精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县莲花第一初级中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

八年级上第一次月考 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 2. 已知中，、、三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是（ ） A. 2：3：4 B. 1：2：3 C. 4：3：5 D. 1：2：2 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理分别求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：A、∵中，， ∴，， ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵中，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵中，， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； ∵中，， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 3. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 4. 已知，， 三角形的面积为8， 则边上的高是（ ） A. B. 2 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形的面积相等及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 设边上的高为h， ∴ ∴，解得：； 故边上的高为， 故选A． 5. 下列说法正确的是（ ） ①伸缩门应用的是四边形的稳定性； ②三角形按边分类为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等； ④三角形按角分类为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形的不稳定性，三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：①伸缩门应用的是四边形的不稳定性，故①错误； ②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误； ③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义等知识，解题的关键是掌握三角形的分类． 6. 如图，∠BDC ＝110°，∠C ＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长CD交AB与E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长CD交AB与E， ∵∠C ＝38°，∠A＝35°， ∴， ∵∠BDC ＝110°， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记三角形外角的性质是解题的关键． 7. 如图，点在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，． A. ①②③④ B. ③②④① C. ④①③② D. ④③①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图——作一个角等于已知角．解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ①以C为圆心，长为半径画弧，交于点M； ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D； ②作射线，则． 故选：C． 8. 已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数，则这样的三角形的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边之差，而小于两边之和．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∵x为整数， ∴、、， 则这样的三角形的个数为3， 故选：B． 9. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 10. 如图，，，平分，平分，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可得平分，即可判断③；根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得 ，进而可得，即可判断①④；最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，而，即可判断②，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①④正确； ∵， ∴， 而， 故②不正确； 所以，上列结论，其中正确的有3个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值___________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可得，即， 则符合条件的m值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 12. 如图，为四边形的对角线，，添加一个条件使，则你添加的条件为_________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可得到答案．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、（此方法仅用于直角三角形全等的判定）． 【详解】解：若添加：， 在和中， ， ∴； 若添加：， 在和中， ， ∴； ∴添加一个条件使，则添加的条件可以为或． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图．在中，，平分，于，周长为，，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：是的平分线，，， ， 周长为8， ， 在和中， ， ∴ ， 的周长为：． 故答案为：． 14. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；分两种情况考虑：腰长为的等腰三角形；腰长为的等腰三角形，结合构成三角形的条件即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为， 故周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为，但， 此时三线段不构成三角形； 综上，三角形的周长为， 故答案为：17． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6##6或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 三、解答题（满分75分） 16. 中，，，求的各内角的度数． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，将第一个等式代入第二等式中，用表示出，再根据三角形的内角和等于列方程求出，然后求解即可，用表示出然后列出关于的方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 由三角形内角和定理得： ， 解得： ∴， ． 17. 如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 【答案】 证明：如图，延长交于点． ， ． ∵是角平分线， ， 在和中， ， ， ． 又， ． 【解析】 【分析】本题涉及三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．通过构造全等三角形，将转化为与和有关的角，从而证明结论． 【详解】略 18. 甲､乙两名学生为了测量一池塘两端A，B的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】 选择甲同学的方案： 在和中， ， ∴， ∴， 故测出的长即为的距离． 选择乙同学的方案： ∵，点在的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故测出的长即为的距离． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： 甲同学的方案：利用证明即可； 乙同学的方案：利用证明即可． 【详解】略 19. （1）用尺规作一个角等于已知角的依据是______； （2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知及边上的点，过点作射线，使． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定，平行线的判定， 熟练掌握全等三角形判定，平行线的判定，以及尺规作图的方法是解决此题的关键． （1）根据作图痕迹可知，，，，从而根据“”证明三角形全等，得证所作角等于已知角； （2）根据“同位角相等，两直线平行”，作的同位角即为所求． 【详解】解：（1）如图，，，， ， ， 故答案为：； （2）如图，即为所求． 20. 如图，，，过点A、D分别作的垂线，垂足为C、F． （1）求证：； （2）连接、线段与是否互相平分?请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）线段与互相平分，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由AAS证明即可； 连接交线段于点O，先由全等三角形的性质得，再由AAS证明即可证明． 【小问1详解】 证明：∵，∴， ∵，∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 线段与互相平分，理由如下： 连接交线段于点O，如图所示： 由（1）得，， 在和中， ， ， ， ∴线段与互相平分． 21. 如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． （1）试说明． （2）如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析． （2）①，②，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）①先根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出答案； ②在边上截取，连接，只要证明，可得即可证明． 【小问1详解】 解：∵分别为角平分线， ∴， ； 【小问2详解】 解：①， ， ∵分别为，角平分线， ∴， ； 故答案为：； ②，理由如下： 在边上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ∴， ∴． 22. 【感知】（1）如图①，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，使点在内，则_____________°． 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则_____________°． 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，、、之间的数量关系是__________．请给予证明． 【变式探究】（4）如图②，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则、、之间的数量关系是__________________． 【答案】（1）90；（2）40；（3）；理由见解析；（4） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理． （1）利用三角形内角和定理即可解决问题； （2）利用三角形内角和定理即可解决问题； （3）根据题意可得，在中，利用三角形内角和定理即可证明； （4）在中，利用三角形内角和定理可得，再由，两式相减，即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∵， ∴； 故答案为：90； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：40； （3）；理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， 即； ∴； （4）． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，是斜边上的中线，求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到E，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到E，使得是边的中点，连接，求证：．（本题可用等腰三角形的两底角相等） 【答案】模型证明：见解析；模型应用：见解析 【解析】 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证． 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论． 【详解】模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中， ， ∴， ，， ∴， ． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上第一次月考 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，、、三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是（ ） A. 2：3：4 B. 1：2：3 C. 4：3：5 D. 1：2：2 3. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，， 三角形的面积为8， 则边上的高是（ ） A. B. 2 C. 6 D. 12 5. 下列说法正确的是（ ） ①伸缩门应用的是四边形的稳定性； ②三角形按边分类为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等； ④三角形按角分类为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 6. 如图，∠BDC ＝110°，∠C ＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，． A. ①②③④ B. ③②④① C. ④①③② D. ④③①② 8. 已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数，则这样的三角形的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，平分，平分，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值___________． 12. 如图，为四边形的对角线，，添加一个条件使，则你添加的条件为_________________． 13. 如图．在中，，平分，于，周长为，，则的周长是______． 14. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题（满分75分） 16. 中，，，求的各内角的度数． 17. 如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 18. 甲､乙两名学生为了测量一池塘两端A，B的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 19. （1）用尺规作一个角等于已知角的依据是______； （2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知及边上的点，过点作射线，使． 20. 如图，，，过点A、D分别作的垂线，垂足为C、F． （1）求证：； （2）连接、线段与是否互相平分?请说明理由． 21. 如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． （1）试说明． （2）如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 22. 【感知】（1）如图①，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，使点在内，则_____________°． 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则_____________°． 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，、、之间的数量关系是__________．请给予证明． 【变式探究】（4）如图②，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则、、之间的数量关系是__________________． 23. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，是斜边上的中线，求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到E，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到E，使得是边的中点，连接，求证：．（本题可用等腰三角形的两底角相等） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $