生产A口罩x个． (1)用含x代数式表示： ①该工厂每天生产B种口罩 个； ②每天生产A种口罩的成本为 元； ③每天生产B种口罩的成本为 元； ④每天生产两种口罩的总成本为 元； (2)用含x的代数式表示该工厂每天获得的总利润，并将所列代数式进行化简（利润售价成本） (3)当时，求该工厂每天获得的总利润． 母题4：整式加减解决打车问题 现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ ▋▎名师点拨 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费55元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）； 当时，小明应付车费：（元）． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元， 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 1．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的滴滴公司开展“打滴计费”的实践活动． 【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元，收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 【实践探究】根据以上信息解答下列问题： 老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为元． 【问题解决】 (1)小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元？” (2)小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元？”（用含a、b的代数式表示，并化简）． (3)司机又说：“如果小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样．”你赞同司机的说法吗？请同学们说明理由． 2．网约车是一种便捷的出行工具．某平台网约车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 a元/公里 0.45元/分钟 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收元． (1)当行车里程为8公里，行车时间为7分钟时，在该平台约车需付车费多少元？ (2)若小明乘坐该平台网约车，行车里程为30公里，行车时间为20分钟，则小明应付车费多少元？ (3)小王与小张各自乘坐该平台网约车，行车里程分别为9公里与15公里，受路况情况影响，小王比小张乘车多用了23分钟，小王的行车时间为b分钟，小张比小王付的车费多多少元？ 3．一列高铁客车从成都双流机场站开往峨眉山站，发车时车上有乘客人，经过乐山站时，有的乘客下车了，同时又有一部分乘客上车，这时车上共有乘客人．回答下列问题： (1)从乐山站上车的乘客有多少人？（用含m，n的式子表示） (2)当时，从乐山站上车的乘客有多少人？ 4．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 母题5：整式加减解决打包问题 【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一．若要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题情境】春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的图1、图2、图3三种打包方式，所需打包带的长度分别为（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． 【探究任务】请解决下列问题： (1)用含a、b、c的代数式分别表示； (2)当时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． ▋▎名师点拨 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）根据图形列出代数式即可； （2）利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：； （2）图2中方式最节省打包带． 理由：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． ∴图2中方式最节省打包带． 1．综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 2．【项目式学习】 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为，，（单位：）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含、，的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二：当时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 3．综合与实践 近年来，电商多选择在11月11日促销．某年促销期间，某电商客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的箱子，并发现有如图所示的甲、乙两种打包方式（打包带不计接头处的长），回答下列问题： (1)用含，，的代数式表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要______厘米，乙需要______厘米； (2)当时，求甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度． 4．项目式学习 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：，）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a，b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二： ①当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． ②当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． 任务三：在完成任务二时，同学们发现在a，b，c取上面两组数值时，这三种打包方式中，图 所用打包带总是最少，请你自己为a，b，c选一组数值验证同学们的猜想是否正确： （填“是”或“否”）（草稿纸上验证即可，不要求写在答题卡上） 在数学中，我们经常通过观察特例形成猜想．然而，特例不能作为一般结论的证明，要确认一个猜想对于所有情况都成立，必须进行严格的逻辑推理计算或数学证明．请结合上述猜想并用所学知识判断：三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 母题6：整式加减解决数字问题 阅读材料：已知一个两位数，十位数字为，个位数字，那么我们可以用表示这个数字．依据上面的材料，回答下题：一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字是． (1)请用含的式子表示这个数； (2)现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数，请用含的式子表示； (3)请用含的式子表示，并回答能被11整除吗？ ▋▎名师点拨 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用，熟练掌握整式的加减法则是解题关键． （1）将百位数字乘以100、十位数字乘以10，再与个数数字相加即可得； （2）先得出百位数字为，十位数字为，个位数字是，再将百位数字乘以100、十位数字乘以10，然后与个数数字相加即可得； （3）根据（1）和（2）的结果，计算整式的加减法即可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）解：由题意得：． （3）解：由题意得： ， 因为是两个不同的三位数， 所以， 所以， 又因为， 所以能被11整除． 1．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 2．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 3．用数学的眼光观察： 对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． 用数学的思维思考： （1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 请将下面的验证过程补充完整： （    ） （    ） 显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 用数学的语言表达： （2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 4．（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 母题7：整式加减解决距离问题 【思考尝试】很多田径场是由一个长方形和两个半圆组成，记长方形的长为a，宽为b（如图所示），小明学校田径场也是这种形状的，且，，则第一跑道长为__________m． 【理解应用】小明通过查阅资料发现，正规径赛，都是在一个标准田径场的跑道上进行的．已知标准田径场中，，，共有8个跑道，每条跑道宽，求标准田径场中第5跑道的长． 【能力提升】实际上，并不是每所学校都有标准的田径场．比如小明所在的学校，由于场地的限制，每条跑道的宽度只能为．求小明学校进行项目跑步比赛时，相邻两条跑道的起跑线间的距离要为多少？ （注：本题，结果保留一位小数，跑道长指当个跑道内侧白线的长） ▋▎名师点拨 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算，正确理解题意是解题关键. （1）由两条直道的长加上圆的周长即可； （2）先计算第五跑道所在圆的直径，再由两条直道的长加上圆的周长即可； （3）由（1）可得小明学校的跑道标准是，所以要跑2圈，结合第n跑道的直径为：，第跑道的直径为：，再列式计算即可. 【详解】解：（1）由题意可得：； （2）第5跑道的直径为：， 第五跑道长为：． （3）小明学校的跑道标准是，所以要跑2圈， 第n跑道的直径为：，第跑道的直径为：， 第n跑道的长为：，第跑道的长为：， 相邻两条跑道的起跑线距离为：． 1．甲、乙、丙、丁四个车站的位置如图所示，求： (1)丙、丁两站的距离； (2)甲、丁两站的距离． 2．如图，两叠规格相同的杯子整齐地叠放在桌面上． (1)按如图所示叠放时，相邻两个杯子杯口之间的高度相差______； (2)若个杯子按如图所示方式整齐叠放在桌面上． ①求这些杯子的顶部距离桌面的高度；（用含的代数式表示） ②当时，求这些杯子的顶部距离桌面的高度． 3. 连云港是中国紫菜之乡，如图，某紫菜有限公司有和C三个养殖基地，在公路边的同一直线上，两地相距25千米，两地相距60千米，在紫菜生产季节，A基地日产紫菜50吨，B基地日产紫菜10吨，C基地日产紫菜60吨，要在这条公路沿线修建一个紫菜加工厂加工这些紫菜．若从A基地运往C基地方向的运费是每吨每千米1.5元，从C基地运往A基地方向的运费是每吨每千米1元． (1)若把紫菜加工厂建在线段的中点位置，请你计算此时每天的总运费是多少元？ (2)若把加工厂建在两村之间，且距离B村x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费； (3)若把加工厂建在两地之间，且距离A地x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费；请你通过分析比较，紫菜加工厂应该建在何处才能使总运费最低？ 4. 如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． (1)如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） (2)在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． 母题8：整式加减解决动点问题 数轴上有两点A、B，A在B左边，原点O是线段上的一点，已知，且，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)______，______，并在如图所示的数轴上面标出A、B两点； (2)用含x的代数式分别表示线段，线段； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． ▋▎名师点拨 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，整式的加减应用，解题关键是能根据题意列出算式． （1）根据题意求出，即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离表示方法求解即可； （3）用含x的式子表示，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵原点是线段上的一点，， ∴ ∴， ∴， ∵在左边，，对应的数分别是、， ∴，， 作图如下： （2）解：∵，，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x， ∴，； （3）解：根据题意得，点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为， ∴； 故的值不变，为． 1．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 2．已知单项式与单项式的和为单项式，且a，b，c满足． (1)填空：______，______，______； (2)a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在1到2之间运动时（时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度向左运动，同时点B和点C分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，若的值保持不变，求m的值． 3. 以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8 (1)写出点A和点B表示的数． (2)写出与B点距离为9.5厘米的点C所表示的数． (3)在数轴上有一点D，其到点A的距离为2，到点B的距离为4，动点P在点A与点B之间，点P所表示的数为x，用x的代数式表示点P到点A、点B、点D距离的和，当x取什么数值时，点P到点A、点B、点D距离的和最小． 4. 如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、b、c满足．请回答问题： (1)_______，________，_________． (2)点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时，请化简式子：（写出化简过程）． (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则： ①_________，________．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，直接写出结果． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $