精品解析：广东省湛江市雷州市第八中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025~2026学年第一学期九年级数学月考试卷（10月份） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 第I卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程的方法． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】A．在时，该方程不是一元二次方程，由于的取值不确定，所以该方程不一定是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．有两个未知数x、y，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．是一元一次方程，故此选不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 3. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 先将二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的平移规律，即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后， 得到抛物线的解析式为：， 故选：D． 4. 若函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 5. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，用整体的思想是解题的关键．先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】解：由题意得， ． 故选：B． 6. 某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移和长方形的面积公式，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：； 故选C． 7. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 8. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 9. 如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 10. 如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据正方形的性质和勾股定理列出关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：作交延长线于，则四边形为矩形， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∴． 设，，则， 在中，由勾股定理得：， 即． ∵， ∴当，即时，， ∴．即的最小值为5； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键． 第II卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 已知抛物线的开口方向向下，则a的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向向下，可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，熟记抛物线的开口向下，则二次项系数是解本题的关键． 12. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：1． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 则 ， 故答案为． 14. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据对称轴公式求出m的值，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， 解得：，； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，以及二次函数的性质．先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数，当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 用合适的方法解一元二次方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，包括配方法，公式法，因式分解法． （1）利用配方法解方程即可； （2）先移项，再用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，则 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 17. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设捐款增长率为．根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设捐款增长率为． 根据题意列方程，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：捐款增长率为． 18. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 【答案】（1）图象见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和二次函数的取值范围： （1）待定系数法求出二次函数解析式，然后列表，描点，连线，即可得到图象； （2）从图象观察在之间图象的最低点函数值和最高点函数值，由此可得y的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点并连线得： ； 【小问2详解】 由图可知，当时，． 19. 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由； （2）你还有其他的设计方案吗？请在图1-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明. 【答案】（1）不符合．设小路宽度均为xm， 根据题意得：（16-2x）（12-2x）=×12×16， 解这个方程得：x1=2，x2=12．但x2=12不符合题意，应舍去， ∴x=2． ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m． （2）答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 【解析】 【分析】（1）利用等量关系花园的长×花园的宽=荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象的对称轴为直线，且它经过点 （1）求该二次函数的解析式． （2）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先根据抛物线对称轴求出b，再利用待定系数法求出c即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据，可求得；然后再分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为， ∴， 解得：．                       ∵二次函数的图象过点． ∴，                                    结合，解得：．                     ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 当时，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴， 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵ ， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求的值； （3）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是方程的根， ， ， 解得． 【小问3详解】 ， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 22. 项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国，某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： （1）若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为___________元． （2）若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ （3）专卖店销售皱纱鱼腐能平均每月获得10000元的利润吗？为什么，请说明理由． 【答案】（1）70 （2）皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元 （3）专卖店销售皱纱鱼腐不能平均每月获得10000元的利润 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据每月的销售量为400千克，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，列出一元二次方程，解方程即可； （3）假设能获得10000元的利润，设每千克皱纱鱼腐降价元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克，根据专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利10000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：70； 【小问2详解】 设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 答：皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元． 【小问3详解】 假设能获得10000元的利润，设每千克皱纱鱼腐降价  元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为  千克，即千克， 根据题意，利润为：， 整理得： 由于判别式  ，方程无实数解， 因此，专卖店销售皱纱鱼腐不能平均每月获得10000元的利润， 综上，专卖店销售皱纱鱼腐不能平均每月获得10000元的利润． 23. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或2时，； （2）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； 【小问2详解】 存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； 【小问3详解】 存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级数学月考试卷（10月份） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 第I卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 第II卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 已知抛物线的开口方向向下，则a的取值范围为______． 12. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，则___________． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 14. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是________． 15. 如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 用合适的方法解一元二次方程： （1）． （2） 17. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率． 18. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 19. 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由； （2）你还有其他的设计方案吗？请在图1-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明. 20. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象的对称轴为直线，且它经过点 （1）求该二次函数的解析式． （2）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求的值； （3）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 22. 项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国，某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： （1）若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为___________元． （2）若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ （3）专卖店销售皱纱鱼腐能平均每月获得10000元的利润吗？为什么，请说明理由． 23. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $