精品解析：广东省惠州市第八中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

惠州市第八中学2025-2026学年第一学期高二第一次段考 数学试题 说明1.本试卷总分150分，考试时间120分钟. 2.考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试卷上无效， 一、单选题(每题5分，共40分) 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为. 故选：D 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据求解. 【详解】直线方程化为斜截式：，斜率. 设倾斜角为，， 由，得，所以. 故选：B 3. 直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题. 4. 若直线与平行，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【详解】由题意，所以， 解得. 故选：B. 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 6. 已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 7. 在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，设， 则，，，， ∴，， ∴直线和直线所成角的余弦值为. 故选：C 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 二、多选题(每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分) 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量满足， 则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量满足，则 D. 空间中，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用相等向量的概念和共线向量的概念来进行判断即可. 【详解】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同； 对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同； 对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相等也具有传递性； 对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误； 故选：BC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式判断A，举反例判断B，C，利用斜率的几何意义判断D即可. 【详解】对于A，因为直线与平行， 所以，解得，此时直线为，即， 由平行线间距离公式得与的距离为，故A正确， 对于B，将点代入中， 发现，故该点不在直线上， 即过点且和直线平行的直线方程 不可能是，故B错误， 对于C，当时，直线可化为， 直线为，此时两直线也互相垂直， 所以“”不是“直线与直线互相垂直” 的必要不充分条件，故C错误， 对于D，直线的斜率为，则， 当时，的取值范围是，当时，的取值范围为， 故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：AD 11. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使 B. 存在点P，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，则，，， 当时，即点与点重合时，，故A正确. 由知，解得，此时点与点重合， 故B正确. 为定值，故C错误. 又，，设平面的法向量， 由，令则，， ， 又平面的法向量， ， 又，，故D错误. 故选：AB 三、填空题(每题5分，共15分) 12. 点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 13. 平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则______. 【答案】0或2 【解析】 【分析】 由可得,则,求解即可 【详解】由题,因为,则,即,解得或, 故答案为：或 【点睛】本题考查利用数量积表示垂直关系,考查线面垂直的性质的应用 14. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量求两点间的距离，求最值即可. 【详解】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出直线在x轴、y轴上的截距，再列式求解即得. （2）直线过的定点在第四象限，由直线的斜率大于等于0，求出a的范围． 【小问1详解】 直线：在y上的截距为， 由在两坐标轴上的截距相等，知，且直线在x轴上的截距为， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 直线：，由，得，即直线过定点， 显然点P在第四象限，要使直线不经过第二象限，而直线的斜率存在， 因此直线的斜率不小于0，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 16. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）求AE的长; （2）求AE和BC夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在平行六面体中，由棱长及夹角，由向量运算可得，平方可得，求出数量积，可得的长； （2）先求出，进而可得的值，即可求解. 【小问1详解】 在平行六面体中， 由于，则， 由题意得，，， 由于是的中点， 则， 所以， 则. 【小问2详解】 由， 则. 所以AE和BC夹角的余弦值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面 ． （1）求证：平面． （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离． 【答案】（1） 底面平面． ． 又平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得平面． （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再求点A到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，取的中点E，易得三角形是正三角形，． 又底面平面，． 在中，所以， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 所以，． 设平面的一个法向量为， 则即令，得． ∴点A到平面的距离为． 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点， （1）证明：直线平面； （2）求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． （3）求点N到平面OCD的距离． 【答案】（1） 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由为的中点，为的中点，得， 即， 设平面的法向量为，则，取，得， 则平面，所以直线平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，先求出面的一个法向量，进而得到，再应用线面平行的判定证明结论； （2）应用向量法求线面角的正弦值，进而求其余弦值； （3）应用向量法求点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，且平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以，故直线与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. （1）求证：⊥； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为四边形为正方形，所以⊥， 因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式得到线面角的正弦值； （3）设，得到，求出平面的法向量，由垂直关系得到方程，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又，故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 则， ， 设直线与平面所成角的大小为， 则； 【小问3详解】 设，即， 当时，与重合，此时与平面不平行， 当时，设，则， 解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则，解得， 故线段BD上存在点M，使得直线平面AFM，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市第八中学2025-2026学年第一学期高二第一次段考 数学试题 说明1.本试卷总分150分，考试时间120分钟. 2.考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试卷上无效， 一、单选题(每题5分，共40分) 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与平行，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A. 或 B. 或 C. D. 7. 在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分) 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量满足， 则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量满足，则 D. 空间中，，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使 B. 存在点P，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值的取值范围是 三、填空题(每题5分，共15分) 12. 点到直线的距离为______． 13. 平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则______. 14. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 16. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）求AE的长; （2）求AE和BC夹角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，底面 ． （1）求证：平面． （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离． 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点， （1）证明：直线平面； （2）求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． （3）求点N到平面OCD的距离． 19. 如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. （1）求证：⊥； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $